Lý thuyết điều khiển tối ưu

Ch ng 1

I U KHI N T I U

Vài nét l ch s phát tri n lý thuy t đi u khi n

- Ph ng pháp bi n phân c đi n Euler_Lagrange 1766

- Tiêu chu n n đ nh Lyapunov 1892

- Lu t đi u khi n h th ng thích nghi mô hình tham chi u MRAS và b t

ch nh đ nh STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR : Self-Tuning Regulator )

Tr ng thái t i u có đ t đ c hay không tùy thu c vào yêu c u ch t l ng

đ t ra , vào s hi u bi t v đ i t ng và các tác đ ng lên đ i t ng , vào

đi u ki n làm vi c c a h đi u khi n …

M t s ký hi u s d ng trong ch ng 1

Hình 1.1: S đ h th ng đi u khi n

H th ng đi u khi n nh hình trên bao g m các ph n t ch y u : đ i t ng

đi u khi n ( T K ) , c c u đi u khi n ( CC K ) và vòng h i ti p ( K )

Ch tiêu ch t l ng J c a m t h th ng có th đ c đánh giá theo sai l ch

c a đ i l ng đ c đi u khi n x so v i tr s mong mu n x 0 , l ng quá đi u khi n ( tr s c c đ i xmax so v i tr s xác l p x( )∞ tính theo ph n tr m ) ,

th i gian quá đ … hay theo m t ch tiêu h n h p trong đi u ki n làm vi c

Hình 1.2 : T i u c c b và t i u toàn c c

Khi tín hi u đi u khi n u gi i h n trong mi n [u1,u2] , ta có đ c giá tr t i

u c c đ i J1∗ c a ch tiêu ch t l ng J ng v i tín hi u đi u khi n u1∗ Khi tín hi u đi u khi n u không b ràng bu c b i đi u ki n u1≤ ≤ , ta u u2

có đ c giá tr t i u J2∗ >J1∗ ng v i u2∗ Nh v y giá tr t i u th c s bây gi là J2∗

T ng quát h n , khi ta xét bài toán trong m t mi n [u u m, n] nào đó và tìm

đ c giá tr t i u J i∗ thì đó là giá tr t i u c c b Nh ng khi bài toán không có đi u ki n ràng bu c đ i v i u thì giá tr t i u là

• Xét giá tr đ o hàm b c hai c a J theo u t i đi m c c tr :

2 i u ki n thành l p bài toán t i u

thành l p bài toán t i u thì yêu c u đ u tiên là h th ng ph i có đ c tính phi tuy n có c c tr

B c quan tr ng trong vi c thành l p m t h t i u là xác đ nh ch tiêu ch t

l ng J Nhi m v c b n đây là b o đ m c c tr c a ch tiêu ch t l ng

J Ví d nh khi xây d ng h t i u tác đ ng nhanh thì yêu c u đ i v i h

là nhanh chóng chuy n t tr ng thái này sang tr ng thái khác v i th i gian quá đ nh nh t , ngh a là c c ti u hóa th i gian quá đ Hay khi tính toán

đ ng c tên l a thì ch tiêu ch t l ng là v t đ c kho ng cách l n nh t

v i l ng nhiên li u đã cho

Ch tiêu ch t l ng J ph thu c vào tín hi u ra x(t) , tín hi u đi u khi n u(t)

và th i gian t Bài toán đi u khi n t i u là xác đ nh tín hi u đi u khi n u(t)

làm cho ch tiêu ch t l ng J đ t c c tr v i nh ng đi u ki n h n ch nh t

trong đó k M =C MΦ =const ; Mq là moment quán tính ; ω là t c đ góc ; ϕ

là góc quay Gi s b qua ph t i trên tr c đ ng c ( M c= ) thì : 0

2 2

2

d i d

ϕ

T đó ta có :

2 2

d x u

V y ph ng trình tr ng thái c a đ ng c đi n là m t ph ng trình vi phân

c p hai

• Bài toán t i u tác đ ng nhanh ( th i gian t i thi u ) :

Tìm lu t đi u khi n u(t) v i đi u ki n h n ch u ≤1đ đ ng c quay t v

trí ban đ u có góc quay và t c đ đ u b ng 0 đ n v trí cu i cùng có góc

quay b ng ϕ0 và t c đ b ng 0 v i m t kho ng th i gian ng n nh t

Vì c n th i gian ng n nh t nên ch tiêu ch t l ng J s là :

0

1

Mà dòng đi n ph n ng i u đây chính là tín hi u đi u khi n u Vì v y ch

tiêu ch t l ng J đ i v i bài toán n ng l ng t i thi u có d ng :

2 0

( )

T

J =∫u t dt

3 T i u hoá t nh và đ ng

Chúng ta c n phân bi t hai d ng bài toán t i u hoá t nh và t i u hóa đ ng

T i u hóa t nh là bài toán không ph thu c vào th i gian Còn đ i v i t i

u hóa đ ng thì th i gian c ng là m t bi n mà chúng ta c n ph i xem xét

đ n

1.1.2 Xây d ng bài toán t i u

1 T i u hóa không có đi u ki n ràng bu c

M t hàm ch tiêu ch t l ng vô h ng L( )u =0 đ c cho tr c là m t hàm

c a m t vector đi u khi n hay m t vector quy t đ nh m

R

u∈ Chúng ta c n

ch n giá tr c a u sao cho L(u) đ t giá tr nh nh t

gi i bài toán t i u , ta vi t chu i Taylor m r ng cho đ bi n thiên c a

L(u) nh sau :

)3(2

1

O du L du du L

u L

u L u

L L

/

/

/

2 1

u u

L u

L L

M t đi m c c tr ho c đi m d ng xu t hi n khi s bi n thiên dL v i thành

ph n th nh t ti n v 0 v i m i bi n thiên du trong quá trình đi u khi n Vì

1

O du L du

N u L uu là xác đ nh âm thì đi m c c tr chính là đi m c c đ i ; còn n u L uu

là không xác đ nh thì đi m c c tr chính là đi m yên ng a N u L uu là bán

xác đ nh thì chúng ta s xét đ n thành ph n b c cao h n trong (1.1) đ xác

đ nh đ c lo i c a đi m c c tr

Nh c l i : Luu là xác đ nh d ng ( ho c âm ) n u nh các giá tr riêng c a nó

là d ng ( ho c âm ) , không xác đ nh n u các giá tr riêng c a nó v a có

u∈ và vector tr ng tháix∈R n Bài toán đ a ra là ch n u sao cho hàm

ch tiêu ch t l ng L(x,u) đ t giá tr nh nh t và th a mãn đ ng th i các

f , ta c n làm chính xác nh trong ph n tr c u tiên ta khai

tri n dL d i d ng chu i Taylor , sau đó xác đ nh s h ng th nh t và th

= L du L dx

x T

và:

0

=+

= f du f dx

T (1.7) ta xác đ nh đ c x t giá tr u đã có, đ bi n thiên dx đ c xác đ nh

b i (1.9) t giá tr bi n thiên du đã có Nh v y , ma tr n Jacobi f x không

k d và :

du f f

Thay dx vào (1.8) ta đ c :

du f f L L

o hàm riêng c a L theo u ch a h ng s f đ c cho b i ph ng trình :

T x T u u T u x T x T u df

L f f L f

f L L u

L u

ây là đi u ki n c n đ có giá tr c c ti u Tr c khi đi tìm đi u ki n đ ,

chúng ta hãy xem xét thêm m t vài ph ng pháp đ có đ c (1.14)

L L df

dL

u x

T u T x

T u T x T

f f

L L

Hay:

0

=+ T x T

0

=+ T u T

f L

và thay vào (1.18) đ có đ c (1.14)

Vector λ∈R n đ c g i là th a s Lagrange , và nó s là công c h u ích

cho chúng ta sau này hi u thêm ý ngh a c a th a s Lagrange ta xét du

= 0 , t (1.8) và (1.9) ta kh dx đ đ c :

df f L

f L f

0

(1.21)

Do đó -λ là đ o hàm riêng c a L v i bi n đi u khi n u là h ng s i u này

nói lên tác d ng c a hàm ch tiêu ch t l ng v i bi n đi u khi n không đ i

khi đi u ki n thay đ i

L u ý r ng :

),

( u x f

Sau đó ta xác đ nh x v i giá tr c a u đã có b ng ph ng trình đi u ki n ràng

bu c f( )x,u =0 Trong tr ng h p này hàm Hamilton t ng đ ng v i

hàm ch tiêu ch t l ng:

L H

Nh c l i : n u f = 0 , ta s tìm đ c dx theo du t (1.10) Ta không nên xét

m i quan h gi a du và dx đ thu n ti n trong vi c ch n λ sao cho :

H

(1.28) hay =− T x−1

x

T

f L

N u gi nguyên (1.25) và (1.27) thì:

du H dH

H

(1.31b) 0

=+

Trong nhi u ng ng , chúng ta không quan tâm đ n giá tr c a λ , tuy nhiên

ta v n ph i đi tìm giá tr c a nó vì đó là m t bi n trung gian cho phép chúng

ta xác đ nh các đ i l ng c n tìm là u , x và giá tr nh nh t c a L

u đi m c a th a s Lagrange có th tóm t t nh sau : trên th c t , hai đ i

l ng dx và du không ph i là hai đ i l ng bi n thiên đ c l p v i nhau ,

theo (1.10) B ng cách đ a ra m t th a s b t đ nh λ , chúng ta ch n λ sao

cho dx và du có th đ c xem là hai đ i l ng bi n thiên đ c l p v i nhau

L y đ o hàm riêng c a H l n l t theo các bi n nh trong (1.31) , nh th ta

s có đ c đi m d ng

Khi đ a ra th a s Lagrange , chúng ta có th thay th bài toán tìm giá tr

nh nh t c a L(x,u) v i đi u ki n ràng bu c f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm

giá tr nh nh t c a hàm Hamilton H(x,u,λ) không có đi u ki n ràng bu c

i u ki n đã (1.31) xác đ nh m t đi m d ng Ta s ti p t c ch ng minh đây

dx L L

L L du dx du

dx L L dL

uu ux

xu xx T T T

u T

dx f f

f f du dx du

dx f f df

uu ux

xu xx T T u

H H du dx du

dx H H df

dL

uu ux

xu xx T T T

u T x

th nh t c a dL b ng 0 v i m i s bi n thiên c a dx và du Vì f =0

nêndf =0 , và đi u này đòi h i 0H x = và 0H u = nh trong (1.31)

tìm đi u ki n đ cho đi m c c ti u , chúng ta xét đ n thành ph n th hai

u tiên , ta c n xem m i quan h gi a dx và du trong (1.34) Gi s r ng

chúng ta đang đi m c c tr nên H x =0 , H u =0 và df =0 Sau đó, t

(1.33) ta có :

)2(

1

O du f f

dx=− x− u +

(1.35)

f f H

H

H H I f f du

uu ux

xu xx T

x T u

đ m b o đây là đi m c c ti u , dL trong (1.36) ph i d ng v i m i s

bi n thiên c a du i u này đ c đ m b o n u nh ma tr n u n v i f luôn

b ng 0 là xác đ nh d ng

u x xx T x T u u x ux xu T x T u uu

u x uu ux

xu xx T

x T u f

uu f

uu

f f H f f f f H H f f H

I

f f H

H

H H I f f L

L

1 1

T i u hóa không có đi u ki n ràng bu c

Ví d 1.1 : Không gian toàn ph ng

Cho u∈R2 và :

[s s ]u u

q q

q q u u

22 12

12 11

2

1)

=Qu S

S Q

2

1)

u

21

112

011

12

+

=+

u u

u u S

Hình 1.4 : Các đ ng đ ng m c và vector gradient

Ví d 1.2 : T i u hóa b ng tính toán vô h ng

Ph n trên chúng ta đã đ c p ph ng pháp gi i bài toán t i u b ng cách s

d ng các vector và gradient Sau đây ta s ti p c n bài toán v i m t cách

nhìn khác , xem chúng nh là nh ng đ i l ng vô h ng

ch ng minh , ta xét :

2 2 2 2 1 2 1 2

1

2

1),

=+

=

∂

∂

u u u

=

∂

∂

u u u L

(2b)

Gi i h ph ng trình trên ta đ c :

1,

Ví d 1.3 : Không gian toàn ph ng v i đi u ki n ràng bu c tuy n tính

Gi s hàm ch tiêu ch t l ng đ c cho b i ví d 1.1 v i các đ i l ng vô

x u

x u

x

21

112

1),

−++++

=+

= x u λ

01

2 + =+

Hình 1.5

Grad c a f(x,u) trong h t a đ (x,u) đ c vi t nh sau:

C n l u ý r ng gradf và gradL t ng đ ng v i nhau t i đi m d ng Có

ngh a là đi m c c ti u xu t hi n khi đi u ki n ràng bu c (2) là đ ng ti p

tuy n c a các đ ng đ ng m c c a L Di chuy n h ng d c theo đ ng

th ng f = 0 s làm t ng giá tr c a L

Ta tìm đ c giá tr c a L t i đi m c c ti u b ng cách thay x = 3, u = -2 vào

(1) , ta đ c L*=0,5

Vì λ = -1 , gi nguyên giá tr u = -2 , thay đ i đi u ki n ràng bu c df ( d ch

chuy n đ ng th ng trong Hình 1.5 v phía ph i ) s làm t ng L(x,u) v i dL

2

1),(

b

y a

x u

2

1

2 2 2

2

c mu x b

u a

Và đi u ki n đ có đi m d ng :

0

=

−+

Hình 1.5 : Các đ ng đ ng m c c a L(x,u) và đi u ki n ràng bu c f(x,u)

Hình 1.6 : Các đ ng đ ng m c c a L(x,u) và đi u ki n ràng bu c f(x,u)

gi i h ph ng trình này , tr c h t ta s d ng ph ng trình (6) đ đ a

ra bi n đi u khi n t i u theo th a s Lagrange

λ

m b

11

2

2 2

c x a

m b

Gi i ra ta đ c giá tr c a đi m d ng :

2 2 2 2

m b a

c a x

+

2 2 2

m b a

m b a

mc b u

+

xác đ nh đi m d ng là c c ti u , dùng (1.37) đ tìm ra ma tr n u n :

2 2 2

1

a

m b

c L

f

x u

(15)

a x b u L

*

c m

2

12

=x Bu c

v i Q , R và B là các ma tr n , c là vector n hàng Gi s Q ≥ 0 và R > 0

( v i Q , R là ma tr n đ i x ng ) Các đ ng đ ng m c c a L(x,u) là các

đ ng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là m t ph ng c t ngang qua

chúng i m d ng xu t hi n khi gradf và gradL song song v i nhau

Hàm Hamilton là :

)(

2

12

1

c Bu x Ru

u Qx x

và các đi u ki n đ có đi m d ng là :

0

=++

= x Bu c

0

=+

=Qx λ

0

=+

gi i các ph ng trình trên , đ u tiên ta dùng đi u ki n (6) đ tìm u theo

λ :

λ

T

B R

=

dùng k t qu này thay vào (7) cho ta :

)(

1

Qc QBu B R

u=− − T +

(10) hay :

S d ng (12) và (13) th vào (1) ta có đ c giá tr t i u :

y= 2 + +

(1)

v i đ ng th ng :

c x

Xem Hình 1.7

Trong bài toán này s có hai đi u ki n ràng bu c :

0)

2 1 2

1 2

2

1)(

2

1),,,

1 2

1

,,

y

y u x

x x f

f

và s d ng cách ti p c n vector ; tuy nhiên , s k t h p gi a m t đi u ki n

ràng bu c tuy n tính và m t đi u ki n phi tuy n s làm ph c t p thêm bài

toán Thay vào đó ta s s d ng các đ i l ng vô h ng

Hình 1.7 : Bài toán v i nhi u đi u ki n ràng bu c

a ra m t th a s Lagrange cho m i đi u ki n ràng bu c , hàm Hamilton

là :

)(

)(

)(

2

1)(

2

1

2 2 2 1

2 1 1 1 2 2 1 2

0

2 1

1 = x −x − aλ x −bλ =

0

2 2 1

2 =−x +x −λ =

0

1 2 1

1 = y −y +λ =

0

2 2 1

2 =−y +y +λ =

0

1 2 1 1

1 = y −ax −bx −d =

0

2 2

2 = y −x −c=

Gi i (12) đ có đ c y1 nh sau :

d bx ax

2 =x −x = y −y

và s d ng (14) v i y2 = x2 +c t (13) có đ c k t qu sau :

c x d bx ax x

x − = 2 + 1+ − 2 −

1 1

2 1

L x t u t b ng cách ch n tín hi u đi u khi n u(t) v i nh ng đi u ki n

h n ch c a đ i l ng đi u khi n và t a đ pha M t trong nh ng công c

toán h c đ xác đ nh c c tr là ph ng pháp bi n phân c đi n

Euler_Lagrange

ng c c tr là nh ng hàm tr n còn phi m hàm cùng các đi u ki n h n ch

là nh ng hàm phi tuy n Do đó ph ng pháp này không th áp d ng cho

nh ng tr ng h p mà tín hi u đi u khi n có th là các hàm gián đo n

Tr ng h p không có đi u ki n ràng bu c

Cho u(t) là hàm thu c l p hàm có đ o hàm b c nh t liên t c Trong m t

ph ng (u,t) cho hai đi m (t 0 ,u 0 ) và (t 1 ,u 1) C n tìm qu đ o n i hai đi m này

sao cho tích phân theo qu đ o u =u (t) cho b i :

∫

= 1

0

),,()(

t t

dt t u u L u

,,

dt t u u L t u u u u L

Phân tích (1.39) theo chu i Taylor và ch kh o sát thành ph n b c m t c a J

ta đ c :

dt u u

t u u L u u

t u u L u

u J

T

])),,(()),,((),(

0

δδ

δ

∂

∂+

∂

∂

=

vì δu và δ liên h nhau b i : u

)0()

()

(

0

u dt t u t

u

T

δδ

,,([)

,,(),

d u

t u u L u

u

t u u L u

),,()

,,([),(

d u

t u u L u

u J

T

δδ

T đó có th rút ra ph ng trình Euler_Lagrange :

0),,()

,,

d u

t u u L

d u

i

ϕ t∈[0, ]T , i=1,n (1.45) thì ch tiêu ch t l ng J có d ng :

,,([),

mà λi (t) v i i = 1,2,…,n là hàm Lagrange Vì gi i h n th a mãn v i m i t

nên hàm Lagrange ph thu c th i gian

T ng t nh trên ta có ph ng trình Euler_Lagrange t ng quát :

0),,,()

,,,

d u

t u u

u u L t u u

n i i

thì ph ng trình Euler_Lagrange t ng quát (1.47) có phi m hàm :

),,()

,,(),,,(

1

t u u t

u u L t u u L

n i i

Ph ng trình Euler_Lagrange v i tín hi u đi u khi n b h n ch

Trong ph n trên ta ch đ c p t i bài toán mà trong đó tín hi u đi u khi n

không có gi i h n nào ràng bu c Trong th c t , th ng g ptín hi u đi u

thì bi n m i z s không có đi u ki n h n ch và biên gi i c a bi n u t ng

đ ng v i z = 0 Bây gi ch tiêu ch t l ng J u =∫T L u u t dt

0

),,()

d z

L z

u u

L z

u u

L z

L

22

∂

∂+

L z

u u

L z

u u

L z

L u

L dt

d z z

L dt

d

2)(2

∂

∂+

∂

∂

z u

L u

L dt

d z z u

L z u L

d u

d u L

= đ c c ti u hóa ch tiêu ch t l ng

J :

2 2 0

2 t c

x

2 1 2 1 2

4)

(9) xác đ nh λ1,c1,c2 ta dùng các đi u ki n biên :

00

)0

u

04

)

t u

0

0 2 1 3 1 2

212

Ta th so sánh t n hao n ng l ng c a tr ng h p này v i tr ng h p bài

toán t i u tác đ ng nhanh có đ c tính th i gian nh Hình 1.8(b) C hai

tr ng h p đ u có cùng giá tr θ0 , t ng ng v i ph n g ch s c Ta có th

xác đ nh u a theo (2) :

0 0

4

T

a a

u T

u t dt

0 2

4

a

u T

12( )

⇒ 1

2 2

2

( )4

24

T

θλ

x i = i δi + k i=1,n; k∈[ ]1,n (1)

n

x x x

x= 1, 2, , – vector tr ng thái ; g k( )x - hàm phi tuy n

t ng minh ; f i(x,δi( )t ) - hàm phi tuy n không t ng minh ; δi( )t - các

nhi u ng u nhiên ; u - tín hi u đi u khi n

=

0

2 2

dt x x

Trong đó Ψ là hàm s kh vi ho c tuy n tính t ng đo n và Ψ( )0 =0 Hàm

Ψ đ c l a ch n d a trên các yêu c u v đ ng h c c a h th ng Lu t đi u

khi n u đ m b o c c ti u hoá ch tiêu ch t l ng J có th đ c xác đ nh

b ng cách gi i ph ng trình Euler :

0

=Ψ+

n i

i

dx dt

d

1 1

∂+Ψ

∂

=

Ψ

∂++

Ψ

∂

=Ψ

n i

i i k

i i i n

k i

n i

i i

n i

k i i i

d u x g dx x

f dx

d u

x g x

f dx dt

d

1 1

1 1

,

,

δδδ

δδδ

i i n

k i i

i i i

k

x f x

x g

u

1 1

M t chi n l c t i u có tính ch t không ph thu c vào nh ng quy t đ nh

tr c đó ( ví d nh nh ng lu t đi u khi n ) song các quy t đ nh còn l i ph i

c u thành nên chi n l c t i u có liên quan v i k t qu c a nh ng quy t

đ nh tru c đó

Nguyên lý t i u c a Belman : “ B t k m t đo n cu i cùng nào c a qu đ o

Bài toán đ ng bay c a máy bay

M t máy bay bay theo h ng t trái sang ph i nh Hình 1.9 qua các đi m a,

b, c… t ng tr ng cho các thành ph , và m c nhiên li u c n thi t đ hoàn

t t m i ch ng đ ng Chúng ta s dùng nguyên lý t i u c a Belman đ

gi i bài toán c c ti u hóa nhiên li u tiêu hao

Li t kê các tr ng thái k t 0 đ n 4 trong quá trình ra quy t đ nh nh Hình 1.9 (đ u m i tên và con s trong khung b c đ u có th ch a c n quan tâm)

T i m i giá tr k =0,1, N−1 ph i có m t quy t đ nh , và N là tr ng thái

i u khi n u tr ng thái k k đ n tr ng thái k+1 có hai giá tr u k =±1 : đi theo h ng lên thì u k =1 và u k =−1 n u đi theo h ng xu ng

n đây chúng ta có bài toán t i thi u hóa n ng l ng tiêu hao v i tr ng thái cu i c đ nh , lu t đi u khi n và các giá tr tr ng thái

tìm ra lu t đi u khi n ng v i m c tiêu hao nhiên li u t i thi u , ta s

d ng nguyên lý t i u c a Belman , đ c b t đ u k = N =4 Không có quy t đ nh nào đ c yêu c u đây do đó ta gi m k=3

N u x3 = f thì lu t đi u khi n t i u là u3 =−1 và chi phí là 4 i u này

đ c th hi n b ng cách đ t (4) phía trên nút f và chi u m i tên theo chi u

t f đ n i N u x3 =h thì lu t đi u khi n t i u là u3 =1 và chi phí là 2 ,

đ c th hi n nh trên hình

u đ c cho b i nguyên lý t i u , chúng ta có th đi n vào các l a ch n

còn l i ( đ u m i tên ) và chi phí t i u đ c th hi n trong Hình 1.9 D

dàng nh n ra r ng chu i đi u khi n đ c l a ch n là chu i t i u

Chú ý r ng khi k = 0 , lu t đi u khi n có th là u0 =1 ho c 1u0 =− cùng

cho chi phí là 8 ; lu t đi u khi n khi k = 0 là duy nh t

Có nhi u đi m c n chú ý trong ví d này Tr c h t , ta có hai đ ng đi t

a đ n i v i cùng m t chi phí là 8 : a→b→e→h→i( đ ng nét đ m ) và

i h e

d

a→ → → → ( đ ng nét đ t ) Hi n nhiên gi i pháp t i u trong

quy ho ch đ ng là không duy nh t Th hai , gi đ nh chúng ta c g ng xác

đ nh l trình t i u đi t a đ n i khi không bi t nguyên lý t i u và đi theo

chi u thu n T i a ta s so sánh chi phí khi đi đ n b ho c d , và chúng ta

quy t đ nh đi đ n d Ti p t c nh v y ta s đi đ n g đó không còn l a

ch n nào khác là đi đ n i qua h Toàn b chi phí cho ph ng án này là 1 + 2

Ph ng pháp quy ho ch đ ng c ng có th d dàng áp d ng cho h phi tuy n

Ngoài ra , n u có càng nhi u đi u ki n ràng bu c đ i v i tín hi u đi u khi n

T i th i đi m k , n u ta áp d ng m t lu t đi u khi n u b t k và s d ng k

m t chu i lu t đi u khi n t i u k t v trí k+1, lúc đó t n hao s là :

k

v i x là tr ng thái th i k đi m k , và x k+1 đ c cho b i (1.56) Theo

nguyên lý Belman thì t n hao t i u t th i đi m k s là :

Ph ng trình (1.59) chính là nguyên lý t i u cho h r i r c Vai trò quan

tr ng c a nó là có th cho phép chúng ta t i u hóa cùng lúc t i th i đi m a

nhi u h n m t vector đi u khi n

Trong th c t , ta có th đ nh rõ các đi u ki n ràng bu c đ c thêm vào

ch ng h n nh yêu c u lu t đi u khi n u thu c v m t b các lu t k đi u

khi n đ c ch p nh n

Ví d 1.10 :

Xét h :

k k

i u ki n ràng bu c đ i v i tín hi u đi u khi n không ph i là không có lý

do , tín hi u đi u khi n t i u th i gian t i thi u ch l y các giá tr ±1 ( ví d

1.12 ), trong khi tín hi u đi u khi n t i u nhiên li u t i thi u nh n các giá

tr 0 , ±1 i u ki n ràng bu c đ i v i bi n tr ng thái trong bài toán này

c ng h p lý , vì n u tr ng thái ban đ u l y m t trong các giá tr ch p nh n

đ c (4) , thì d i nh h ng c a các tín hi u đi u khi n cho phép (3) các

tr ng thái sau đó s l y các giá tr nguyên và bán nguyên i u ki n ràng

bu c (4) có th vi t l i là x0 =0, 0.5,1,1.5 và

ây là đi u ki n xác th c và ràng bu c biên đ v tr ng thái , th ng là h p

lý trong các tình hu ng v t lý

Bây gi , bài toán đi u khi n t i u là tìm dãy tín hi u đi u khi n ch p nh n

đ c u0∗ , u1∗ sao cho ch tiêu ch t l ng J 0 đ t giá tr c c ti u trong khi t o

ra qu đ o tr ng thái ch p nh n đ cx x x0∗, 1∗, 2∗ Chúng ta mu n u k∗ đ c xác

đ nh nh là lu t đi u khi n h i ti p tr ng thái

Theo (1.58) ta có :

2 1

12

Nh v y , tín hi u đi u khi n t i u v i x1=1.5 là u1∗ = − và t n hao t i 1

u là J1∗ =0.75 Ta có đ c s đ nh sau v i m i tên ch ra tr ng thái t i

u

T ng t nh v y cho các tr ng h p còn l i c a x Ti p t c v i tr ng 1

thái k=0 Cu i cùng ta s đ c l i k t qu nh Hình 1.10

Hình 1.10 : L i k t qu c a bài toán t i u gi i b ng ph ng pháp quy

ho ch đ ng

3 Ph ng pháp đi u khi n s

Chúng ta có th r i r c hóa , gi i bài toán t i u cho h r i r c và sau đó

dùng khâu gi b c 0 đ t o ra tín hi u đi u khi n s

k k

τ τ