Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?. Giải : Gọi x tuổi là tuổi của con hiện nay.. Sau đĩ 1h, một ơtơ cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe
Trang 1ÔN TẬP HỌC KỲ 2 PHẦN I : HÌNH HỌC PHẲNG
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1).ĐL Ta-let: (Thuận & đảo)
2) Hệ quả của ĐL Ta – lét :
3) Tính chất tia phân giác của tam giác :
4) Tam giác đồng dạng:
* ĐN :
* Tính chất :
- ABC ABC
- A’B’C’ ABC => ABC A’B’C’
- A’B’C’ A”B”C”; A”B”C” ABC thì
A’B’C’ ABC
* Định lí :
5) Các trường hợp đồng dạng :
a) Trường hợp c – c – c :
b) Trường hợp c – g – c :
c) Trường hợp g – g :
6) Các trường hợp đ.dạng của tam giác vuơng :
a) Một gĩc nhọn bằng nhau :
b) Hai cạnh gĩc vuơng tỉ lệ :
c) Cạnh huyền - cạnh gĩc vuơng tỉ lệ :
7) Tỉ số đường cao và tỉ số diện tích :
- A’B’C’ ABC theo tỉ số k =>
' '
A H
k
AH
- A’B’C’ ABC theo tỉ số k => A B C' ' ' 2
ABC
S
k
ABC
; B'AB C; 'AC
B’C’// BC AB' AC'
; ' ' '; ' ; '
' '/ /
B C BC
AD là p.giác  => DB AB
DCAC
A’B’C’ ABC
' ; ' ; ' ' ' ' ' ' '
A A B B C C
A B B C C A
ABC ; AMN
MN // BC => AMN ABC
' ' ' ' ' '
A B B C A C
AB BC AC A’B’C’ ABC
' ' ' ' '
A A
A B A C
AB AC
' '
A’B’C’ ABC
'
B => B vuơng A’B’C’ vuơng ABC
' ' ' '
A B A C
AB AC => vuơng A’B’C’ vuơng ABC
' ' ' '
B C A C
BC AC => vuơng A’B’C’ vuơng
Trang 2B/ BÀI TẬP ƠN :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB =
36cm ; AC = 48cm và đường cao AH
a) Tính BC; AH
b) HAB HCA
c) Kẻ phân giác gĩc B cắt AC tại F Tính BF
Hướng dẫn :
a).- Aùp dụng ĐL Pitago : BC = 60cm
- Chứng minh ABC HBA
=> HA = 28,8cm
b) Chứng minh BAH ACH
=> vuông ABC vuông HBA (1 góc
nhọn)
c) Aùp dụng t/c tia p/giác tính AF
=> AF = 1/2 AB = 18cm
mà BF AB2 AF2 =
1296 324 40, 25cm
Bài 2 : Cho tam giác ABC; cĩ AB = 15cm;
AC = 20cm; BC = 25cm
a) Chứng minh : ABC vuơng tại A
b) Trên AC lấy E tuỳ ý , từ E kẻ EH BC tại
H và K là giao điểm BA với HE
CMR : EA.EC = EH.EK
c) Với CE = 15cm Tính BCE
BCK
S S
Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB =
12cm, BC = 9cm Gọi H là chân đường vuơng
gĩc kẻ từ A xuống BD
a) Chứng minh HAD đồng dạng với CDB
b).Tính độ dài AH
c) Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC;
AH; DH Tứ giác BMPN là hình gì ? vì sao ?
Hướng dẫn : a) DAH BDC (cùng bằng với ABD )
=> vuông HAD vuông CDB (1 góc nhọn)
b) – Tính BD = 15cm
Do vuông HAD vuông CDB
=> AH = 7,2cm c) NP // AD và NP = ½ AD
BM // AD và NP = ½ BM
=> NP // BM ; NP = BM
=> BMPN là hình bình hành
Bài 4 : Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB
= 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm và DAB DBC
b) Tính cạnh BC; DC c) Gọi E là giao điểm của AC và BD Qua E kẻ đường thẳng bất kỳ cắt AB; CD lần lượt tại M; N Tính ME ?
NE
a) ABD BDC (g – g)
=> AB AD BD
BD BC DC => BC = 7cm; DC = 10cm
NE NC ND
Trang 3PHẦN II : ĐẠI SỐ
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
I/ Ph ươ ng trình bậc nhất một ẩn :
1) Phương trình một ẩn :
- Dạng tổng quát : P(x) = Q(x) (với x là ẩn)
(I)
- Nghiệm : x = a là nghiệm của (I) P(a) = Q(a)
- Số nghiệm số : Cĩ 1; 2; 3 … vơ số nghiệm số
và cũng cĩ thể vơ nghiệm
2) Phương trình bậc nhất một ẩn :
- Dạng tổng quát : ax + b = 0 (a 0)
- Nghiệm số : Cĩ 1 nghiệm duy nhất x = b
a
3) Hai quy tắc biến đổi phương trình :
* Chuyển vế : Ta cĩ thể chuyển 1 hạng tử từ vế
này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đĩ
* Nhân hoặc chia cho một số : Ta cĩ thể nhân
(chia) cả 2 vế của PT cho cùng một số khác 0
4) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương
trình
- ĐKXĐ của PT Q(x) : x mẫu thức / 0
- Nếu Q(x) là 1 đa thức thì ĐKXĐ là : x R
II/ Bát phương trình bậc nhất một ẩn : 1) Liên hệ thứ tự : Với a; b; c là 3 số bất kỳ ta cĩ
* Với phép cộng :
- Nếu a b thì a + c b + c
- Nếu a < b thì a + c < b + c
* Với phép nhân :
- Nhân với số dương : + Nếu a b và c > 0 thì a c b c + Nếu a < b và c > 0 thì a c < b c
- Nhân với số âm : + Nếu a b và c < 0 thì a c b c + Nếu a < b và c < 0 thì a c > b c
2) Bất phương trình bật nhất một ẩn :
- Dạng TQ : ax + b < 0 ( hoặc ax b 0;ax b 0;ax b 0) với a 0
3) Hai quy tắc biến đổi bất phương trình :
* Chuyển vế : Ta cĩ thể chuyển 1 hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đĩ
* Nhân hoặc chia cho một số : Khi nhân (chia) cả
2 vế của BPT cho cùng một số khác 0, ta phải :
- Giữ nguyên chịều BPT nếu số đĩ dương
- Đổi chiều BPT nếu số đĩ âm
B/ BÀI TẬP :
Chủ đề 1 : Giải phương trình
Dạng 1 : PT đưa được về dạng ax + b = 0 ( a 0)
* PP: - Chuyển các hạng tử chứa ẩn về 1 vế và
hạng tử có chứa hệ số tự do về vế còn lại.
* Aùp dụng : Giải các phương trình sau :
1) 3x – 5 = x + 7
3x – x = 7 + 5
2x = 12
x = 12 : 2 = 6
Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình
2) 3.(x + 1)(x – 1) – 5x = 3x2 + 2
( NX : PT có thể đưa được về bậc I vì VT có 3x 2 và
VP cũng có 3x 2 )
3.(x2 – 1) – 5x = 3x2 + 2
3x2 – 3 – 5x = 3x2 + 2
3x2 – 5x – 3x2 = 2 + 3
-5x = 5
x = -1
Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình
* Bài tập tự giải :
1) 2(x – 3) + 1 = x – 8 (ĐS : x = - 3)
2) (x – 1)2 – (x + 1)(x – 1) = 3x – 5
(ĐS : x = 7 / 5 )
3) 2x 21 2x41 182x (ĐS : x =
1 /2)
Dạng 2 : Giải phương trình tích
PP : - Đưa PT về dạng có VP = 0
- Phân tích VT thành nhân tử để PT có dạng : A (x) B (x) = 0 <=> A (x) =0 hoặc
B (x) = 0
*Aùp dụng : Giải các phương trình sau
1) 4x2 – 9 = 0 (NX: VT có chứa 4x2 không thể triệt tiêu để đưa về PT bậc nhất => giải PT tích)
(2x)2 – 32 = 0
(2x + 3)(2x – 3) = 0
x 23 Vậy x 23 là nghiệm của PT
2) (x – 6)(x + 1) = 2.(x + 1) Chủ đề 2 : Giải bất phương trình
Trang 4( NX : khi nhân để khai triển thì VT có x 2 ; VP
không có nên PT không thể đưa về bậc I )
(x – 6)(x + 1) – 2(x + 1) = 0
(x + 1).[(x – 6) – 2] = 0
(x + 1)(x – 8) = 0
x + 1 = 0 hoặc x – 8 = 0
x = - 1 hoặc x = 8
Vậy x = -1 và x = 8 là nghiệm của phương trình
Bài tập tự giải :
1) x3 – 6x2 + 9x = 0 (ĐS : x = 0; x = 3)
2) (2x2 + 1)(2x + 5) = (2x2 + 1)(x – 1)
(ĐS : x = 6 vì 2x2 + 1 > 0 với mọi x)
Dạng 3 : Phương trình chứa ẩn ở mẫu
* PP : - Tìm ĐKXĐ của PT
- Qui đồng và khử mẫu
- Giải PT vừa tìm được
- So sánh với ĐKXĐ để chọn nghiệm và trả
lời.
* Aùp dụng : Giải các phương trình sau
3
2
1
5
x
x
x
(I)
- TXĐ : x 1 ; x 3
) 3 )(
1 ( 1
) 3 )(
1 ( 1 ) 1 )(
3 (
) 1 ( 2 )
3 )(
1
(
) 3 )(
5
(
x x
x x x
x
x x
x
x
x
(x – 5)(x – 3) + 2(x – 1) = (x – 1)(x – 3)
x2 – 8x + 15 + 2x – 2 = x2 – 4x + 3
x2 – 6x – x2 + 4x = 3 – 13
- 2x = -10
x = 5 , thoả ĐKXĐ
Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình
* Bài tập tự giải :
3
(ĐS : x = -6)
2) 32 1 1( 3)(4 1)
x x x
x
x
x
( ĐS : x = - 3 TXĐ Vậy PT vô nghiệm)
3)
(ĐS : x 0 TXD x; 1 TXD)
* PP : Sử dụng các phép biến đổi của BPT để
đưa các hạng tử chứa ẩn về 1 vế , hệ số về vế còn lại
* Aùp dụng : Giải các bất phương trình sau :
1) 3 – 2x > 4
-2x > 4 – 3 (Chuyển vế 3 thành -3)
-2x > 1
x < 12
(Chia 2 vế cho -2 < 0 và đổi chiều BPT)
x < 21 Vậy x < 21 là nghiệm của bất phương trình 2)
5
7 3
5
(4x3.55).5 (75.3x).3 (quy đồngquy đồng)
20x – 25 21 – 3x (Khử mẫu)
20x + 3x 21 + 25 ( chuyển vế và đổi dấu)
23x 46
x 2 (chia 2 vế cho 23>0, giữ nguyên chiều BPT)
Vậy x 2 là nghiệm của BPT
* Bài tập tự giải :
1) 4 + 2x < 5 (ĐS : x < 1/2) 2) (x – 3)2 < x2 – 3 (ĐS : x > 2) 3)
3 2
2
( ĐS : x
4
3
)
Chủ đề 3 : Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
* VD : Giải các phương trình sau : 1) 3x x 8 (1)
* Nếu 3x 0 x 0 khi đó (1) 3x = x + 8
x = 4 > 0 (nhận)
* Nếu 3x 0 x 0 khi đó (1) -3x = x + 8
x = -2 < 0 (nhận) Vậy x = 4 và x = -2 là nghiệm của PT
* Bài tập tự giải : 1) 2x 5x 9 (ĐS : x = 3 nhận; x = 9 / 7
loại)
2) x 2 x 2 (ĐS : x = 0)
Trang 5Chủ đề 4 : Giải toán bằng cách lập PT :
* PP : - B1 : Lập phương trình
+ Chọn ẩn, đơn vị & ĐK cho ẩn.
+ Biểu thị số liệu chưa biết theo ẩn.
+ Lập PT biểu thị mối quan hệ các địa lg.
- B2 : Giải phương trình.
- B3 : Chọn nghiệm thoả ĐK của ẩn và trả
lời.
* Aùp dụng : 1) Hiện nay mẹ hơn con 30 tuổi ,
biết rằng 8 năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp ba lần
tuổi con Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi
?
Giải :
Gọi x (tuổi) là tuổi của con hiện nay
(ĐK : x nguyên dương)
x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện nay
Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau
x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm sau
Theo đề bài ta có phương trình :
3(x + 8) = x + 38
3x + 24 = x + 38 2x = 14
x = 7 ,thoả ĐK
Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi mẹ là 37
tuổi
2) Lúc 6h sáng, một xe máy khởi hành từ A để
đến B Sau đĩ 1h, một ơtơ cũng xuất phát từ A đến
B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung
bình của xe máy là 20km/h Cả hai xe đến B đồng
thời vào lúc 9h30’ sáng cùng ngày Tính độ dài
quãng đường AB
Quãng đường(km) = Vận tốc(Km/h) * Thời gian(h)
Xe
7 2
7
2.x
2
5
2(x + 20) Giải :
Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x > 20)
x + 20 (km/h) là vận tốc của ơtơ
7
2.x là quãng đường xe máy đi được
5
2(x + 20) là quãng đường ơtơ đi được
Ta cĩ hệ phương trình :
7
2.x =
5
2(x + 20)
=> x = 50 (thoả ĐK) Vậy quãng đường AB là : 50 3,5 = 175km
* Bài tập tự giải :
1) Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi cháu , biết rằng sau 10 năm nửa thì tuổi ông chỉ còn gấp 4 lần tuổi cháu Tính tuổi mỗi người hiện nay
( ĐS : Cháu 10 tuổi ; ông 70 tuổi)
2) Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì số ấy tăng thêm
1219 đơn vị
(ĐS : số 135)
3) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình15km/h Lúc về người
đĩ đi với vận tốc 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút Tính độ dài quãng đường AB
4) Một canơ xuơi dịng từ bến A đến bến B mất
5 giờ và ngược dịng từ bến B về bến A mất 6 giờ Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dịng nước là 2km/h
Trang 6PHẦN III : ĐỀ THAM KHẢO :
ĐỀ SỐ 1 :
Bài 1 : Giải phương trình và bất phương trình sau :
2) (x1)(2x1)x(1 x)
5
x
x
Bài 2 : Ơng của An hơn An 56 tuổi Cách đây 5 năm, tuổi của ơng gấp 8 lần tuổi An Hỏi tuổi của An hiện nay bao nhiêu tuổi
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = 36cm ; AC = 48cm và đường cao AH
a) HAB ABC và AB2 = BH.BC b) Tính BC; AH
c) Kẻ phân giác gĩc B cắt AH tại E và AC tại F CMR : AEF cân
ĐỀ SỐ 2 :
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1) (x + 1)(x – 5) – x(x – 6) = 3x+ 7 2)
2 2
Bài 2 : Cho biểu thức A = 7 82
1
x x
Hãy tìm giá trị của x để biểu thức A dương
Bài 3 : Cho ABC vuông tại A, đường cao AH
a) CMR : HAB HCA b) Cho AB = 15cm, AC = 20cm Tính BC, AH c) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH CMR : CN vuông góc AM
ĐỀ SỐ 3 :
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
a) 6x – 3 = 4x + 5 b) 2 3 6 2
1
x
c) 3x 2 4x
Bài 2 : Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
11 3( x1) 2( x 3) 5 Bài 3 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = 1, AC = 3 Trên cạnh AC lấy các điểm D; E sao cho AD = DE = EC
a) Tính độ dài BD
b) CMR : Các tam giác BDE và CDB đồng dạng c) Tính tổng : DEB DCB
ĐỀ SỐ 4 :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a) 15 8 x 9 5x
b) 1 2 5 0
2
x
Trang 7Bài 2 : Tìm x sao cho giá trị của biểu thức 2
3
x
không lớn hơn giá trị của biểu thức 2 3
2
x
Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 21cm Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 7cm, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm, Chưng minh :
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE Chứng mimh :IB.ID = IC.IE c) Tính tỉ số diện tích tứ giác BCDE và diện tích tam giác ABC
ĐỀ SỐ 5 :
Bài 1 : Giải bất phương trình 1 2( x1) 3 2 x
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
a) 4x2 4x 1 0
x x x x
Bài 3 : Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Lúc về
người đó đi với vận tốc 35km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút Tính độ dài quãng đường AB
Bài 4 : Cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH và trên tia HC xác định điểm D sao cho HD
= HB Gọi E là hình chiếu của điểm C trên đường thẳng AD
a).Tính BH , biết AB = 30cm AC = 40cm
b) Chứng minh AB EC = AC ED
c).Tính tỉ số CDE
ABC S S