SKKN các phương pháp giải phương trình bậc bốn

Lý do chọn chuyên đề: Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có vaitrò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiêncứu rất nhiều, đa dạng và phong phú, trong các

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn chuyên đề:

Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có vaitrò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiêncứu rất nhiều, đa dạng và phong phú, trong các bài toán vềphương trình là các bài toán khó, để giải được các bài toán vềphương trình, bên cạnh việc nắm vững định nghĩa, các bướcgiải bài toán, còn cần nắm được các phương pháp giải cụ thể ápdụng cho tong bài

Có nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứvào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phùhợp Mỗi bài toán giải phương trình có thể áp dụng nhiều cáchgiải, phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợpnhiều phương pháp một cách hợp lí

Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào cácdạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình,

áp dụng trong quá trình khảo sát hàm số… Và được sử dụngnhiều trong quá trình ôn tập, đặc biệt là trong quá trình họcTHPT… Vì vậy học sinh cần phải nắm được những kiến thức cơbản về giải phương trình bậc bốn

Ai đã từng học bộ môn toán đều biết đến bài toán giảiphương trình nói chung và phương trình bậc bốn nói riêng nó

có vai trò quan trọng trong chương trình toán ở trường THCScũng như khi học sinh tiếp tục học lên các cấp học cao hơn

Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏihọc sinh phải biết vân dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộchương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng phức tạp và dạngđơn giản một cách linh hoạt

Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có

tư duy lôgíc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiếnthức về phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng nhấtcũng như các kiến thức về bất đẳng thức

Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khảnăng tưởng tượng, phát huy được cao độ tính tích cực, chủđộng và vận dụng kiến thức vào thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu:

Thông qua chuyên đề này giúp học sinh hiểu sâu và nắmchắc hơn các phương pháp giải phương trình bậc bốn Từ đónghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy vàhọc bộ môn toán trong trường THCS cũng như khi học tập ởnhững cấp học cao hơn và trong các cuộc thi học sinh giỏi

3 Đối tượng , phạm vi nghiên cứu:

Học sinh lớp 9 bậc trung học cơ sở

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu các phương pháp cơ bản về giải phương trìnhbậc bốn, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các dạng bài tậpcủng cố và rèn luyện kỹ năng cho học sinh

Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giảiphương trình bậc bốn nhàm đưa ra phương pháp giải và dạngtổng quát cho các dạng bài tập thường gặp làm tài liệu bổ íchcho học sinh và giáo viên tham khảo và học tập

Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giớithiệu một số phương pháp và cách giải phương trình bậc bốnnhư: Phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp đặt ẩnphụ ( phương trình trùng phương, phương trình hồi quy….)

5 Phương pháp nghiên cứu:

Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi

Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏihàng năm để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.

Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao

B NỘI DUNG CHƯƠNG I - CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọngtrong các đề kiểm tra, các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng nhưtrong tất cả các tài liệu nâng cao và nó cũng xuất hiện rất nhiềutrong các đề tài nghiên cứu khoa học cũng như các tập trí toánhọc hiện nay

Các tài liệu viết về dạng toán giải phương trình bậc bốncòn tản mạn, tuỳ thuộc nhiều vào người viết cũng như cách

hướng dẫn học sinh Do đó chưa có những phương pháp cụ thể,

rõ ràng và chưa khắc sâu được kiến thức cho học sinh

Đối với học sinh kỹ năng giải phương trình bậc bốn cònnhiều hạn chế, chưa được rèn luyện thường xuyên

Với những nguyên nhân trên việc chọn chuyên đề “Rèn kĩ năng Giải phương trình bậc bốn đối với học sinh THCS” là

cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tậpcủa giáo viên cũng như của học sinh

CHƯƠNG II - KẾT QUẢ ĐIỀU TRA

KHẢO SÁT THỰC TIỄN

TS % TS % TS % TS % 2004-2005 33 1 3,03% 3 9,09% 25 75,76% 4 12,12% 0 2005-2006 28 1 3,57% 4 14,29% 20 71,43% 3 10,71% 0 2006-2007 26 1 3,85% 5 19,23% 17 65,38% 3 11,54% 0

N¨m häc SÜ sè

Thi häc sinh giái cÊp huyÖn Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu

2 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn:

 > 0 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

 < 0 phương trình đã cho vô nghiệm

3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

B - Các phương pháp giải phương trình bậc bốn:

1 Phương pháp phân tích thành nhân tử:

Để giải phương trình bậc bốn dạng: ax4 bx3 cx2 dxe0(1) Ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình tích màcác nhân tử ở vế trái của phương trình là các đa thức bậc nhất

và bậc hai Ta có thể dự đoán nghiệm của phương trình (1)bằng cách như sau:

+ Nếu a + b +c +d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1

+ Nếu a - b +c - d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1.

+ Nếu a,b,c,d,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ p/q thì p,

q theo thứ tự là ước của e và a.

+ Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng

ta có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử

Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn

về dạng: A2  B2 0 A BAB0 khi đó ta được tích của haitam thức bậc hai Do đó việc giải phương trình bậc bốn quy vềviệc giải phương trình bậc hai Đây cũng chính là cách để giảimọi phương trình bậc bốn

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) x4  4x3  x2 16x120 (1)b) x4  3x2  4x 30 (2)

Giải:

0 2

0 1

x x

2

1

x x x x

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3}

b) Ta thấy phương trình (2)không áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

(*) 0 3

2

2

x x

x x

Giải phương trình (*) ta được

13 1

2

1

x x

Giải phương trình (*) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = 

; 2

13 1

= t với t  0(*)  t

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = -5 và x2 = 5

2.2 Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng:

; e  0

d x

d

x .1

d t x a

e

2 2

(3)Đây là phương trình bậc hai quen thuộc

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1).

*Chú ý:

- Trong trường hợp đặc biệt a 1

e

tức là đối với nhữngphương trình có dạng:ax

- Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải làphương trình hồi quy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp

ta có thể đưa chúng về dạng phương trình hồi quy Từ đó ápdụng phương pháp đã biết để giải

* Chú ý: Dạng phương trình trên được mở rộng tự nhiên cho

1 1 1

c d c d b a b a

d c b a

b a t a x b a x t

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

c b a t

b a

2 4

2 2 2 12 2

Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải

Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho 2.5 Dạng 5: Phương trình bậc bốn không ở các dạng trên:

Giải phương trình: ax4 bx3 cx2 dxe0 a0

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng:

1 1 2

Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t đã biết cách giải

Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.

* Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rấtphong phú và đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù mỗi bài toán,phương pháp được trình bày ở trên chỉ minh hoạ được một vàidạng thường gặp trong chương trình toán bậc trung học cơ sở

C – Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình sau:

Bài 1:

Bài 5: Cho phương trình x

4

– 2x

3

+ 6x – 5 = m

a) Giải phương trình với m = -1

b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m.c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I NHỮNG KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Thông qua quá trình nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy,

phần chuyên đề “Rèn kĩ năng Giải phương trình bậc bốn đối với học sinh THCS” đã phát huy được tính tích cực, sáng tạo

của học sinh Học sinh đã biết vận dụng các kiến thức cơ bảnvào việc giải bài toán để đạt kết quả cao

Nhờ quá trình thường xuyên học hỏi đồng nghiệp, nghiêncứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã thường xuyên nâng cao chấtlượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệuquả và chất lượng.

THỐNG KÊ KẾT QUẢ LỚP BỒI DƯỠNG

2006-2007 27 2 7,41% 4 14,81% 18 66,67% 3 11,11% 0 2007-2008 25 2 8,00% 4 16,00% 16 64,00% 3 12,00% 1 2008-2009

(HKI) 24 2 8,33% 5 20,83% 15 62,50% 2 8,33% 1

N¨m häc SÜ sè

XÕp lo¹i

Thi häc sinh giái cÊp huyÖn Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu

II BÀI HỌC KINH NGHIỆM:

Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy kiếnthức về đề tài là kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối cácgiờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh

còn phức tạp, khó hình dung, vì vậy cần đưa ra các dạng đi từ

dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra họcsinh…

Sau khi hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ chohọc sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho họcsinh những kĩ năng làm bài tập cho học sinh

Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn éphọc sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả đạtđược không cao

III NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT:

Đối với học sinh cần có đủ sách giáo khoa, sách thamkhảo và các bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán

Đối với giáo viên cần có đủ tài liệu nghiên cứu, có tinhthần học hỏi, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinhnghiệm cho bản thân Thường xuyên quan tâm đến việc giải cácbài tập theo các dạng ở trên.

Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sángtạo tìm hiểu những cách giải mới, các lời giải hay Biết khắcsâu kiến thức cơ bản, các bài tập thường gặp nhằm đưa về dạngtổng quát hoá

Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên

đi học tập các lớp nâng cao trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡngthường xuyên nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồnkinh phí cung cấp cho thư viện trường các đầu sách có giá trị,đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo

Chuyên đề này đã được các đồng chí có kinh nghiệm bồidưỡng học sinh giỏi của Trường THCS Việt Vinh - Huyện Bắc

Quang góp ý kiến bổ sung Tuy nhiên, chắc chắn không tránhkhỏi những sai sót Một số ví dụ còn giải tắt, ít ví dụ minh hoạcũng như chưa đi hết các cách giải Tôi rất mong nhận được sựđóng góp ý kiến cũng như các nhận xét của tất cả các thầy, cô

và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa nhưng chỗ sai, nhữngchỗ còn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng của chuyên đềnghiên cứu thành một chuyên đề thiết thực và có hiệu quả cao

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Bắc Quang, ngày 29 tháng 12 năm 2008

NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Ngọc Tuấn Xác nhận của Hội đồng nghiên cứu khoa học các cấp:

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1 - Sách giáo khoa toán bậc THCS.

2 - Sách giáo viên toán bậc THCS.

3 - Thiết kế bài giảng toán bậc THCS.

4 - Sách giải bài tập toán nâng cao.

5 - Sổ tay toán THCS.

6 - Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học bậc THCS.

MỤC LỤC

TRANG

A PHẦN MỞ ĐẦU……… 1

Lí do chọn chuyên đề ……… 1

Mục đích nghiên cứu ……… 1

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ……… 1

Nhiệm vụ nghiên cứu ……… …… … 1

Phương pháp nghiên cứu ……… 1

B NỘI DUNG ……… 2

Cơ sở lí luận ……… 2

Điều tra khảo sát thực tiễn ……… 2

Giải pháp ……… 2

Kiến thức cơ bản ……… 2

Các phương pháp giải phương trình bậc bốn 3

Bài tập áp dụng ……… 7

C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……… 8

Những kết quả đạt được ……….……… 8

Bài học kinh nghiệm ……… 8

Những kiến nghị và đề xuất ……… …… 9