Cho A tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số.. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A.. Tính xác suất sao cho số được chọn chia hết cho 7.. Hãy viết phương trình đường thẳng AB 2 a đường thẳn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2010-2011; MÔN: TOÁN KHỐI A; LỚP 11 KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN 4
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) 1 Giải phương trình cos 4 6sin 9 cos 3 2 0
2 Giải phương trình 2 sin 3 2 2 sin 1 4cos
Câu II (2 điểm) 1 Cho A tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A Tính
xác suất sao cho số được chọn chia hết cho 7
2 Giải bất phương trình 2x2+4x 2x− ≥ +1 x 5 2x−1 (x∈¡ )
Câu III (1 điểm) Tính giới hạn 3
1
lim
1
x
A
x
→
=
−
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); đáy ABCD là
hình thang vuông tại A và B, AB BC a AD= = ; =2a Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt
phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy của hình chóp S.ABCD, biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) bằng 60 0
Câu V (1 điểm) Giải hệ phương trình ( )
2
1 2
x
≥
¡
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Chú ý thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc phần B)
Phần A
Câu VIa (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn
( )C x: 2+y2−2x−2y− =1 0.Giả sử đường tròn ( )C có tâm ' M( )3;1 và cắt đường tròn ( )C tại hai điểm , A B
sao cho tam giác IAB đều, trong đó điểm I là tâm của đường tròn ( )C Hãy viết phương trình đường thẳng AB
2
a
đường thẳng BC và SA.
Câu VIIa (1 điểm) Cho khai triển ( 2 3 10)10 2 100
1− + − + +x x x x = +a a x a x+ + + a x Tính giá trị của biểu thức P=2a1+23a3+ + 299a99
Phần B
Câu VIb (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy); cho đường tròn ( )C và hai đường thẳng d d lần lượt 1, 2
1
C x− + y− = d x+ y− = P Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc d sao 1
cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA MB đến đường tròn , ( )C sao cho đường thẳng AB cách điểm P
một khoảng bằng 5
13.
2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn AB=3 ,a AC =4 ,a BC=5a Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy, biết ba mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy một góc 60 0
Câu VIIb (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực m phương trình ẩn x sau đây luôn có hai nghiệm phân
biệt x4−mx3+2011x−2010 0=
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
I
2điểm 1 (1 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
0,5
2cos 2x 1 3cos 2x 2 0 2cos 2x 3cos 2x 1 0 2cos 2x 1 cos 2x 1 0
cos 2 1
cos 2
2
6
x k x
x
π
=
=
=
= − +
¢
0,5
2 (1 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
0,5
Đặt
2
1
t
2
1
2
2 1
1 sin
2
t
x k
π π
=
= +
0,5
II
2điểm 1 (1 điểm)
+) Các số gồm ba chữ số chia hết cho 7 là 105;112; ;994 các số này lập thành một cấp số cộng
có số hạng đầu là 105 và công sai d =7 Do đó số các số gồm ba chữ số chia hết cho 7 bằng
994 105
1 128 7
Vậy xác suất cần tìm là 128 32
2 (1 điểm)
2
x≥ Khi đó bpt viết lại dưới dạng
2 x+ 2x−1 −5 x+ 2x− + ≥1 2 0 Đặt 2 1 1
2
2
Trang 3Vậy tập nghiệm của bpt là 1 [1; )
2
U
III
1điểm
3 1
3 4 2
lim
lim
x
x
A
→
→
0,5
3 2 2
lim
6
x
x
→
0,5
IV
1điểm Ta tính được AC a= 2;CD a= 2⇒ AC2+CD2 = AD2 ⇒AC⊥CD Mặt khác CD⊥SA, do
Ta lần lượt kẻ AH ⊥SC AK; ⊥SD Do đó AH ⊥(SCD)⇒AH ⊥SD⇒SD⊥HK kết hợp với
0
4 4
0,5
V
2 2
0,5
2 2
2
Ta thấy hệ phương trình (1) vô nghiệm Vậy hệ pt ban đầu vô nghiệm
0,5
VIa
2điểm
1 (1 điểm)
Gọi là giao điểm của MI và AB Ta có đường tròn ( )C có tâm I( )1;1 ;R= 3 Do tam giác IAB
2
0,25
+) TH1 Nếu M và I nằm về hai phía của đường thẳng AB Khi đó
1
đường tròn ( )C' :x2+y2−6x−2y+ = ⇒9 0 AB: 2x− =5 0
0,5
2 (1 điểm)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA Ta chứng minh được HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BC và SA
0,5
Trang 42 2 2 2
;
VIIa
1điểm
Xét x≠ −1 ta có
10 11
1
1
x
x
Lần lượt thay x=2 và x= −2 vào đẳng thức này sau
đó trừ từng vế cho nhau ta được
0,5
11
VIb
2điểm
1 (1 điểm)
DoM ∈d2 nên M(3 2 ;− t t) và đường tròn (C) có tâm I( )4;3 ,R= 8 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác MAI ta có: MA2 =MI2 −R2 =5t2 − +2t 1 Do đó đường tròn tâm M, bán kính MA có pt:
C x+ −t + y t− = t − + ⇔t x + y + t− x− ty− t+ =
Do A, B là giao của ( ) ( )C , C nên phương trình đường thẳng '
AB t+ x+ −t y− − =t
0,5
Do đường thẳng AB cách điểm P( )1;1 một khoảng bằng 5
13 nên
2
1;
83 13
t
+
0,5
2 (1 điểm)
Gọi I là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Từ giả thiết ta chỉ ra được I là tâm đường tròn
0
3 4
VIIb
1điểm Đặt f x( ) =x4 −mx3 +2011x−2010 hàm số này liên tục trên ¡ và f ( )0 = −2010
→±∞ = +∞ ⇒ ∃ > < sao cho f a( ) >0;f b( ) >0 0.5
Từ đó f ( ) ( )0 f a <0; f ( ) ( )0 f b <0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. 0,5