Nguyên lý cực đại pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu

Điều kiện đủ quan trọng nhất là phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman, trongkhi đó một trong các điều kiện cần quan trọng nhất phải kể đến Nguyên lý cực đạiPontriagin mà trường hợp đặc bi

Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học s- phạm hà nội 2

NGUYỄN PHI LONG

NGUYấN Lí CỰC ĐẠI PONTRIAGIN TRONG Lí THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

Chuyờn ngành: Toỏn giải tớch

Mó số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội, 2013

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Trần Văn Bằng, người thầy

đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Tấmgương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Trần Văn Bằngtrong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm

và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạycao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đạihọc sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giảtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, ban giám hiệu trườngTHPT Tự Lập - Mê Linh - Hà Nội cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo kiều kiện, độngviên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Hà Nội, tháng 06 năm 2013

Học viên

Nguyễn Phi Long

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướngdẫn của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2013

Học viên

Nguyễn Phi Long

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số khái niệm trong lý thuyết độ đo 4

1.2 Tập lồi, không gian con afin và nón 5

1.3 Một số kết quả của giải tích hàm 13

1.4 Hệ điều khiển và bài toán điều khiển tối ưu 16

1.4.1 Hệ điều khiển 16

1.4.2 Điều khiển và quỹ đạo 17

1.4.3 Hai bài toán tổng quát trong điều khiển tối ưu 20

1.5 Một số điều kiện cần trong phép tính biến phân 23

2 Nguyên lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu 32 2.1 Nguyên lý cực đại Pontriagin 32

2.2 Sự biến thiên điều khiển 37

ii

2.2.2 Biến phân nhọn 43

2.2.3 Biến phân đa nhọn 46

2.2.4 Biến phân trên khoảng tự do 48

2.3 Tập hợp khả tới và sự xấp xỉ biên bởi các nón 50

2.3.1 Nón tiếp xúc trên khoảng cố định 51

2.3.2 Nón tiếp xúc trên khoảng tự do 52

2.3.3 Xấp xỉ tập khả tới bởi các nón 54

2.3.4 Liên hệ giữa các nón tiếp xúc và hàm Hamilton 55

2.3.5 Các quỹ đạo được điều khiển trên biên của tập khả tới 58

2.4 Chứng minh của nguyên lý cực đại 61

2.4.1 Hệ mở rộng 61

2.4.2 Các quỹ đạo tối ưu nằm trên biên của tập khả tới của hệ mở rộng 62 2.4.3 Các tính chất của phản hồi liên hợp và của hàm Hamilton 63

2.4.4 Các điều kiện hoành 65

2.5 Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính 69

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điều khiển tối ưu là một trong những lý thuyết gắn liền với hầu hết cáclĩnh vực khoa học cũng như thực tiễn Tuy nhiên các mô hình điều khiển thường rấtphức tạp Có rất nhiều công trình nghiên cứu về các điều kiện tối ưu, tuy nhiên hầuhết chỉ là điều kiện cần hoặc điều kiện đủ

Điều kiện đủ quan trọng nhất là phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman, trongkhi đó một trong các điều kiện cần quan trọng nhất phải kể đến Nguyên lý cực đạiPontriagin mà trường hợp đặc biệt của nó là phương trình Euler-Lagrange Nguyên lýnày được Pontriagin và các học trò của ông phát hiện và công bố năm 1956 Tuy nhiênđây là một trong những điều kiện cần rất trừu tượng trong việc hiểu, vận dụng, đặcbiệt là trong chứng minh

Với mong muốn có thêm hiểu biết về nguyên lý cực đại này cùng những ứng dụngcủa nó đối với lý thuyết điều khiển tối ưu, tôi đã chọn đề tài:

Nguyên lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về Nguyên lý cực đại Pontriagin và ứng dụng trong lý thuyết điều khiểntối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nguyên lý cực đại Pontriagin, chứng minh nguyên lý và ứng dụng củanguyên lý đối với bài toán điều khiển tối ưu toàn phương

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu toànphương

Phạm vi nghiên cứu: Bài toán điều khiển tối ưu tất định đặc biệt là bài toán điềukhiển tối ưu toàn phương

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, của lý thuyết điều khiển tối ưu

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu tất định đặc biệt là bài toán điều khiển tối

ưu toàn phương

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1, trình bày một số kiến thức chuẩn bị về: lý thuyết độ đo, giải tích lồi,phương trình vi phân đo được theo thời gian, giải tích hàm, lý thuyết biến phân, lýthuyết điều khiển tối ưu cần thiết cho chương sau Nội dung của chương này đượctham khảo từ các tài liệu [3, 1, 2, 4]

Chương 2, trình bày về nguyên lý cực đại Pontriagin, bao gồm: phát biểu nguyên

lý, chứng minh nguyên lý và ứng dụng của nguyên lý đối với bài toán điều khiển tối ưutoàn phương Nội dung của chương này cơ bản dựa trên bài giảng của Giáo sư Andrew

D Lewis ([3])

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các kí hiệu chính sau đây:

1 R là tập số thực và R = {−∞} ∪ R ∪ {∞} là tập số thực mở rộng

2 Tập các ánh xạ tuyến tính từ Rm vào Rn kí hiệu là L (Rm; Rn)

3 Tích vô hướng trong Rn được kí hiệu h·, ·i và chuẩn được kí hiệu bởi k·k

Chúng ta cũng sử dụng k·k cho chuẩn của các ánh xạ tuyến tính và đa tuyến tính

4 Cho x ∈ Rn và r > 0,ta kí hiệu:

là hình cầu đơn vị n chiều

6 Phần trong, biên và bao đóng của tập hợp A ⊂ Rn được kí hiệu theo thứ tự làint (A), bd (A) và cl (A) Nếu A ⊂ Rn thì tôpô trên A là họ tất cả các tập có dạng

U ∩ A với U ⊂ Rn

mở Nếu S ⊂ A ⊂ Rn thì intA(S) là phần trong của S đối với tôpô

3

cảm sinh trên A.

7 Nếu U ⊂ Rn là một tập mở và φ :U → Rm là ánh xạ khả vi thì đạo hàm của φtại x ∈U được kí hiệu bởi Dφ (x) và nó là một ánh xạ tuyến tính từ Rn

vào Rm Đạohàm cấp r của φ tại x kí hiệu là Drφ (x) và nó là một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng

từ (Rn)r vào Rm

8 Nếu Ua ⊂ Rn a, a ∈ {1, , k} là các tập hợp mở và nếu

φ : U1× · · · ×Uk → Rm

là hàm khả vi thì ta kí hiệu Daφ (x1, , xk), đạo hàm riêng thứ a với a ∈ {1, , k}, và

nó được định nghĩa là một đạo hàm tại xa của ánh xạ từUa vào Rm xác định bởi:

x 7→ φ (x1, , xa−1, x, xa+1, , xk) Chúng ta kí hiệu Darφ là đạo hàm riêng cấp r theo thành phần thứ a

9 Cho U ⊂ Rn là một tập mở Ánh xạ φ :U → Rm được gọi thuộc lớp Cr nếu nókhả vi r lần liên tục

nó còn được gọi là vô cùng bé bậc cao hơn εk khi ε → 0

12 Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In và ma trận không cấp m × n được kíhiệu là 0m×n

1.1 Một số khái niệm trong lý thuyết độ đo

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm bị chặn cốt yếu liên tục tuyệt đối) Cho I ⊂ R là một khoảng

và f : I → R đo được

(i) Nếu với mỗi khoảng con compact J ⊂ I, hàm f |J là khả tích thì f được gọi làkhả tích địa phương

(ii) Nếu tồn tại M > 0 sao cho λ ({t ∈ I| |f (t)| > M }) = 0 thì hàm f được gọi là

Chú ý 1 Một hàm liên tục tuyệt đối có đạo hàm hầu khắp nơi Hơn nữa, nếu

t 0 +ε

Z

t 0 −ε

|f (t) − f (t0)| dt = 0

Ta có phần bù của tập hợp các điểm Lebesgue có độ đo bằng 0

Tất cả các khái niệm trên đối với hàm giá trị trong R đều có thể được áp dụng vớicác hàm giá trị trong Rn bằng việc áp dụng các định nghĩa trên đối với từng thànhphần

1.2 Tập lồi, không gian con afin và nón

Một phần quan trọng trong chứng minh nguyên lý cực đại là sử dụng các nón vànón lồi để xấp xỉ tập khả tới Dưới đây là các định nghĩa cơ bản và các tính chất mà

ta sẽ sử dụng

Hình 1.1:Tập lồi, 2 nón lồi và không gian con afin

Định nghĩa 1.2.1 (Tập lồi, nón, nón lồi và không gian con afin)

(i) Tập con C ⊂ Rn là lồi nếu với mỗi x1, x2 ∈ C ta có

{sx1+ (1 − s) x2|s ∈ [0, 1]} ⊂ C

(ii) Tập con K ⊂ Rn là một nón nếu với mỗi x ∈ K ta có

{λx|λ ∈ R≥0} ⊂ K

(iii) Tập con K ⊂ Rn là một nón lồi nếu nó vừa lồi và vừa là một nón

(iv) Một tập con A ⊂ Rn là một không gian con afin nếu với mỗi x1, x2 ∈ A, ta có

{sx1+ (1 − s) x2|s ∈ R} ⊂ A

Chú ý tập hợp {sx1+ (1 − s) x2|s ∈ [0, 1]} là đoạn thẳng trong Rn nối x1 và x2 Do

đó một tập lồi là lồi khi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập đó đều nằm trongtập đó Tương tự {λx|λ ∈ R≥0} là tia xuất phát từ 0 ∈ Rnqua điểm x Một tập là mộtnón khi các tia xuất phát từ 0 qua một điểm bất kỳ của tập đó đều nằm trong tập đó.Không gian con afin là một tập hợp mà mọi đường thẳng qua hai điểm bất kỳ thuộctập hợp đó đều nằm trong tập đó Ta sẽ minh họa bằng trực giác trên Hình 1.1

Ta sẽ quan tâm đến các bao lồi, bao nón và không gian con afin sinh bởi các tập

(ii) Bao lồi của S, kí hiệu là conv (S) là tập lồi nhỏ nhất của Rn chứa S

(iii) Bao nón của S kí hiệu là cone (S) là nón nhỏ nhất trong Rn chứa S

(iv) Một tổ hợp nón lồi của S là một tổ hợp tuyến tính trong Rn có dạng

Chú ý 2 Các định nghĩa của conv (S), cone (S) , conv cone (S) và aff (S) có nghĩa bởigiao của các tập hợp là lồi, giao của các nón là nón và giao của các không gian conafin là không gian con afin.

Thuật ngữ “bao nón” và “bao nón lồi” còn được gọi lần lượt là “nón sinh bởi S” và

“nón lồi sinh bởi S”

Mệnh đề 1.2.1 (Bao lồi là họ tất cả các tổ hợp lồi) Cho S ⊂ Rn là tập không rỗng

và kí hiệu C (S) là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi từ S Khi đó C (S) = conv (S).Mệnh đề 1.2.2 (Tập hợp tất cả các bội số dương của một tập là bao nón) Cho

S ⊂ Rn là không rỗng và kí hiệu

K (S) = {λx|x ∈ S, λ ∈ R≥0} Khi đó K (S) = cone (S)

Mệnh đề 1.2.3 (Bao nón lồi là họ tất cả các tổ hợp nón lồi) Cho S ⊂ Rn là khôngrỗng và kí hiệu K0(S) là tập hợp tất cả các tổ hợp nón lồi từ S Khi đó K0(S) =conv cone (S)

Mệnh đề 1.2.4 (Đặc trưng của không gian con afin) Một tập con không rỗng A ⊂ Rn

là một không gian con afin khi và chỉ khi tồn tại x0 ∈ Rnvà một không gian con U ⊂ Rn

sao cho

A = {x0+ u|u ∈ U } Mệnh đề 1.2.5 (Bao afin là họ tất cả các tổ hợp afin) Cho S ⊂ Rn là không rỗng và

kí hiệu A (S) tập hợp tất cả các tổ hợp afin từ S khi đó A (S) = aff (S)

Bây giờ ta sẽ nói về topo của tập lồi Do mỗi tập lồi là một tập con của bao afincủa nó nên nó có phần trong trong bao afin đó

Định nghĩa 1.2.3 (Phần trong tương đối và biên tương đối) Nếu C ⊂ Rn là một tậplồi thì tập hợp

rel int (C) =x ∈ C|x ∈ intaff(C)(C)

là phần trong tương đối của C và tập rel bd (C) = cl (C) \rel int (C) là biên tương đốicủa C

Định nghĩa 1.2.4 (Số chiều của một tập lồi) Cho C ⊂ Rn là tập lồi và U ⊂ Rn làmột không gian con sao cho aff (S) = {x0+ u|u ∈ U } với một x0 ∈ Rn Số chiều của

C kí hiệu bởi dim (C) được định nghĩa là số chiều của không gian con U

Ta sẽ có kết quả dưới đây

Mệnh đề 1.2.6 (Bao đóng, phần trong tương đối của tập lồi, nón lồi tương ứng làtập lồi và nón lồi) Cho C ⊂ Rn là một tập lồi và K ⊂ Rn là một nón lồi Khi đó:(i) cl (C) là lồi và cl (K) là một nón lồi,

(ii) rel int (C) là lồi và rel int (K) là một nón lồi

Hơn nữa, aff (C) = aff (cl (C)) và aff (K) = aff (cl (K))

Bổ đề 1.2.1 Nếu C là một tập lồi, x ∈ rel int (C) và nếu y ∈ cl (C) thì

[x, y) := {sx + (1 − s) y|s ∈ [0, 1]}

chứa trong rel int (C)

Mệnh đề 1.2.7 (Bao đóng của phần trong tương đối) Nếu C ⊂ Rn là một tập lồi thì

cl (rel int (C)) = cl (C)

Các ví dụ đặc biệt của tập lồi và nón lồi các đơn hình và nón đơn hình:

Định nghĩa 1.2.5 (Sự độc lập affine, đơn hình, nón đơn hình) Cho n ∈ Z>0

(i) Tập hợp {x0, x1, , xk} ⊂ Rn là độc lập afin nếu tập hợp {x1− x0, , xk− x0}

là độc lập tuyến tính

(ii) Một k−đơn hình là bao lồi của tập hợp {x0, x1, , xk} các điểm độc lập affine.(iii) Một nón k−đơn hình là bao nón lồi của một tập hợp {x1, , xk} độc lập tuyếntính

Ví dụ 1.2.1 (n−đơn hình chuẩn, nón n−đơn hình chuẩn) 1 n-đơn hình chuẩn là tậpcon của Rn

Như vậy ∆n là bao lồi của n- vectơ cơ sở chính tắc và gốc tọa độ.

2 Nón n-đơn hình chuẩn là tập con của Rn

Kn = {x ∈ Rn|x1, , xn ≥ 0}

Chú ý Kn là bao nón lồi của n-vectơ cơ sở chính tắc Trong hình B.2 ta minh họan-đơn hình chuẩn và nón n-đơn hình chuẩn khi n = 2

Hình 1.2: 2−đơn hình chuẩn và 2−nón đơn hình chuẩn

Kết quả dưới đây về số chiều của đơn hình và nón đơn hình

Mệnh đề 1.2.8 (Chiều của đơn hình và của nón đơn hình) Nếu C, K ⊂ Rn lần lượt

là k-đơn hình và nón k-đơn hình thì

dim (C) = dim (K) = k

Mệnh đề 1.2.9 (Sự tồn tại của các lân cận đơn hình) Cho C ⊂ Rn là lồi và có sốchiều k, cho x0 ∈ rel int (C) và U là một lân cận của x0 trong Rn Khi đó tồn tại một

k đơn hình C0 ⊂ C sao cho C0 ⊂ U và x0 ∈ rel int (C0)

Bổ đề 1.2.2 Nếu V là không gian thực hữu hạn chiều có tích vô hướng và nếu{v1, , vn} là một cơ sở của V thì tồn tại v0 ∈ V sao cho hv0, vji < 0 với mọi j ∈{1, , n}

Với các nón ta có kết quả tương tự

Mệnh đề 1.2.10 (Sự tồn tại của các lân cận nón đơn hình) Cho K ⊂ Rn là một nónlồi k chiều, cho x0 ∈ rel int (K) \ {0} và U là một lân cận của x0 ∈ Rn Khi đó tồntại một nón k-đơn hình K0 ⊂ K sao cho K0 ⊂ cone (U ) và x0 ∈ rel int (K0)

Nếu C là đơn hình nhận được bằng cách lấy bao lồi của các điểm {x0, x1, , xk} ,thì mọi điểm x ∈ C có biểu diễn duy nhất

với λ0, λ1, , λk ∈ R≥0 có tổng bằng 1 Chú ý rằng tập hợp các λ xuất hiện trong các

tổ hợp tuyến tính như vậy có tính chất: điểm

là một phép đồng cấu giữa ∆k và C Sử dụng tham số đơn hình C bởi λ0, λ1, , λk ta

có một hệ tọa độ trọng tâm cho C

Một phép xây dựng tương tự được thực hiện cho một nón k-đơn hình:

K = conv cone ({x1, , xk})

Ta cố định vectơ v0 ∈ rel int (K) \ {0} và cho Pv0 là phần bù trực giao của v0 Ta giảsử

x1, , xk ∈ {v0+ x|x ∈ Pv0} ,tức là các điểm x1, , xk nằm trên một mặt phẳng song song với Pv0 và qua v0 Ta xácđịnh một (k − 1)- đơn hình Cv 0 ⊂ Pv 0 bởi

Định nghĩa 1.2.6 (Siêu phẳng, nửa không gian, siêu phẳng giá)

(i) Một siêu phẳng trên Rn là một tập con có dạng

Hình 1.3:Tọa độ trọng tâm của nón đơn hình x = l (x) (λ1(x) x1+ + λk(x) xk)

{x ∈ Rn| hλ, xi = a},với λ ∈ Rn\ {0} và a. ∈ R Siêu phẳng này được kí hiệu là Pλ,a

(ii) Một nửa không gian trên Rn là một tập con có dạng

Pλ,a sao cho

A ⊂ Hλ,a+ S Pλ,a, B ⊂ Hλ,a− S Pλ,a.Định lý 1.2.1 (Các tập lồi có siêu phẳng giá) Nếu C ⊂ Rn là một tập lồi khác Rnthì C có một siêu phẳng giá.

Hệ quả 1.1 (Sự tách tập lồi và điểm) Nếu C ⊂ Rn là lồi và x0 ∈ int (C) thì tồn tại/một siêu phẳng tách {x0} và C

Hệ quả 1.2 (Các tập lồi rời nhau là tách được) Nếu C1, C2 ⊂ Rn là các tập lồi rờinhau thì tồn tại một siêu phẳng tách C1 và C2

Định lý 1.2.2 (Định lý tách tổng quát) Nếu C1, C2 ⊂ Rn là các tập lồi thì chúng cómột siêu phẳng tách khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Tồn tại một siêu phẳng P sao cho C1, C2 ⊂ P ;

(ii) rel int (C1)T rel int (C2) = ∅

1.3 Một số kết quả của giải tích hàm

Trong mục này ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết cho vấn đề xấp xỉ tập khảtới bởi các nón sinh bởi các biến phân nhọn và trong việc thiết lập các điều kiện hoành.Với n ∈ Z>0 ta kí hiệu

Sn= {x ∈ Rn+1| kxk = 1} , Dn = {x ∈ Rn| kxk ≤ 1} Định lý 1.3.1 (Định lý hình cầu Hairy) Giả sử n ∈ Z>0là số chẵn Nếu f : Sn→ Rn+1

là liên tục và có tính chất hf (x) , xi = 0 với ∀x ∈ Sn thì tồn tại x0 ∈ Sn sao cho

f (x0) = 0

Bổ đề 1.3.1 Cho A ⊂ Rn là compac, U là một lân cận của A, và g : U → Rk thuộclớp C1 Khi đó, tồn tại M ∈ R>0 sao cho

kg (y) − g (x)k ≤ M ky − xk , x, y ∈ A

Bổ đề 1.3.2 Cho A ⊂ Rn+1 là tập compac, U là một lân cận của A, g : U → Rn+1

thuộc lớp C1, và với s ∈ R, hs : A → Rn+1 xác định bởi hs(x) = x + sg (x) Khi đótồn tại ε ∈ R>0 sao cho

(i) với mỗi s ∈ [ε, ε] , hs là đơn ánh và

(ii) hàm s 7→ vol (hs(A)) là một đa thức

Bổ đề 1.3.3 Cho f : Sn→ Rn+1 có các tính chất sau:

(i) hf (x) , xi = 0 với mọi x ∈ Sn,

(ii) kf (x)k = 1 với mọi x ∈ Sn

Cho U là một lân cận của Sn và f : U → Rn+1 là một thác triển khả vi liên tục của

f , và với mỗi s ∈ R, xác định hs:U → Rn+1 bởi hs(x) = x + sf (x) Khi đó với |s| đủnhỏ, f ánh xạ Sn lên hình cầu

Ta hình dung định lý hình cầu Hairy như sau: Do hf (x) , xi = 0 với mọi x ∈ Sn

nên f (x) cho ta một vectơ tiếp xúc với Sn tại x, nói cách khác f là một trường vectơtiếp xúc trên Sn Định lý khẳng định rằng khi n chẵn thì mọi trường vectơ tiếp xúctrên Sn đều phải triệt tiêu tại ít nhất một điểm Kết quả yêu cầu n là chẵn nếu n lẻthì hàm

f (x1, , xn+1) = (x2, −x1, x4, −x3, , xn, −xn+1),xác định một trường vectơ đơn vị tiếp xúc với Sn nhưng không triệt tiêu trên Sn.Định lý 1.3.2 (Định lý điểm bất động Brouwer) Nếu f : Dn→ Dn là liên tục thì tồntại x0 ∈ Dn sao cho f (x0) = x0

Từ định lý điểm bất động Brouwer ta có hai hệ quả sau Chúng được sử dụng khixấp xỉ tập khả tới bởi các nón biến phân nhọn và khi thiết lập các điều kiện hoành

Bổ đề 1.3.4 (Một tính chất của các ánh xạ trên các tập lồi compac) Cho K ⊂ Rn làcompac và lồi với int (K) 6= 0 và cho f : K → Rn liên tục Nếu x0 ∈ int (K) có tínhchất

kf (x) − xk < kx − x0kvới mọi x ∈ bd (K) thì x0 ∈ image (f )

Bổ đề này được minh họa qua Hình 1.4 Nó nói rằng, nếu biên của tập K khôngbiến đổi quá nhiều qua ánh xạ liên tục f , thì tập K sẽ biến đổi đủ ít theo nghĩa nếu cómột miền chứa ảnh của biên f (bdK) mà không chứa x0 thì ảnh f (K) này sẽ chứa x0.Kết quả tiếp theo nói về giao của các mặt phẳng ngang qua ảnh của một ánh xạliên tục

Hình 1.4: Đường tròn biểu diễn biên của K, miền mờ là nơi biên của K sẽ được ánh xạ vào

Bổ đề 1.3.5 (Giao của các ảnh liên tục của các mặt phẳng ngang) Cho n, k ∈ Z>0

với k < n Xác định

Cn = {(x1, , xn) |max {|x1| , , |xn|} ≤ 1} ,

P1 =(x1, , xn) ∈ Cn|xk+1 = = xn = 0 ,

P2 =(x1, , xn) ∈ Cn|x1 = = xk = 0 Giả sử fa: Pa → Rn, a ∈ {1, 2} là các ánh xạ liên tục sao cho

kfa(xa) − xak < 1

4, xa ∈ Pa, a ∈ {1, 2} thì f1(P1)T f2(P2) 6= ∅

Trong hình 1.5 ta minh họa Bổ đề 1.3.5 Nó nói rằng, nếu các mặt phẳng P1 và P2không bị biến dạng quá nhiều tương ứng qua các ánh xạ f1 và f2 thì ảnh của chúng sẽgiao nếu trước đó chúng giao nhau "đủ mạnh"

Hình 1.5: Đường thẳng đứng biểu diễn P1, đường thẳng ngang biểu diễn P1, vùng mờ là nơi

mà P1, P2 sẽ được ánh xạ vào

1.4 Hệ điều khiển và bài toán điều khiển tối ưu

Mục này nhằm trình bày khái niệm hệ điều khiển và các kí hiệu cần thiết và một

số lớp các quỹ đạo của hệ Chúng tôi cũng thiết lập một số bài toán điều khiển tối ưu

cụ thể làm tiền đề cho việc thảo luận về nguyên lý cực đại Pontriagin

ánh xạ x 7→ f (x, u) thuộc lớp C1 với mỗi u ∈ cl (U ).

Phương trình vi phân gắn với hệ điều khiển Σ = (X, f, U) là

.

ξ (t) = f (ξ (t) , µ (t)) (1.1)

Phương trình (1.1) và hàm f thường được gọi là hệ động lực

Ví dụ 1.4.1 (Hệ afin-điều khiển) Hệ afin-điều khiển là một hệ điều khiển trong đó

hệ động lực f là một hàm afin của điều khiển u:

1.4.2 Điều khiển và quỹ đạo

Trong luận văn này chúng tôi xét các loại điều khiển và quỹ đạo sau đây:

Định nghĩa 1.4.2 (Điều khiển chấp nhận được, quỹ đạo được điều khiển, cung đượcđiều khiển) Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển.

(i) Một điều khiển chấp nhận được là một ánh xạ đo được µ : I → U trên mộtkhoảng I ⊂ R sao cho t 7→ f (x, µ (t)) khả tích địa phương với mỗi x ∈ X Tập hợp tất

cả các điều khiển chấp nhận được trên I được kí hiệu là U (I)

(ii) Một quỹ đạo được điều khiển là một cặp (ξ, µ) sao cho có một đoạn I ⊂ R,

µ ∈U (I) và ξ : I → X thỏa mãn (1.1)

Chúng ta gọi I là khoảng thời gian của quỹ đạo được điều khiển (ξ, µ)

(iii) Một cung được điều khiển là một quỹ đạo được điều khiển trên khoảng thờigian compact Nếu (ξ, µ) là một quỹ đạo được điều khiển thì chúng ta gọi ξ là quỹ đạo

và µ là điều khiển

Cho x0 ∈ X và t0 ∈ I Kí hiệu t 7→ ξ (µ, x0, t0, t) là nghiệm của phương trình viphân (1.1) thỏa mãn ξ (µ, x0, t0, t0) = x0 và ξ (µ, x0, t0, ·) là ánh xạ t 7→ ξ (µ, x0, t0, t).Tương ứng với các điều khiển chấp nhận được chúng ta đặt:

Ctraj (Σ) = {(ξ, µ) | (ξ, µ) là một quỹ đạo được điều khiển },

Carc (Σ) = {(ξ, µ) | (ξ, µ) là một cung được điều khiển },

Ctraj (Σ, I) = {(ξ, µ) | (ξ, µ) là một quỹ đạo được điều khiển

với khoảng thời gian I},Carc (Σ, I) = {(ξ, µ) | (ξ, µ) là một cung được điều khiển

với khoảng thời gian I }

Sự tồn tại và duy nhất của các điều khiển chấp nhận được được khẳng định trongcác định lý sau:

Định lý 1.4.1 (Định lý tồn tại và duy nhất Caratheodory) Cho X ⊂ Rn là tập mở,

I ⊂ R là một khoảng và giả sử f : I × X → Rn có tính chất t 7→ f (t, x) là khả tíchđịa phương với mỗi x ∈X và x 7→ f (t, x) thuộc lớp C1 với mỗi t ∈ I Cho t0 ∈ I và

x0 ∈ X Khi đó tồn tại một khoảng J ⊂ I sao cho int (J) 6= ∅, t0 ∈ J và một đuờngcong liên tục tuyệt đối địa phương ξ : J →X sao cho

(i) ξ (t0) = x0,

Đối với một hệ điều khiển gắn với một điều khiển chấp nhận được, khẳng định cuối

ở trên có nghĩa là: các quỹ đạo được điều khiển tồn tại và duy nhất trên khoảng thờigian đủ nhỏ quanh thời điểm ban đầu

Ta thường phải sử dụng tính chất phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình

vi phân vào điều kiện ban đầu và vào chính phương trình vi phân Điều đó được chỉ

ra trong định lý dưới đây

Định lý 1.4.2 (Sự phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và các tham số) Cho

X ⊂ Rnlà một tập mở, t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1, δ > 0 Giả sử f, h : [t0, t1]×X → Rn

thỏa mãn

(i) t 7→ f (t, x) và t 7→ h (t, x) khả tích với mỗi x ∈X và

(ii) x 7→ f (t, x) và x 7→ h (t, x) thuộc lớp C1 với mỗi t ∈ [t0, t1]

Cho ξ : [t0, t1] →X là một nghiệm của phương trình vi phân

Đôi khi chúng ta chỉ hạn chế xét các điều khiển không chỉ khả tích mà còn phải

bị chặn vì vậy ta kí hiệu Ubdd(I) là tập các điều khiển chấp nhận được trên khoảng

I ⊂ R và bị chặn

Trong một số bài toán chúng ta chỉ xét các quỹ đạo xuất phát từ một điều kiệnban đầu đặc biệt và sự tồn tại của chúng được bảo đảm trong một khoảng thời giannhất định Điều này dẫn đến khái niệm sau

Định nghĩa 1.4.3 Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển x0 ∈X và I ⊂ R là mộtkhoảng, t0 ∈ I Chúng ta kí hiệuU (x0, t0, I) là tập hợp các điều khiển chấp nhận đượcsao cho nghiệm của bài toán ban đầu:

.

ξ (t) = f (ξ (t) , µ (t)) , ξ (t0) = x0,tồn tại với mọi t ∈ I

1.4.3 Hai bài toán tổng quát trong điều khiển tối ưu

Định nghĩa 1.4.4 (Hàm Lagrange, hàm mục tiêu) Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điềukhiển

i) Hàm Lagrange cho Σ là một ánh xạ L : X × cl (U) → R liên tục sao cho tươngứng x 7→ L (x, u) thuộc lớp C1 với mỗi u ∈ cl (U ).

ii) Nếu L là một hàm Lagrange thì (ξ, µ) ∈ Ctraj (Σ) là L- chấp nhận được nếuhàm t 7→ L (ξ (t) , µ (t)) khả tích trên I, với I là khoảng thời gian của (ξ, µ)

Tập hợp các quỹ đạo được điều khiển (các cung được điều khiển) L- chấp nhậnđược của Σ được ký hiệu là Ctraj (Σ, L),(Carc (Σ, L))

(iii) Nếu L là một hàm Lagrange thì hàm mục tiêu tương ứng là ánh xạ JΣ,L :Ctraj (Σ) → R xác định bởi:

JΣ,L(ξ, µ) =RIL (ξ (t) , µ (t)) dt,

và quy ước rằng JΣ,L(ξ, µ) = ∞ nếu (ξ, µ) không là L- chấp nhận được

Chúng ta sẽ cố gắng cực tiểu hóa hàm mục tiêu trên một vài tập các quỹ đạo đượcđiều khiển, đặc biệt là các quỹ đạo được điều khiển từ một tập con S0 của X đến mộttập con khác S1 của X Bây giờ ta xác định chính xác các bài toán chúng ta sẽ nghiêncứu Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, L là một hàm Lagrange, S0 và S1 là cáctập con của X Kí hiệu Carc (Σ, L, S0, S1) ⊂ Carc (Σ) là tập hợp các cung được điềukhiển có các tính chất sau:

1 Nếu (ξ, µ) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1) thì (ξ, µ) được định nghĩa trên khoảng thời gian

có dạng [t0, t1] với t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1;

2 Nếu (ξ, µ) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1) thì (ξ, µ) ∈ Carc (Σ, L);

3 Nếu (ξ, µ) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1) xác định trên khoảng thời gian [t0, t1] thì

ξ (t0) ∈ S0 và ξ (t1) ∈ S1.Bài toán 1 (Bài toán điều khiển tối ưu trên khoảng tự do)

Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển, L là một hàm Lagrange của Σ và S0, S1 ⊂

X Quỹ đạo được điều khiển (ξ∗, µ∗) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1) được gọi là nghiệm của bàitoán điều khiển tối ưu trên khoảng tự do đối với Σ, L, S0, và S1 nếu JΣ,L(ξ∗, µ∗) ≤

JΣ,L(ξ, µ) với mỗi (ξ, µ) ∈ Carc (Σ, L, S0, S1) Hãy tìm điều kiện cần cho nghiệm(x∗, µ∗)

Tập hợp các nghiệm của bài toán này được kí hiệu là P (Σ, L, S0, S1).

Cho t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1, chúng ta kí hiệu Carc (Σ, L, S0, S1, [t0, t1]) là tậpcon của Carc (Σ, L, S0, S1) bao gồm các cung được điều khiển trên [t0, t1]

Bài toán 2 (Bài toán điều khiển tối ưu trên khoảng cố định)

Cho Σ = (X, f, U) là một hệ điều khiển L là một hàm Lagrange của Σ, S0, S1 ⊂X

Tập hợp các nghiệm của bài toán này được kí hiệu là P (Σ, L, S0, S1, [t0, t1])

Để đưa ra các điều kiện cần đối với nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu, chúng

ta cần tới các nguyên lý cực trị Các nguyên lý cực trị không giải bài toán mà đưa ranhững hạn chế mà các nghiệm chấp nhận được phải thỏa mãn nếu muốn là nghiệmcủa bài toán đó

Ví dụ 1.4.3 (Về bài toán điều khiển tối ưu)

1 Trường hợp hàm Lagrange L (x, u) = 1, khi đó hàm mục tiêu chính là khoảngthời gian I của quỹ đạo nên bài toán điều khiển tối ưu lúc này được gọi là bàitoán điều khiển tối ưu thời gian

2 Xét hệ điều khiển tối ưu tuyến tính Σ = (A, B, Rm) với hàm Lagrange

LQ,R(x, u) = 1

2Q (x, x) +

1

2R (u, u) ,trong đó Q là một dạng song tuyến tính đối xứng trong không gian trạng thái

Rn, R là một dạng song tuyến tính xác định dương đối xứng trong không gianđiều khiển Rm Bài toán điều khiển tối ưu này được gọi là bài toán điều khiển tối

ưu toàn phương tuyến tính

1.5 Một số điều kiện cần trong phép tính biến phân

Trong mục này chúng ta sẽ đề cập tới ba điều kiện cần của phép tính biến phân cổđiển có liên quan đến nguyên lý cực trị

Cho X là một tập hợp con mở của Rn, L : X × Rn → R là hàm Lagrange khả vihai lần liên tục, x0, x1 ∈X và t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1 Kí hiệu C2(x0, x1, [t0, t1]) là

họ tất cả các đường cong khả vi hai lần liên tục ξ : [t0, t1] →X thỏa mãn ξ (t0) = x0

Dưới đây là bài toán cơ bản của phép tính biến phân

Bài toán 3 (Bài toán cơ bản của phép tính biến phân) Tìm ξ∗ ∈ C2(x0, x1, [t0, t1])sao cho JL(ξ∗) ≤ JL(ξ) với mọi ξ ∈ C2(x0, x1, [t0, t1]) Tập hợp các nghiệm của bàitoán này được kí hiệu bởi P (L, x0, x1, [t0, t1])

Sau đây là ba điều kiện cần cho các phần tử của P (L, x0, x1, [t0, t1])

Điều kiện cần đầu tiên là điều kiện Euler-Lagrange Ta kí hiệu một điểm trong

X × Rn bởi (x, v), trong đó x đại diện cho vị trí và v đại diện cho vận tốc

Định lý 1.5.1 (Điều kiện cần Euler – Lagrange) Cho X ⊂ Rn là một mở, x0, x1 ∈X,

t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1 Giả sử L : X × Rn

→ R là hàm Lagrange khả vi hai lầnliên tục và ξ ∈P (L, x0, x1, [t0, t1]) Khi đó ξ thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange:

ddt

Định nghĩa 1.5.1 (Cực trị trong phép tính biến phân) Cho X ⊂ Rn là một tập mở,

x0, x1 ∈X, t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1 Giả sử L :X × Rn

→ R là hàm Lagrange khả vihai lần liên tục Mỗi nghiệm ξ : [t0, t1] → X của phương trình Euler – Lagrange đượcgọi là một cực trị cho P (L, x0, x1, [t0, t1])

Điều kiện thứ hai là điều kiện cần Legendre Đây là điều kiện cần cấp hai, tương tựvới điều kiện: Hessian của một C2−hàm phải nửa xác định dương tại điểm cực tiểu.Định lý 1.5.2 (Điều kiện cần Legendre) Cho X ⊂ Rn là một tập mở x0, x1 ∈ X,

t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1 Giả sử L : X × Rn → R là hàm Lagrange khả vi hai lầnliên tục và ξ ∈P (L, x0, x1, [t0, t1]) Khi đó ánh xạ song tuyến tính đối xứng

là nửa xác định dương với mỗi t ∈ [t0, t1]

Điều kiện thứ ba là điều kiện cần Weierstrass Trước hết ta cần tới khái niệm sau:Định nghĩa 1.5.2 (Hàm số dư Weierstrass) ChoX ⊂ Rnlà tập mở và L :X×Rn→ R

là hàm Lagrange Hàm số dư Weierstrass là hàm EL : X × Rn× Rn → R định nghĩabởi

EL(x, v, u) = L (x, u) − L (x, v) − D2L (x, v) (u − v) Định lý 1.5.3 (Điều kiện cần Weierstrass) Cho X ⊂ Rn là một tập mở, x0, x1 ∈ X,

t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1 Giả sử rằng L :X × Rn → R là hàm Lagrange khả vi hailần liên tục và ξ ∈P (L, x0, x1, [t0, t1]) Khi đó

ELξ (t) ,

.

ξ (t) , u≥ 0,với mọi t ∈ [t0, t1] và mọi u ∈ Rn

Chứng minh Giả sử rằng ξ ∈P (L, x0, x1, [t0, t1]) và

ELξ t
,ξ t
, u. < 0,

với t ∈ [t0, t1] và u ∈ Rn Khi đó vì EL liên tục nên

= D2Lξ t
,ξ t.
.

.

ξ t
− u (1.5)Kết hợp (1.4) và (1.5) ta có

ddε

ε=0

∆L(ε) = d

dε

2 Trong trường hợpnày chúng ta có JL

∼

ξ− JL(ξ) < −δ

2 mâu thuẫn với ξ ∈P (L, x0, x1, [t0, t1])

Qua chứng minh của điều kiện cần nêu trên ta nhận thấy, chứng minh cơ bản dựatrên việc xây dựng một tập hợp đường cong chứa đường cong nghiệm đang xét Đểkhái quát hóa điều đó ta đưa ra khái niệm sau:

Định nghĩa 1.5.3 (Biến thiên của một đường cong) Cho X ⊂ Rn là một tập mở,

x0, x1 ∈ X, t0, t1 ∈ R thỏa mãn t0 < t1 và cho ξ ∈ C2(x0, x1, [t0, t1]) Biến thiên của ξ

là một ánh xạ σ : J × [t0, t1] →X có những tính chất sau:

(i) J ⊂ R là một khoảng với 0 ∈ int (J);

(ii) σ thuộc lớp C2;

(iii) σ (s, t0) = x0 và σ (s, t1) = x1 với mọi s ∈ J ;

(iv) σ (0, t) = ξ (t) với mọi t ∈ [t0, t1]

Cho một biến thiên σ của ξ Biến phân của biến thiên σ là δσ : [t0, t1] → Rn xácđịnh bởi

δσ (t) = d

ds