Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn khóa luận tốt nghiệp

Trong môn Toán phương trình giữ vị trí hết sức quan trọng không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích.. Ngày nay phương trình bậc ba, bậc bốn đ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ một vị trí quan trọng nó

giúp học sinh học tốt hầu hết các môn học, và là công cụ của nhiều ngành khoa học kỹ thuật, có nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống

Muốn học giỏi nói chung và học giỏi Toán nói riêng thì phải luyện tập, thực hành nhiều nghĩa là ngoài việc nắm rõ lý thuyết các em còn phải làm nhiều bài tập Đối với học sinh bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời

gian thì hạn hẹp đồng thời các em khó có điều kiện chọn lọc những bài toán

hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư duy toán học của mình

Trong môn Toán phương trình giữ vị trí hết sức quan trọng không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải

tích Nó được giới thiệu ngay từ những năm đầu của bậc phố thông ở các

dạng đơn giản

Đa phần các em được làm quen với phương trình bậc nhất hoặc bậc hai còn các phương trình bậc cao các em ít được làm quen Ngày nay phương trình bậc ba, bậc bốn đã giải được bằng căn thức Xong ở phố thông nghiệm phức đưa vào chỉ ở mức độ giới thiệu, do đó việc áp dụng cách giải này thế

nào cho các em dễ hiểu và dễ nắm bắt là cả một vấn đề

Với những lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp

đỡ tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Bình, em đã chọn đề tài: “Một số phương

pháp giải phương trình bậc bốn” để làm khóa luận tốt nghiệp với mong

muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp của môn Toán qua việc giải phương

hơn về phương trình bậc bốn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giải được phương trình bậc bốn tổng quát

- Tìm một số phương pháp giải một số phương trình bậc bốn thường dùng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu: phương trình bậc bốn

* Phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức về đa thức

- Phương trình bậc bốn tống quát và một số phương trình bậc bốn thường dùng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- So sánh, phân tích, tổng hợp

- Phương pháp đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận của em gồm hai chương:

Chương 1: Đa thức và phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

NOI DUNG CHUONG 1: DA THUC VA PHUONG PHAP GIAI

PHUONG TRINH BAC BON TONG QUAT

1.1.Da thire

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ấn

Dinh ly 1.1.1.1: Cho A là vành giao hốn co don vi 1 Khi đĩ ta cĩ tập P

là tập hợp cĩ dạng

P={ ag,a,, đ„„ Ì à =0 hầu hết}

cùng với hai phép tốn

ys Ayres Aygo Ð bạ, bị Dye = dạ +tbẹ, a +bịụ, , a„+b, n

Lay hai phan tir bat ky thuộc vào P: aạ, ø,, đ„„ VÀ hạ, bự Đụ

Giả sử a,=0, Vi>n; b,=0, Vj>m Khi do

a,+ b, =0, Vk>n+m,

œ =0, Vk>n+m

cho nên hai phép tốn cộng và nhân ở trên cho ta hai phép tốn trong P

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

Trước hết ta chứng minh tập P cùng với phép toán cộng lập thành một nhóm giao hoán

Với mọi 4= dạ, đị, , d„, , Ð= bạ, bị b„, ,

C= Cy, Ci, wy Cp 6€ P,tacó n

a+b +c= đạ, đị, , Ap gees + bạ, bị, , D., |+ Cos Cyseers Cy gees

= dg+bg,ai+b,, da, +P„„ + Cys Chyeees C, a Cys

Suy ra phan tử không trong P là 0,= 0, 0, ,0,

Với mọi =_ đạ, đ , đ nose € P, ton tai phan tử đối là dãy

-A= đụ, đỊ, , — q nà tt

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

a+ —a = dạ, d, , q„„ F n? gy — Ayyeery — Ay gees

= byt dy, b+ Ay, D, + Ay

= bạ, b, Є„ + Ags Uy very Aygo

=b+a

Suy ra phép cộng trong P có tính chất giao hoán

Vậy tập P cùng với phép toán cộng là một nhóm giao hoán

Bây giờ ta chứng minh tập P cùng với phép toán nhân là một vị nhóm giao hoán

5c notte là các

Gia SU A= Ay, Ayyeey Arye 5 D= Dy, Dyes Dyyeee , CC Cạ, Cụ

phan tir bat kỳ thuộc P Khi đó, ta có

s of " be" S ae,

jt pei ktEp Jj+k+lEi

Suyra ab c=a be

Mặt khác, với moi a= dy, d), 4,5 , D= bạ, bị, ,b,, € P, ta có

Suy ra phan tử đơn vị của P là dãy 1,= 1,0, ,0,

Vậy tập P cùng với phép nhân là một vị nhóm giao hoán

Cuối cùng ta chứng minh trong P phép nhân phân phối với phép cộng

Về trái là hạng tử với chỉ số ¡ của a+b c còn về phải là hạng tử với chi

số ¡ của actbe Suyra a+b c=ac+be

Ta có

» a, btq = Y ab, + 3` dục

Về trái là hạng tử với chỉ số ¡ của a b+ec_ còn về phải là hạng tử với chỉ

số ¡ của gb+ ac Suy ra a b+ec =ab+dc

Do đó trong P phép nhân phân phối với phép cộng

Vậy tậpP cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành giao

hoán có đơn vi

Bây giờ ta hãy xét dãy

Ánh xạ này là một đơn cấu vành Thật vay, voi moi a,, a, € P: a, #4, thi

SV: Tran Thj Cic K33B — SP Todn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

a,,0, Ú, # a,,0, ,0,

Suy ra A là vành con của vành P

Do đó từ bây giờ ta đồng nhất phần tử ø 6A với dãy a,0, ,0, € P Mỗi phần tử của P là một dãy 4ạ, đ; , đ note trong đó các 4, bằng 0 tắt

cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của P có dạng

đạ, đị, , đ„„ Ö,

trong đó øạ, a„ 4, A, không nhất thiết khác 0

Việc đồng nhất ø với dãy z,0 0, và việc đưa vào dãy x cho phép

=ax taxt t a,x"

Người ta thường ký hiệu các phần tử của P viết dưới dạng

dạx” + ax+ + dua"

bằng ƒ x,& x

Định nghĩa 1.1.1.1: Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong

A, hay van tắt vành đa thức của ấn x trên A và ký hiệu là A x Các phần tử của vành đó gọi là vành đa thức của ân x lấy hệ tử trong A Trong một đa thức

thì bao giờ cũng có một chỉ số 0 sao cho a,#0 va a,=0, Vi>n

Theo như trên, ta viết

đụ, đị„ đ„„ = Ag+ GXt + a,x"

Định nghĩa 1.1.2.1: Bac cua da thức khác 0

f x =dg+ax+ +a,x"

với a,#0, n>0, là n Hệ tử a„ gọi là hệ tử cao nhất của f x

Ký hiệu bậc của đa thức ƒ x là degƒ x Khi đó degƒ x =n

Như vậy, ta chỉ định nghĩa bậc của một đa thức khác 0 Đối với đa thức 0

ta bảo nó không có bậc (hay bậc là —œ )

trong đó c, = > ab,, noi riéng c,,,, n+m = 4,0, n-m*

it jek

Do A 1a mién nguyén nén tir a, #0, b, #0 suyrac,,,, #0

Do dé deg fg =n+m=deg f +deg g

Vậy bố đề được chứng minh

1.1.3 Phép chia và phép chia voi dw

Định lý 1.1.3.1: Cho A là một miền nguyên và ƒ x, g x là hai đa thức trong A x, ngoài ra hệ tử cao nhất của g x khả nghịch trong A Khi đó tồn tai duy nhất cặp đa thức 4 x ,r x sao cho

ƒ * =gxqx+rx

với degr< degg nếu r x #0

Chứng mình a) Sy ton tại

Giả sử f x =a) + ax + +a,x", a,#0,

Bậc của đa thức này không lớn hơn m—1 boi vi cdc hé tit cao nhat cia

f x vag, x g x tring nhau va bang b,'a,b, =a,

Tiếp tục quá trình trên ta được

deg f x <degg x Khi đó đặt

deg r—r’ =deg q—q' +degg=degg

Điều này vô lý vi

deg r—r’ <max degr,degr’ <degg

Boi vay ta phaico r x =r’ x Do A x là miền nguyên nên từ đó

được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của ƒ x tại c.Nếu ƒ c =0 thì

c gọi là nghiệm của ƒ x Tìm nghiệm của ƒ x trong A gọi là giải

Định lý 1.1.4.1: Giả sử A là miền nguyên, ce A Khi đó x—c là ước của

đa thức p x 6A x khi và chỉ khi p c =0

Chứng mình

Giả sử A là miền nguyên Xét đa thức p x eA x và ceA

Chia p x cho x—c, theo định lý phép chia với dư ta được

Định lý 1.1.4.2 (Định lý Bơdu): Phần tử thuộc A là nghiệm của đa thức ƒ x thuộc A x nếu và chỉ nếu x—ø chia hết ƒ x trong vành A x

Chứng mình

Giả sử A là một miền nguyên Xét da thie f x €A x và phần tử œe A

Gia str # là nghiệm của đa thức ƒ x Ta cần chứng minh x- ø chia hết

ƒ x trong vành A x

Nếu # là nghiệm của đa thức f x thìtacó ƒ œ =0

Theo định lý 1.1.4.1 ta có x—# là ước của ƒ x hay x-# chia hết

Do x-ø chia hết ƒ x trong vành A x nên x-# làước của ƒ x Theo định lý 1.1.4.1 tacó ƒ œ =0

Do đó ø là nghiệm của đa thức ƒ x

Định lý được chứng minh

s* Lược đồ Hoocne

Cho f x =a,x"+ a,x"! + +ax+a,EeAx a,#0,A lamién

nguyên, øe A Khi đó tồn tại duy nhat g x ,r x € A x sao cho

Carta x" + tax+aj=b_ x" + b m2 x t+ 4 bab, x-abjt+r x (1)

Do degr x <1 nénr x =rcA Hơn nữa, từ (*) ta có

ai =bạT db, by, =a, + ab,

a,=f a —ab, f a =a,+abh,

Ta có lược đô sau

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

gọi là nghiệm bội k của đa thức ƒ x eA x néu f x chiahétcho x-u ‘

và không chia hếtcho x—w “`

Dac biét: Khi k =1 thi u gọi là nghiệm don

Khi k=2 thì w gọi là nghiệm kép

Định lý 1.1.4.3: Giá sử A là một miền nguyên, ƒ x là một đa thức khác

0 thuộc vành A x và ø,, u„, , „, là các nghiệm trong A của nó với bội số

tương ứng là k, k„ k„ Khi đó

ƒ x= x-M | XU, Ou XU, "BX,

8@ x€Ax và g ứ, #0 với i=l,2, r

Chứng mình Trong miền nguyên A, xét đa thức ƒ x khác 0

Gia sw u,, U5, , u, la cac nghiém trong A của nó với bội số tương ứng là

kị, k; k, Khi đó theo định nghĩa, ta có

k,+1

f x Mx-u, ‘ f x kh6ng chia hét cho x-u, ”

Suyra f x Mx-u, ` x—M;, ` x—u

hay f x = x-u, ‘ X= Uy © xu vơ Xx,@x€Áx r

Do ƒ x không chia hết cho x—ứ, én suy ra

X—u, | Xu, ° x-u, r "g x khéngchiahétcho x-u, `

kị ky k, ^ : A

=> x-U, ` x—u, ` x-u, r 'g x khéngchiahétcho x-u, tl

=> x-u, ° x-u, "gx không chia hếtcho X- Uy,

—=ø x không chia hếtcho x—u,

Hệ quả 1.1.4.1: Cho A là miền nguyên, ƒ x €A x có bậc ø>I Khi đó

f x có không quá n nghiệm (các nghiệm có thể phân biệt hoặc trùng nhau)

Chứng mình

Giá sử A là miền nguyên Xét đa thức ƒ x eA x có bậc ø>1 Giả sử

U,, U,, u„ là các nghiệm trong A của ƒ x với hệ số bội tương ứng là

deg f x =k,+k,+ +k,+degg x

©n=k,+k,+ +k +degg x

=k,+k,+ +k,<n

Điều này chứng tỏ ƒ x có không quá n nghiệm

Hệ quả được chứng minh

Chú ý: Nếu A không là miền nguyên thì kết quả không còn đúng nữa

Chẳng hạn đa thức ƒ x =#+” trong Z„¿ x có tới 4 nghiệm là , 2, 4, 6

“ Cong thire Viet tổng quát

Cho đa thức f x bậc ø trên trường A

f x =a,x"+ ax"! + +4+ ax + dạ (1)

Giả sử ƒ x có trong A hoặc trong một mở rộng nào đó của A, tức là

một trường nào đó chứa A làm trường con, ø nghiệm ø,,đ;, z„ Khi đó

theo định lý Bodu, ta cé

Khai triển về phải và so sánh các hệ tử của các lũy thừa giống nhau trong (1) và (2) ta sẽ được các công thức sau gọi là công thức Viet, chúng biểu thị các hệ tử của đa thức qua các nghiệm của nó

SV: Tran Thj Cic K33B — SP Todn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

1) Nếu X,,X, là các nghiệm (phân biệt hoặc không) của một phương trình bậc

hai: ax`+bx+c=0 a#0 thì ta có

x¡†X¿=——

c

a 2) Nếu x¡.*;.x; là các nghiệm (phân biệt hoặc không) của phương trình bậc

ba: ax’ + bx? +ex+d=0 a¥0 thì ta có

-d XIX;X; + XiX;X, + X.X:X, † X;X;X, = ã

_e XIX;X;X, =—

Định lý 1.1.4.4: Nếu phân số tối gián '“ là nghiệm của một đa thức thuộc

Xét da thie f x =a,x"+a,,x"'+ +4,x+ a, với hệ số nguyên tùy ý n-l

Giả sử phân số tối giản 7 1a nghiém cua da thtte f x Khi dé tacd

©-a,p"=ú,„¡p” q+ +apq” +agq"

©-a,p"=4 a,,p" "4 +a,pq’ > + ang” 1 (1)

Do a, € Z,i=0,n;p,q¢Z nén tt (1) suy ra q|a,p" (2)

a, +

Do 2 1a phân số tối giản nên p,q =1 Két hop voi (2) ta duge gq

q

Tương tự như trên ta cũng có: p|dạ

Vậy định lý được chứng minh

Chứng mình 1) Xét đa thức

— n n-1

f x =a,x"+a,_,x" + 4+a,X+ ay

trong dd a, i=0,n là các hệ số nguyên tùy ý

Giả sử # là nghiệm nguyên của đa thức ƒ x

Ta viết @ =o Khi đó theo định lý 1.1.4.4, ta có ø|a, và l|a, Tức là

aay

Suy ra ta có điều phải chứng minh

2) Xét đa thức

f x =a,x" +4, ,x"'+ +a,x+ dy

với hệ số nguyên tùy ý và a, =1

Giiả sử phân số tối giản 7 là nghiệm của đa thức ƒ x Khi đó theo định

lý 1.1.4.4, ta có p|aạ và q|a„ Tức là pla, va 4|I

Suy ra ø= +1, hay Pez

q

Do đó ta có điều phải chứng minh

Vậy hệ quả được chứng minh

Từ (1) và (2) suy ra f m Mng-p hay p—mq |/ m VmeZ

Chú ý: Từ nhận xét trén ta thay rang néu p—mg=0 thi f m =0, nghia la

m là nghiệm của đa thức f x (tất nhiên nếu Pia nghiệm của đa thức

trong do a,b,c,d,e la cac số phức tùy ý và a0

1.2.2 Phương pháp giải phương trình bậc bốn tống quát

1.2.2.1 Phương pháp

Cho phương trình

trong đó a, b, c, đ, e là các 36 phitc thy y va a#0

Ta sẽ đưa về phép giải một phương trình phụ bậc ba gọi là phương trình giải bậc ba Ta tiến hành như sau

Vì a#0 nên ta chia cả hai về của phương trình (1) cho z, ta được

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

Ta chọn ấn phy y sao cho về phải của phương trình (3) là một chính

phương Muốn thế thì chỉ việc làm triệt tiêu biệt số của tam thức bậc hai đối

với x ở về phải

Phương trình (4) là một phương trình bậc ba, gọi là phương trình giải của phương trình đã cho Giả sử yạ là một nghiệm của phương trình đó Thay yạ vào phương trình (3), ta được về phải của phương trình là một chính phương

1.2.2.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

x'+2x`+5x”+6x+9=0

Giải TXĐ:¡

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

x'°+2xÌ=—5x”—6x—9

© x84 2x0 4x7? =-4x?-6x-9

© tx =-4x?-6x-9

2

Ta cộng vào hai về của phương trình này tổng x°+x y+ n , trong do y

là một ân mới, ta được

Ta chọn ân phụ y sao cho về phải của phương trình (1) là một chính phương Muốn thế thì chỉ việc làm triệt tiêu biệt số của tam thức bậc hai đối với x ở về phải

© y-6 y-6- y-4 y6 |=0

SV: Tran Thj Cic K33B — SP Todn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

Cộng vào hai về của phương trình này với ra , ta duoc

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=l; x=2; x= đi

trình (1) Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4 nghiệm

(thực hoặc phức) Do đó các giá trị x tương ứng với yụạ sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y, và y; Vậy từ (4) ta chỉ cần tìm một giá trị Vo

la du

2) Ta có cách nhằm nghiệm của phương trình (1) nhu sau

a) Néu a+ b+c+d+e=0 thi (1) có nghiệm x= l

b) Nếu øa~b+c—d+e=0 thì (1) có nghiệm x=—1

c) Nếu a,b,c,d,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỷ ? thì p.q theo

q

thử tự là ước của e va a

3) Với phương trình bậc bốn, trong một số trường hợp cụ thể, nếu ta có cách nhìn sáng tạo, biến đối hợp lý va sang tao, ta co thé giải được chúng không khó khăn gì

Chang han, ta xét các ví đụ sau:

Giải TXĐ:¡

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là x = 2 ;x=12

x=——

= Với =Š tacó 44°~3x=S©4x~-3xy- 2 2 =0 yal 2

tính ø theo x rồi suy ra x theo a) Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau:

Giải và biện luận phương trình sau

Suy ra, phương trình (2) cĩ nghiệm là a= x”—l#+ 2x—l

2

Giải (3): Ta cĩ

A'=l- -a-2 =a+3

Nếu A'>0>a>-3 thì phương trình (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt

x=-l+4'a+3

Nếu A'=0<>a>-~3 thì phương trình (3) cĩ nghiệm kép x=-1

Nếu A'<0©a<-3 thì phương trình (3) vơ nghiệm

Giải (4): Ta cĩ

A=l+a

Nếu A'>0<>ø>~—I thì phương trình (4) cĩ 2 nghiệm phân biệt

x=l# Vat]

Nếu A'>0> à>—1 thì phương trình (4) cĩ nghiệm kép x= l

Nếu A'<0<©> a<—1 thì phương trình (4) vơ nghiệm

Tống kết lại ta cĩ

Với a<—3: Phương trình (1) vơ nghiệm

Với a=—3: Phương trình (1) cĩ I nghiệm x=—l

Với =3<a<—1: Phương trình (1) c6 2 nghiém x=-1+ Ja+3

Với a=—1: Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm x=-1+Ja+3; x=-1 Với a>-l: Phương trình (1l) cĩ 4 nghiệm x=-l+Aa+3;

x=l#Aa+l

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

CHƯƠNG 2: MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta thuc hiện theo các bước sau

Bước 1: Ta phân tích về trái thành tích 2 nhân tử bậc hai: x”+ px+q,

Giải hệ phương trình này ta tìm được p, g, r, s

Bước 4: Khi đó ta có phương trình

Giải hai phương trình này ta thu được các nghiệm (nếu có) của phương trình đã cho

Chú ý: Trong một số trường hợp ta không thể đùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên

Ta phân tích về trái thành tích hai nhan tt bac hai: x°+ pxt+q,x°+rx+s,

trong đó p, ạ, r, s là các hệ sỐ nguyên chưa xác định

Ta có

x*+4x°-10x° +37x-14= x? + pxtq x trets (*)

> x44 493-1007 4+37x-14=x44+ p+q xÌ+ qtstaqr x°+ pstqr x+qs Dong nhat các hệ sô của những sô hạng cùng bậc hai vé cua dong nhat thức, ta có hệ phương trình sau

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

trong đó a,b,c la nhimg hé số thực và a0

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Đặt ¡ = xŸ với điều kiện r> 0

Bước 2: Khi đó phương trình đã cho tương với phương trình

Bước 3: Khi đó ta có kết luận sau

a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất © Phương trình (2) có nghiệm

duy nhất ¿=0 hoặc có nghiệm í,<0=ứ,

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ©> Phương trình (2) có

nghiệm í,< 0<¿,

SE: Trần Thị Cúc K33B - SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt © Phương trình (2) có nghiệm

Dat t= x° voi diéu kiện r> 0

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

Dat t= x° voi điều kiện >0

SV: Tran Thj Cic K33B — SP Todn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

t=1 P-9t+8=00 t= 8 (thỏa mãn)

a) Có nghiệm duy nhất

b) Có 2 nghiệm phân biệt

c) Có 3 nghiệm phân biệt

đ) Có 4 nghiệm phân biệt

TXĐ: ¡

Dat r= x° voi điều kiện >0

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

b) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt © Phương trình (1) có 2

nghiệm trái dấu

= m-1 m-S5 <0

©l<m<5 Vậy với mec I,5_ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

c) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt © Phương trình (1) có nghiệm

t=0<t,

5 A'>0 6m—5>0 mài

©‹s>0<©= — ©+m<0Vm>l<=m=S5

—~-0 m-1

Vay voi m=5 thi phuong trinh đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Chú ý: Từ dạng trên ta có bài toán quen thuộc: Tìm điều kiện của tham số

có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Đặt r= 3ˆ với điều kiện r>0