Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.. b Người ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để tạo thành
Trang 1-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN – VÒNG II (Dùng cho các thí sinh dự thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang
Câu 1 (2 điểm):
1
1 1
−
−
+
−
−
−
=
x
x x
x
x x x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x∈N sao cho N
P2 ∈ (N là tập hợp các số tự nhiên).
Câu 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình: x+4 x+3+2 3−2x =11
b) Giải hệ phương trình:
+
=
+
=
+
= 1 2
1 2
1 2
2 2 2
x z
z y
y x
Câu 3 (2 điểm):
a) Cho hai phương trình x 2 + 2mx + mn - 1 = 0 và x 2 - 2nx + m + n = 0 (ẩn x, tham số
m, n) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phương trình trên có
nghiệm
b) Người ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để tạo thành một số mới có ba chữ số Xét tỉ số có tử số là số có ba chữ số (được tạo thành) và mẫu số là
số có hai chữ số ban đầu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị nguyên của các
tỉ số trên
Câu 4 (1 điểm):
Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O; R) (B, C là hai tiếp điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với
AC, cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E
a) Chứng minh rằng tia đối của tia EC là phân giác của góc AEB
b) Đường thẳng BE cắt AC tại M Chứng minh rằng MA = MC
Câu 6 (1 điểm):
Cho các số 2009 số thực dương a a1, , ,2 a2009 thoả mãn a a a1 2 2009 =1 Tính tổng:
1 1 2 1 2 3 2008 2 2 3 2 3 4 2009
3 3 4 3 4 5 2009 1 2009 2009 1 2009 1 2 2007
S
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký của giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN – VÒNG II (Đề thi vào lớp chuyên Toán, Tin)
Hướng dẫn chấm gồm 3 trang
I Hướng dẫn chung.
1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn
2 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm
3 Tuyệt đối không là tròn điểm
II Hướng dẫn chi tiết.
Câu 1 ( 2 điểm):
a. (1 điểm): Điều kiện
≠
≥ 1
0
x x
−
−
−
−
+ +
−
−
=
−
−
+
−
−
−
=
2 2
1
1 1
) 1
)(
1 ( 1 1
1 1
1 1
x
x x
x
x x x
x x
x x
x
x x x
P
1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
2
−
=
−
− +
−
=
−
− +
+ +
−
x
x x
x x
x x
x x
Giả sử (a,b N,b 0,(a,b) 1) xb2 a2 a b b 1 x a2
b
a
Khi đó
1
2 2
−
=
a
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
=
−
⇔
>
−
−
⇔
∈
9
4 3
2 2
1
1 1 0
1
) 1 ( 2 2
x
x a
a a
a a
a N
P
0,25
0,25
0,5
0,25
0.25
0,5
Câu 2 (2 điểm):
a. (1 điểm): Điều kiện:
2
3
3≤ ≤
1 0
1 2
3
0 2 3
0 ) 1 2 3 ( ) 2 3
(
0 ) 1 2 3 2 2 3 ( ) 4 3 4 3
(
0 2 3 2 3 4 11 11 2 3 2 3 4
2 2
=
⇔
=
−
−
=
−
−
⇔
=
−
− +
− +
⇔
= +
−
−
− + + +
−
+
⇔
=
−
− +
−
−
⇔
=
− + +
+
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
b (1 điểm):
Với mọi a∈R, ta có (a−1)2 ≥0⇒a2 +1≥2a, đẳng thức xảy ra khi a = 1
Do đó 2x= y2 +1≥2y⇒x≥ y, 2y=z2+1≥2z⇒ y≥z, 2z x= 2+ ≥1 2x⇒ ≥z x
⇒ = = =x y z 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x= y= z=1
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,5
0.25
Trang 3Câu 3 (2 điểm):
a (1 điểm):
x2 + 2mx + m(n + 1) = 0 (1)
m mn m n
m
=
x2 - 2nx + n – 1 = 0 (2)
1 )
1
2
'
2 = − − = − +
n m mn n
=
∆
+
∆
2
1
2 2 '
2
'
Suy ra trong hai số '
1
∆ và '
2
∆ có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng không
Suy ra trong hai phương trình (1) và (2) có ít nhất phương trình có nghiệm
0,25
0,25
0,25
0,25
b (1 điểm):
Giả sử ab là số tự nhiên có hai chữ số ( a,b∈{0;1;2; ;9},a≠0)
Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số a, b ta được số có ba chữ số a0 b
Đặt
b a
b a ab
b
a
k
+
+
=
=
10
100 0
Ta chứng minh: 5<k ≤10 Thật vậy:
* k ≤10⇔100a+b≤10(10a+b)⇔b≥0 mà b≥0⇒k ≤10, k = 10 khi b = 0
* k >5⇔100a+b>5(10a+b)⇔50a>4b mà a≥1,b≤9⇒k >5
Với k nguyên thì k ≥6 Dễ thấy với a = 1, b = 8 thì k = 6
Kết luận: Giá trị lớn nhất cần tìm là 10 và giá trị nhỏ nhất cần tìm là 6
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4 (1 điểm):
• Khi ABCD là hình chữ nhật Áp dụng định lí Pi ta go ⇒ ĐFCM
• Khi ABCD không là hình chữ nhật
Không mất tính tổng quát giả sử DAB > 900
Kẻ AH vuông góc với CD tại H và DK vuông góc với AB tại K
Suy ra H thuộc đoạn CD và K thuộc tia đối của tia AB và AHDK là hình chữ nhật
Theo định lí Pi ta go ta có:
DH CD DH
CD AH
DH CD AH
CH AH
Mà AD2 = AH2 +DH2 ⇒ AC2 = AD2 +CD2 −2CD.DH
Tương tự BD2 = AD2 +AB2 +2AB.AK =BC2 +AB2 +2CD.DH
2 2 2
2 2
0.25
0.25 0.25 0.25
C H
D K
Trang 4Câu 5 (2 điểm):
a (1 điểm):
Gọi K là giao điểm của CE và AB, Cx là tia đối của tia CA
Ta có: ·KEA CED DCx=· = · ( ·KEA CED đối đỉnh, ·,· CED DCx cùng chắn cung »CD ),·
KBE= −BEC BDC BCA= = (KBE BEC kề bù, tứ giác BCED nội tiếp· ,· )
BD//AC ⇒ ·BCA DCx=·
⇒ ·KEA KEB=·
Vậy EK là phân giác góc ·AEB
b (1 điểm):
Xét hai tam giác MBC và MCE, ta có: ¶M chung và · CBM =ECM· ⇒ ∆MBC và ∆MCE
MC
MB ME
MC
2 =
⇒
=
Xét hai tam giác ABM và EAM, ta có: ¶M chung, · EAM = 12(sđ »CD - sđ »CE )
2
ABM = sđ »BE =
2
1
(sđ »BC - sđ »CE ), mà » BC CD=» ⇒·ABM =EAM· ⇒ hai tam giác ABM và
MA
MB ME
MA
2 =
⇒
=
Từ (1) và (2) ⇒ MA = MC
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.5 0.25 Câu 7 (1 điểm) :
Vì a a a1 2 2009 =1, ta có:
• 2 2 3 2 3 4 2009
2 2 3 2 3 4 2008
1
1
a
=
1 1 2 1 2 3 1 2 3 2008 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2008
• 3 3 4 3 4 5 2009 1
3 3 4 3 4 5 2008 3 4 5 2009 1
1 2
1
a a
=
2
1 2 1 2 3 1 2 3 2008 1 1 2 3 2009 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2008
0.25
0.25
C M
A
K
O
x E
Trang 5• 1 2 2008
2009 2009 1 2009 1 2 2007 1 1 2 1 2 3 2008
1
a a a
1
S
⇒ =
0.25 0.25