Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất.. Tỡm m nguyờn dương nhỏ nhất sao cho tớch hai nghiệm là một số nguyờn.. Dành cho ban khoa học tự niờn.. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp ta
Trang 1A Phần chung: ( 16,0 điểm)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2011
Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian phỏt
đề.
Bài I ( 5,0 điểm)
Cho phương trỡnh: (m−4)x2−2(m−2)x m+ − =1 0 (1)
1 Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất
2 Khi (1) cú 2 nghiệm x x1, 2 Tỡm m nguyờn dương nhỏ nhất sao cho tớch hai nghiệm là một số nguyờn
Bài II (6,0 điểm)
1 Giải phương trỡnh: 2 x2− + = 6 x 4 3 x3+ 8 (1)
2 Giải hệ phương trỡnh sau :
2
2
1
1
y x x
+ = +
Bài III(2,0 điểm) Cho cỏc số dương a b c ab bc ca, , : + + =3.
1 a b c( ) 1+ b c a( ) 1+ c a b( )≤abc
Bài IV (3,0điểm)
Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của G xuống cạnh
BC, AC, AB Chứng minh rằng: 2 2 2
a GA b GBuuur+ uuur+c GCuuuur r= (Với a=BC, b=AC, c=AB).
B Phần riờng: ( 4,0 điểm)
Bài Va (Dành cho ban khoa học tự niờn).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 , A(2; - 3), B(3; - 2) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x- y- 8 = 0 Tính bán kính đờng
tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài Vb (Dành cho ban khoa học cơ bản).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 và đường thẳng AB cú phương trỡnh x-y=0 Biết rằng điểm I(2;1) là trung điểm của đoạn thẳng BC, tỡm toạ độ trung điểm K của đoạn thẳng AC
-Hết -Họ và tờn thớ sinh:……… ; Số bỏo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011
MÔN:TOÁN
I(5,0
đ)
1.
(2,0đ) Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
TH1: m=4: (1) 4 3 0 3
4
⇔ − + = ⇔ = , (Thỏa mãn) 0,5 TH2: m≠4 :PT (1) có nghiệm duy nhất khi ∆ = ⇔ =, 0 m 0
1,0
Vậy với m=0,m=4 thì phương trình (1) có nghiệm 0,5
2.(3,0
đ) Tìm m nguyên dương nhỏ nhất sao cho tích hai nghiệm là một số nguyên
Theo viet: P= 1 2 1 1 3 ,
m
x x
−
= = +
P Z ∈ khi 3
− ⇔ − = m 4 1; m − = − 4 1; m − = 4 3; m − = − 4 3
Vậy m nguyên dương nhỏ nhất thỏa mã là: m=1
0,5 0,5 0,5 0,5
II(6,0đ
)
1.
(3,0đ) Giải phương trình
ĐK: x≥ − 2
(1) ⇔ 2 x − 2x+ − 4 2 x+ = 2 3 x+ 2 x − 2x+ 4
x
+
Phương trình trở thành 2
2
t
= −
+ − = ⇔
=
.
Với 1
2
t= : Phương trình đã cho có nghiệm x= ± 3 13
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
Trang 3(3,0đ) Giải hệ phương trình:
Điều kiện: ,x y≠0
Hệ đã cho tương đương với hệ:
+ = + + = +
2 2 1
x y x y xy
+ = +
⇔
+ + − =
0,5
{
1 , ( )
1 ,( )
1 0
[
x y
x y xy
+ = +
= + = + + + − =
⇔
Giải (Ia):
( )
Ia
1 1
{x y
=
=
⇔
Giải (Ib): Từ (1), (2) ta có: x > 0, y>0
Theo BĐT CÔSI:
1
1
y
x
+ = + ≥ ⇒ ≥ + = + ≥ ⇒ ≥
⇒ + + x y xy − > 1 0
Vậy (Ib) vô nghiệm
0,5
0,5
0,5
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 4(2đ)
IV.
(3,0đ)
Va.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta cú: 3 2
3=ab bc ca+ + ≥3 (abc) ⇒abc≤1
+ + Tương tự ta cú: 21 1 (2), 21 1 (3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta cú:
ab bc ca
+ +
Dấu “=” xảy ẩ khi và chỉ khi abc=1,ab bc ca+ + = ⇒ = = =3 a b c 1, ( , ,a b c>0)
0,5 0,5
0,5
0,5
(3,0đ)
a GA b GBuuur+ uuur+a GCuuuur r= ⇔ a GA b GBuuur+ uuur+a GCuuuur =
a b c
0
uuur uuur uuur uuuur
= − −
(2)
0
VT
0,5 0,5
4ý 1,0
1,0
(4,0đ) • Gọi C(a; b)
• S = 1
2CH.AB (1).
0,5
Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5
2
− −
Do đó: (1) <=> 3 1 a b 5
− −
Trang 5<=> a b 8
a b 2
− =
− =
0,5
• Toạ độ G(a 5 b 5
;
)
Ta có: G ∈∆ <=> 3(a 5) b 5
8 0
<=> 3a - b = 4
0,5
TH1: a b 8 a 2
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2+ 65+ 89
=> r = 2S 3
TH2: a b 2 a 1
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5+ 2
=> r = 3
Vb( 4,0
đ)
(4,0đ
) Đường thẳng IK qua I và song song với AB cú phương trỡnh x-y-1=0
Chiều cao kẻ từ C của tam giỏc ABC là: 2 2 1 2
2
AB 2S 2 2
h
⇒ = =
2
AB
IK = = ⇒ ∈K đường trũn tõm I bỏn kớnh 2
2
AB
IK = = ( ) (2 )2
( ) :C x 2 y 1 2
Toạ độ K là nghiệm của hệ : ( ) (2 )2
1 0
x y
− + − =
− − =
(1;0) (3; 2)
K K
⇒
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Chỳ ý: Cỏc cỏch giải khỏc đỳng thỡ vẫn cho điểm.