Giải Phương Trình Bậc Bốn

Hướng dẫn giải phương trình bậc 4. Tài liệu sử dụng cho các bạn luyện thi vào đại học, cao đẳng. Với tài liệu này, hi vọng các bạn đủ khả năng hoàn tất chuyên đề phương trìnhbất phương trình trong đề thi đại học

CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRONG

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Như chúng ta đã biết, việc giải phương trình bậc bốn không được giảng dạy trong chương trình toán phổ thông, do đó không ít chúng ta đã bối rối khi gặp chúng và phần đông đều quay đầu lại không có phương hướng làm tiếp Hay gặp nhất vẫn là khi giải một số phương trình vô tỉ, cách làm huyền thoại vẫn là bình phương 2 vế (với điều kiện), nhưng khi bình phương thì gặp 1 số phương trình bậc 4 mà đến đây chúng ta đều thấy ngán ngẩm do chưa có công cụ nào trong tay Dưới đây tôi xin được trình bày một số kĩ thuật giúp bạn giải MỘT SỐ bài, hi vọng sẽ có ích cho các bạn khối D

Tôi không xét các dạng với các hệ số đặc biệt vì các cách sau đây có thể giải quyết được hết các dạng đó, ta sẽ xét một phương trình bậc 4 tổng quát:

ax bx cx dx e  (1)

Đầu tiên là các loại phương trình bậc 4 có các nghiệm đẹp mà bạn có thể nhẩm được, trước khi giải thì bạn nhập nó vào máy tính rồi dùng phím Shift Solve để nhẩm nghiệm

Nhẩm nghiệm có 3 trường hợp có thể xảy ra:

1 Ra ngay nghiệm đẹp, tiến hành chia đa thức bậc 4 cho đa thức nghiệm vừa rồi Ví dụ có nghiệm x thì chia đa thức (1) cho x  sẽ được 1 đa thức bậc 3 và có thể giải

nghiệm bằng máy tính

2 Chờ mãi mà nó không ra nghiệm (tầm 5 phút) thì có thể có nghiệm quá to, nhưng 99% là

vô nghiệm mới dẫn đến việc này Do đó chuyển sang hướng khác mà tôi sẽ nói sau

3 Có nghiệm xấu, cũng có cách khác tôi sẽ trình bày phía dưới

Nói chung nếu chúng ta không tìm được nghiệm đẹp thì chúng ta sẽ chuyển cách khác:

Trong trường hợp 3 nếu có nghiệm xấu bạn có thể đoán xem nó là số nào, ví dụ 3 1, 732  nhưng điều này thường không khả thi Ta sẽ nhẩm 4 nghiệm rồi gán vào 4 phím A, B, C, D rồi thử lấy lần lượt A+B, A+C, A+D cái nào có đáp số chẵn thì mình sẽ tính tích của nó nữa, ví dụ A+B=1 thì mình sẽ thử bấm A.B xem nó bằng bao nhiêu, mục đích là sử dụng định lý Vi-ét đảo khi có tổng và tích 2 nghiệm

*Về việc cách nhẩm nghiệm chỉ áp dụng cho các máy fx570ES trở đi và cách nhẩm có trong hướng dẫn sử dụng.

Nhắc lại chút nếu có 2 số x , 1 x Đặt 2 S  x1 x2, P x x 1 2thì x , 1 x là nghiệm của phương 2

trình x2 Sx P  0

Do đó khi đã có tổng và tích 2 nghiệm thì ta sẽ xây dựng được phương trình bậc 2 chưa 2 nghiệm của phương trình bậc 4 Việc còn lại của chúng ta là chia đa thức để tìm ra phương trình bậc 2 còn lại

Note: Cách này bó tay các trường hợp sau:

1 Nghiệm quá lẻ, cộng vào vẫn xấu

2 Vô nghiệm

Xét phương trình: ax4bx3cx2dx e 0

Ta biết rằng phương trình này có thể tách thành tích của 2 phương trình bậc 2 như sau:

mx2nx p m x   ' 2n x p'  ' 0

Nhân tất cả vào rồi đồng nhất hệ số Ta thấy ngay '

m m a, ta chọn m bất kì rồi suy ra m’ Từ đó suy ra các tham số còn lại

Mình không lấy ví dụ phần này vì quá dài dòng, các bạn luyện tập có thể lấy 2 phương trình bậc

2 bất kì nhân với nhau để ra được phương trình bậc 4 rồi tách ngược lại

NHƯNG: Giải hệ tìm tham số rất phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ nhầm lẫn và có thể cho nghiệm cực xấu

Do đó tôi khuyên không nên sử dụng cách này

Tuy nhiên cách này giải quyết được một số bài vô nghiệm mà có khả năng đưa về tích 2 phương trình bậc 2 Là cái mà máy tính không làm được

Xét f x ax4bx3cx2dx e  , có đồ thị ( )0 C Ta hi vọng bằng một phép chuyển dịch

nào đó sẽ biến phương trình này trở thành trùng phương

Tiến hành đặt x X x  0,x là tham số và X là ẩn mới, thay thế vào ( )0 f x , nếu tìm được số x 0 sao cho các hệ số bậc lẻ =0 thì có thể chuyển về phương trình trùng phương để giải Tôi sẽ lấy một ví dụ cho dễ hiểu:

VD1: Giải phương trình: x44x38x28x  5 0

Đặt x y x  0, ta được (y x 0)44(y x 0)38(y x 0)28(y x 0) 5 0  Khai triển biểu thức

này, chúng ta chỉ quan tâm đến số mũ lẻ với y mà thôi Ở đây là:

4y x 4yx 4y 12yx 16yx 8y 4x 4 y  4x 12x 16x 8 y

Để hàm đã cho trở thành trùng phương thì sẽ các hệ số của y y  ta thấy ngay 3, 0 x  thoả 0 1 mãn điều này

Từ đó dẫn đến lời giải sau:

Đặt y x  , thế vào phương trình ta được 1 y42y2  Đến đây giải ngon rồi.2 0

Note: Điểm yếu của bài này là không phải câu nào cũng có thể đưa về trùng phương để giải Và đôi khi nếu hệ số mà lẻ mà bạn khai triển ra thì đúng là 1 việc mệt nhọc

Ba cách trên đây là kinh nghiệm của tôi về giải phương trình bậc 4, tuy nhiên nó vẫn chưa thể hạ gục được tất cả các bài phương trình bậc 4, cũng như chưa thể khắc phục được hết các bài vô nghiệm hoặc nghiệm quá xấu Nhưng cũng có thể giải quyết được gọn nhẹ các bài trong các đề thi đại học Nhất là bài logarithm trong đề khối D năm 2013 Các bạn có thể lấy câu này làm ví dụ hoặc tự bịa các bài ra làm thử, hi vọng cung cấp cho các bạn một

số công cụ khi đứng trước 1 bài toán giải phương trình bậc 4 trong các đề thi đại học Phương trình bậc 4 có cách giải tổng quát cho mọi bài nhưng tôi không giới thiệu ở đây vì

nó không phù hợp với đề thi đại học cũng như cách giải dài dòng, gắn với việc giải phương trình bậc 3 tổng quát nữa Thiết nghĩ THPT không mấy cần thiết.

Thanks for reading! Chúc có ngày 1-6 vui vẻ 