Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác... Cho n,k là các số nguyên dương.. Cho a,b,c là ba số thực dương.. Chứng minh rằng:.
Trang 1
100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC
2
b c c a a b
2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 + y2 +z2 =3
Chứng minh : xy+ yz + zx ≥3
z x y
3 Cho x, y, z >0 thoả x y z+ + = 1 Chứng minh: 1+ + ≥4 9 36
x y z
4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz≥ (x+ −y z y z x z)( + − )( + −x y)
5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : − +1 1 − +1 1 − +1 1≤1
a bb cc a
6 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
( )+ ( )+ ( ) ≥2
a b c b c a c a b
7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z= + + +2
2
x y z xyz
8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b
b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2≥ a(b+c+d+e)
c) a 3 +b 3≥ ab(a+b)
d) a 4 +b 4≥ a 3 b+ab 3
9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca)
b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc
10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2
Chứng minh rằng: a 4 +b 4≥ a 3 +b 3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3
Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4≥ a 3 +b 3 + c 3
Trang 211.Cho a,b,c là các số dương,
Chứng minh rằng:
a b b c a c
< + + <
12 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :
a b c b c d c d a d a b
13 Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
a) bc ac ab a b c
a + b + c ≥ + +
b) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
b + c + a ≥ + +
14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
a)a22 b22 a b
b + a ≥ +b a
b)
a b c
b + c + a ≥ + +
b c c a a b 2
+ +
15 Cho x y z, , > 0 và xyz= 1 Chứng minh:
(1 )(1 ) (1+ )(1 ) (1+ )(1 ) ≥ 4
16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da+ + + =1 Chứng minh:
3
b c d c d a a b d a b c
17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:
( )+ ( )+ ( ) ≥ 2( )
a a b b b c c c a a b c d
18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2+ y2 +z2 =3. Chứng minh: xy + yz + zx ≥3
z x y
Trang 319 Cho cỏc số dương x, y, x thỏa xyz = 1 Chứng minh:
x xy y y yz z z zx x
20 Cho , ,a b c>0. Chứng minh:
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd
21 Cho x, y, z là cỏc số dương Chứng minh:
3
+ + + ≥ + + +
22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:
x y z
x y z
yz zx zx
23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2+b2 +c2 ≥ 2(ab ac+ )
24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh:
2
25 Chứng minh rằng :
a)
2
2 2
+ +
≥ ữ ;
b)
2
26 Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có
m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n + p + q + 1)
27 Cho a, b, c, d,e là các số thực,
Chứng minh rằng
a) 2 b2
4
+ ≥
b)a2+b2+ ≥1 ab a b+ +
c)a2+b2+ +c2 d2+e2 ≥a b c d e( + + + )
28 Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)
Trang 429 Cho x.y =1 vµ x.y = 1 Chøng minh x y
x y
+
− ≥2 2
30 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
31 Cho a>b>c>0 vµ a2+b2 +c2 =1 Chøng minh r»ng:
2
b c a c a b
32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:
a + + + +b c d a b c+ +b c d+ +d c a+ ≥10
33 Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:
(a c)+ 2 + +(b d)2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2
34 Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:
2a3+2b3+2c3 < +3 a b b c c a2 + 2 + 2
35 Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng
a b c b c d c d a d a b
36 Cho a
b< c
d vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng: a
b< ab cd2 2 c
d
b d
+ <
+
37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng
2< n 1 n 2+ + + n n < 4
38 Chøng minh r»ng:
39 Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng:
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
40 Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng
a 2bc b+ 2ac c+ 2ab ≥
+ + + (1)
Trang 541 Chøng minh r»ng
12 12 12 2 1
n
1 + 2 + + n < − (∀n∈N;n> 1)
42 Cho n∈N vµ a+b> 0
Chøng minh r»ng
n
a b 2
+
≤
n n
a b 2 + (1)
43 Cho abc = 1 vµ a3 >36 Chøng minh r»ng: a2
3 +b 2 +c 2 > ab + bc + ac
44 Chøng minh r»ng
a) x4 +y4+z2+ ≥1 2x.(xy2 − + +x z 1)
b) a2 +5b2−4ab 2a 6b 3 0+ − + >
c) a2+2b2 −2ab 2a 4b 2 0+ − + ≥
45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng
2
2 2 2
x y
8
x y
+
≥
−
46 Cho xy ≥ 1 Chøng minh r»ng
1 2 1 2 1 xy2
1 x +1 y ≥
+
47 Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1
Chøng minh r»ng a2 b2 c2 1
3
48 Cho 0 < a, b,c <1 Chøng minh r»ng:
2a3+2b3+2c3< +3 a b b c c a2 + 2 + 2
49 Cho a ,b ,c ,d > 0 Chøng minh r»ng:
a b c b c d c d a d a b
50 Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c
Chøng minh r»ng:
1< + + <2
b c c a a b
51.Chøng minh:
Trang 6a) 1 1 1 1
1.3 3.5+ + +(2 1).(2 1)< 2
1.2 1.2.3 1.2.3
n
52.Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + ∀ , , > 0
2 + + ≥ + +2 2 ∀ ≠ 0
54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác CMR:
a) ( p a p b p c− ) ( − ) ( − ≤) 18abc;
p a p b p c a b c
55 Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng:(b c a c a b a b c+ − )( + − )( + − ≤) abc
1 1 2
2
+ +
a b b c c a
58 Cho x y z, , ∈ (0;1) và xy yz zx+ + = 1 Chứng minh:
2 2 2 3 3
2
b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≥ + +
60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc
p a p b p c
p a− + p b− + p c− ≥ − − −
62 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:
2+a+2+b+2+c≤
Trang 763 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh
3 3 3
2 2 2
64.Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh:
4 4 4 3 3 3
2 + 2 + 2 ≥ + +
65 Cho a>0, b>0, c>0
66.Cho a>0, b>0, c>0
a b c
b b c a b c
67.Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh:
5 + 5 + 5 ≥ 4 + 4 + 4
68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
a52 b25 c25 13 13 13
69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
a2 b2 c2 1 1 1
b + +c a ≥ + +a b c
70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2 2 2
71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh
72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a3 + + ≥b3 c3 ab2 +bc2 +ca2
73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a4 + + ≥b4 c4 ab3 +bc3 +ca3
Trang 875.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là các số nguyên dương Chứng minh:
a n k+ +b n k+ +c n k+ ≥a b n k +b c n k +c a n k
76.Cho a>0, b>0
Chứng minh:
4
4 4
≥ ÷
77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2
2 2 2
78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
n
79 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng
2abc c ab a bc b ac 2
80 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng:
1
81 Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0 Chứng minh rằng :
3 4 + +x 3 4 + y + 3 4 + ≥z 6
82 Cho a, b, c là các số thực khơng âm thỏa mãn a b c+ + = 1 Chứng minh rằng:
2 7
27
ab bc ca abc
83 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 Chứng minh rằng:
84 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
4 4 3
a b b+ c c a+ ≥
85 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:
( 3 3 3)
2
b c c a a b
a b c
86 Cho a,b,c là các sớ dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
Trang 9+ + + + + ≥3
87 Cho cỏc số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:
2 + 2 + 2 ≥ + +
x y z
x y z
88 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , thỏa món a2 + + =b2 c2 1, ta cú:
3
89 Cho a, b, c l các s à ố thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng :
3 1 3 1 3 1 3
90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
3
91 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 23 x2 23 y2 23 z2 12 12 12
x y + y z + z x ≤ x + y + z
92 Cho a, b,c là cỏc số khụng õm Chứng minh rằng
a b c b c a c a b
93 Cho cỏc số dương , , :a b c ab bc ca+ + =3.
+a b c+ +b c a+ +c a b+ abc
94 Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.
95 Cho 3 số dương a,b,c thoả món: ab + bc + ca = abc Chứng minh:
( 1) ( 1) ( 1) 2
a a b b c c
96 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
32 2 + 23 2 + 32 2 ≤ 12 + 12 + 12
y
Trang 1097.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
98 Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa m·n : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1.Chøng minh r»ng :
+ + + ≥ 2x + +24y 2z
99 Cho a, b, c lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m·n a + b + c = 1
3b 2009c 2009c 10a 10a 3b+ + ≥ 2
100 Cho ba số dương , ,x y z Chứng minh rằng:
1 1 1 36
9
+ + ≥
+ + +
x y z x y y z x z