Kẻ tiếp tuyến MB với O, B là tiếp điểm.. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA, K là giao điểm thứ hai của BI và đường tròn O.. a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau..
Trang 1Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên
Sở giáo dục và đào tạo lai châu
(Đề thi gồm 01 trang)
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
năm học 2011 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian giao đề)
Câu 1: (4 Điểm)
a, Chứng minh rằng số tự nhiên abcd chia hêt cho 11 nếu ab cd+ chia hết cho 11
b, Chứng minh (520 -1) chia hết cho (55 -1)
c, Tìm nghiệm nguyên và nghiệm nguyên dương của phương trình: 7x + 23y = 120
Câu 2: (3 điểm)
a, Thực hiện phép tính sau: A =
+
b, Rút gọn biểu thức sau: 2010ư 2011 2 2010+
c, Không khai phương h9y so sánh: 2009 + 2011 và 2 2010
Câu 3: (5 điểm)
1, Cho x + y = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x3 + y3 + xy
2, Cho phương trình: x2 + 6x + 6m - m2 = 0 (Với m là tham số)
a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho: x1 = x23 - 8x2
Câu 4: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm (O) bán kính R, A là một điểm cố định trên (O) Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A Lấy điểm M trên tia Ax (M ≠ A) Kẻ tiếp tuyến MB với (O), B là tiếp điểm Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA, K là giao điểm thứ hai của BI và
đường tròn (O) Nối M với K
a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau
b, Chứng minh góc IMK và góc IBM bằng nhau
c, Gọi H là trực tâm của tam giác MAB Khi điểm M di động trên tia Ax thì điểm
H chạy trên hình nào?
Câu 5: (4 điểm)
1, Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, có các đường cao AA', BB', CC', đồng quy tại H Chứng minh rằng: AH BH CH 6
A 'H+ B'H+C'H ≥
2, Cho hình thang ABCD (AB//CD), Một đường thẳng qua giao điểm I của hai
đường chéo và song song với hai đáy cắt BC tại J Chứng minh rằng: 1 1 1
AB+CD = IJ
Hết
đề chính thức
Trang 2§¸p ¸n
C©u 1:
a, Chøng minh r»ng sè tù nhiªn abcd chia hÕt cho 11 nÕu ab cd+ chia hÕt cho 11
Ta cã: abcd = ab.100 + cd = 99 ab + (ab + cd)
V×: 99ab⋮ 11 vµ (ab + cd) ⋮ 11 (gt) ⇒ abcd⋮ 11 (®pcm)
b, Chøng minh (520 -1) chia hÕt cho (55 -1)
Ta cã: (520 - 1) = (55)4 - 1 = [(55)2 - 1][(55)2 + 1]
= (55 - 1)(55 + 1)[(55)2 + 1] ⋮ (55 -1) (®pcm)
c, T×m nghiÖm nguyªn vµ nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh: 7x + 23y = 120
+) T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh:
Tõ 7x + 23y = 120 ⇒ x = 17 3y 1 2y
7
−
§Æt 1 - 2y = 7a (a ∈ Z) ⇒ 2y = 1 - 7a ⇒ y = -3a + 1 a
2
−
§Æt 1 - a = 2t (t ∈ Z) ⇒ a = 1 - 2t
⇒ y = -3(1 - 2t) + t = 7t - 3
⇒ x = 27 - 23t
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ:
x 27 23t
y 7t 3
= −
(t ∈ Z) +) T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng:
Do x 0 27 23t 0 3 t 27
y 0 7t 3 0 7 23
Nh−ng v× t ∈ Z ⇒ t = 1 ⇒ x = y = 4 VËy: NghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh lµ x = y = 4
C©u 2: (3 ®iÓm)
a, Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau: A =
+
Gi¶i
2 ( 3 1) 2 ( 3 1)
2 3 2 3
2 3 2 3
(2 3)( 3 1) (2 3)( 3 1) 2 3 1
b, Rót gän biÓu thøc sau:
Trang 3Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên
B = 2010ư 2011 2 2010+ = 2
2010ư ( 2010 1)+
= 2010 - 2010 - 1 = 1 Vậy B = -1
c, Không khai phương h9y so sánh: 2009+ 2011 và 2 2010
Vì 2010 + 2009 < 2011 + 2010⇔ 1 1
2010 2009 < 2011 2010
⇔ 2010 - 2009 > 2011 - 2010 ⇔ 2 2010 > 2009+ 2011
Vậy: 2009 + 2011 < 2 2010
Câu 3:
1, Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x3 + y3 + xy
Thậy vậy: Q = x3 + y3 + xy = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 + y2 ⇒ Q = x2 + y2 Mặt khác theo Bunhiacopxky ta có:
(x + y)2≤ (1 + 1)(x2 + y2) ⇒ x2 + y2 ≥ 1
2 Dấu "=" xảy ra khi x = y Vậy: MinQ = 1
2 khi x = y
2, Cho phương trình: x2 + 6x + 6m - m2 = 0
a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệu cùng dấu:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là
2
' 0 9 (6m m ) 0 (m 3) 0 m 3
ac 0 1.(6m m ) 0 0 m 6 0 m 6
Vậy với 0 < m < 6 và m ≠ 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho: x1 = x23 - 8x2
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m ≠ 3
Khi đó ta có:
3
= ư
Giải (2): x23 - 7x2+ 6 = 0 ⇔ (x2 - 1)(x2 - 2)(x2 + 3) = 0
TH1: x2 = 1 ⇒ x1 = - 7 thay vào (3) ta có: m2 - 6m - 7 = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 7 (T/m)
TH2: x2 = 2 ⇒ x1 = - 8 thay vào (3) ta có: m2 - 6m - 16 = 0 ⇔ m = -2 hoặc m = 8 (T/m)
TH3: x2 = - 3 ⇒ x1 = - 3 (Loại vì phương trình có hai nghiệm phân biệt)
Vậy m = {-2; -1; 7; 8}
Câu 4: Cho đường tròn tâm (O) bán kính R, A là một điểm cố định trên (O) Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A Lấy điểm M trên tia Ax (M ≠ A) Kẻ tiếp tuyến MB với (O), B là tiếp điểm Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA K là giao điểm thứ hai của BI và
đường tròn (O) Nối M với K
a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau
b, Chứng minh góc IMK và góc IBM bằng nhau
c, Gọi H là trực tâm tam giác MAB Khi M di động trên tia Ax thì điểm H chạy trên đường nào?
Giải
HS: Tự ghi GT/KL
a, Xét ∆IAK và ∆IBA có:
Trang 4Iɵ- chung;
IAK =IBA ( =1
2sđ AK )
⇒ ∆IAK ∆IBA(g.g)
b, Vì ∆IAK ∆IBA(g.g)
⇒ IA IK
IB = IA
Theo giả thiết thì:
IA = IM
⇒ IM IK
IB = IM⇒ IM IB
IK = IM Xét ∆IMK và ∆IBM có:
IM IB
IK =IM (C/m trên)
Iɵ- chung
⇒ ∆IMK ∆IBM (c.g.c) ⇒ IMK =IBA(góc tương ứng)
c, Gọi N là giao của AH với AM
Khi đó: A1 =B1 (cùng phụ với NAB )
mà A1 =B2(∆OAB cân tại O)
⇒ B1=B2 =A1
Mặt khác: AB ⊥OH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ AOBH là hình thoi
⇒ H luôn nhìn điểm A với một khoảng cách không đổi R
⇒ Khi M di động trên Ax thì H di động trên nửa đường tròn tâm A bán kính R đồng thời H ≠ O ( Vì H ≡O ⇒ A, O, B thẳng hàng ⇒ không tồn tại M)
Vậy khi M di động trên Ax thì H di động trên nửa đường tròn tâm A bán kính R
và H ≠ O (Xem hình vẽ)
O
K
I
M
B
A
D
C
2
N
1
1
H O
K
I
M
B A
Trang 5Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên
Câu 5: 1, Cho tam giác ABC với ba góc nhọn, có đường cao AA', BB', CC' đồng quy tại
H Chứng minh rằng: AH BH CH 6
A 'H +B'H +C'H ≥
Giải
Đặt SHAB = S1; SHBC = S2; SHAC = S3
+
+) BH
+
+) CH
+
⇒ AH BH CH
A 'H +B'H +C'H =
= 3 1
2
S
+
+ 1 2
3
S
+
+ 3 2
1
S
+
2 2 2 6
⇒ (đpcm)
2, Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng đi qua giao điểm I của hai
đường chéo và song song với hai đáy cắt BC tại J Chứng minh rằng: 1 1 1
AB+CD = IJ
Giải
+) Vì AB // IJ ⇒ IJ CJ
AB=CB (hệ quả đlí Talet) +) Vì CD // IJ ⇒ IJ BJ
CD = BC(hệ quả đlí Talet)
AB+ IJ
CD = CJ
CB+ BJ
BC
AB+ IJ
CD = CJ JB 1
CB
AB+ IJ
CD = 1 ⇒ 1 1 1
AB+CD =IJ
S 3
S 2
S 1 H C'
C
B'
A
J I
B A