B-Thứ tự trên các vecto Bool 5

những năm gần đây , combinatorics ngày càng được sự chú ý nhiều hơn của các nhà toán học, sự phát triển của công nghệ thông tin hiện nay đã khiến cho Conbinatorics được quan tâm và phát triển dưới hình thức toán rời rạc và các phân ngành như lý thuyết đồ thị, lý thuyết mã

Trang 1

B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền

Chương III

B -THU TU TREN CAC VECTO BOOL

3.1 Ky hiéu

B(n) ={a = ana¿ an ; a¡= 0 hoặc a¡= 1}

B(0) ={©);

Với mọi aeB(n), a có thể viết đưới dạng :

a=0,1,0;1 1, 0; , trong đó N;> 1,Vi=1,2, ,r vaZo, Z, 20; Z,;21, Vi=1,2, ,r—1;

Dat Z;(a) = Z;, Ni(a) = N; thi a hoan toàn xác định bởi dãy

va ta viét

Dat t(a) =( Nj, No, , N; ),

Z(a) = (Zo, Z1, Za Zr )

Truong hgp Z; = 1, tai vi tri cla Z; trong o (a) ta viết 0, lúc đó,

Go (a) = (Zo, Ni, Zi, No, , Zit, Ni, 0, Ni+t, Zit1, -> Nr 22)

Nếu Z¡=1,VWi=1,2, , r thì

o (a) = (0, Ni, 0, No, ., N,, 0)

3.1.1 Dinh nghia Cho a và b là hai vectơ khác nhau của B(n), a = ajap a,,

b = byb b, voi

o(b) =(Z), Ni, Z, Nj, Ni, Z)), trong đó

N; 21, Vi=1, 2, ,r va Zo, Z,2 0; Z, 2 1,Vi=1, 2, ,r—-15

Luận văn Thạc sĩ toán học

Trang 2

N, 21, Vj=1,2, ,8 va Z,Z,/20;Z;)21, Vj=1, 2, ,8—1;

Ta dinh nghia

a) 1(a) < t(b) N,(a) > N,(b), k = min{i : N,(a) # N,(b) }

b) Z(a)<Z(b) © Z,(a) < Z,(b), p = min{i : Z,(a) # Z,(b) }

c) o(a)<o(b)khi va chi khi

i) t(a) < t(b) hoặc

1) t(a)= t(b) và Z(a) < Z(b)

Ví dụ 3.1: ï) Với a = 11010011; b = 11001011, ta có

1(a) = (2, l,2)

Z(a) = (0, 1, 2, 0)

o (a) = (0, 2, 1, 1, 2, 2, 0)

va

t(b) = (2, 1, 2)

Z(b) = (0, 2, 1, 0)

o (b) = (0, 2, 2, 1, 1, 2, 0)

Khi ay, t(a) = 1(b) ; Z(a) < Z(b), do đó o (a) < o (b)

ii) Voi c = 001101111; d= 110111010, ta cd

t(c) = (2, 4)

Z(c) = (2, 1, 0)

o(c) = (2, 2, 1, 4, 0)

va

t(d) = (2, 3, 1)

Z(d) = (0, 1, 1, 1)

o(d) = (0, 2, 1, 3, 1, 1, 1)

Khi ay t(c) > 1(d), do dé o(c) < o(d)

Trang 3

3.2 B-thứ tự trên các vectơ Bool

3.2.1 Định nghĩa (B-thứ tự) Cho a và b là hai véctơ khác nhau của B(n)

Ta viết a < b nếu

i) w(a) < w(b) hoặc

11) w(a) = w(b) và ơ (a) < ơ (b)

Vi dụ 3.2: ï)Với a = 1100010; b = 1110010, ta có

wa = 3 < wh =4, do dda <b

ii) V6i a = 11010011; b = 11001011, ta có

wa = wb =Š

va o (a) = (0, 2, 1, 1, 2, 2, 0),

o (b) = (0, 2, 2, 1, 1, 2, 0)

Suy ra o (a) <0 (b), do do a <b

3.2.2 Dinh nghia Cho a = a)a) .a, €B(n) , a;= 0 gọi là nối hai khối nếu

l<i<nva a.) = a¡¡= 0

Vi dụ 3.3: Với a = 1001010001e B(10) thì as được gọi là nối hai khối, tuy

nhiên a; và a; không phải

3.2.3 Định nghĩa B(a) = max {i : a; = 0 và a; không nối hai khối}

Vậy

khia,,=l,a, =0

Pla)= 1, Khia, =0, Z(a) = Hà 1,0)

3.2.4 Bồ đề Với a eB(n) ta có

a =max{Aa} = max{ d,a, ,5,a } trong đó a = d,a voi h = B(a)

Trang 4

Chứng mình

° Nếu a = 1ạthì a” = 1ạ¡ Lúc đó, hiển nhiên a` = max{Aa}

° Nếu a # lạ và cho x= ö¡a 6 Aa, ta có a = 6,a, voi h = B(a) #j

Néu a;= 1 thi w(x) < w(a`) nên x< a'

Nếu ai= 0 thì w(X) = w(a ), ta xét hai trường hợp sau

+ Nếu aj nối 2 khối , khi ấy 1(x) < t(a`) nên x < a”

+ Nếu a¡ không nối hai khối (nghĩa là a¡¡ = 0 hoặc a¡.¡ = 0), khi ấy

Z(x) < Z(a’) =>x<a’

Vay a” = max{Aa}

Vi du 3.4: i) Voia= 1111111111 thi a = 111111111

ii) Voi a= 1101011001 thi a = 110101101

iii) Với a = 1101001011 thi a = 110101011

iv) Với a = 1011010111 thi a = 101101111

v) Với a = 1100101001 thì a” = 110010101

3.2.5 Bồ đề Cho a và b eB(n) và a # b, ta có

i)a<b >a <b

iija"< b > a<b

Chứng mỉnh Ta chứng minh 1) Chứng minh 11) hoàn toàn tương tự

Dat h = B(a), k = B(b) thi

a’ = 8,8 = aja) An-1Ans1 -An

b”= õ¿b = bybp by rbyi -bp

Néu b = 1, thi xong Xétb #1,

* Trường hop 1, w(a) < w(b)

Ta cé w(a’) = w(a) < w(b) =w(b) >a <b

Trang 5

* Trường hợp 2, w(a) = w(b)

Do a < b nên ơ (a) < o (b) va do đó t(a) < r(b) hay Z{a) < Z(b)

Khi r(a) < t(b) thì vì x(a`)= t(a) ,+(b`) = 1(b) nên

+(a `) < t(b `) Suy raa` < bỉ

Khi t(a) = +(b) thi vi t(a ) = t(a), t(b”) = t(b) nén t(a ) = 1(b )

Néu Z(a) = Z(b) thi Z(a") = Z(b').Suy raa” =b’

Néu Z(a) < Z(b) thi Z;(a) < Z(b) voi i = min{j : Z;(a) # Z(b)} Xét các

trường hợp sau

“ Truong hop 1: | ;

k >i

Ta co Z(a) = (Zo, Z1, Zo, ., Zis -5 Zn 1, 1, ., 1,0),

Z(b) = (Zo, Za, Z2, , Z2 Z4 1,1, , 1,0), Z(a)= (Zo, Zi, Za, - Zip -p Zyl, 1, ., 1,0),

Z(b’) = (Zo, Z1, Z2, +5 Lis , Zk-1, 1, ., 1, 0)

Suy ra a <b

Ta có Z(a)= (Zq, Z4, Zs, , Z¿ , Zw—L, 1,1, , 1,0),

Z(b') = (Zo, Zi, Za, ., Zi-l, 1, ., 1, 0)

Néu Z(b') > Za’) + 2 thi Z(b’) — 1 = Z,(a") + 1, do d6 Z(b’) — 1 >

Z(a’), voi i= min{ j : Z,(a) # Z,(b’)} nén Z(a’) < Z(b’), suy raa’ <b’,

Nếu Z4 )= Z4”) + 1 thi Z(b ) -1 = Z(a’) va suy ra b'= a’

Tóm lại, ta đã chứng minh xong nếu a < b thì a' < bỉ

Trang 6

3.2.6 Bồ đề Cho AC B(n) Nếu A là một IS thì AA cũng là một IS

Cụ thể A = G0 + HI, với G, H C B(n-l), thi AA=G=A'= {a :ae A}

Chứng mỉnh.Cho x < y và y e AA, ta sẽ chứng minh x e AA

Do y e AA nên có b e A sao cho y e Ab và y < bỶ

Đặt a = x0, thì a = x; mà x< y nên a <y<b

Do dé a" <b’ Theo bổ đề 3.2.5 ta có a < b

‘Ma A là một IS nên a e A

Tóm lại ta có x c Aa và a € A nên x € AA

Vậy AA là IS

e©_ Ta chứng minh phần còn lại của bố đề này:

AA=G=A ={a`:ae A}

Hiển nhiên : A”C AA và A” c G

Ta cần chứng mỉnh G c A” và AA cA”

a) Lay x € G, tasé chứng minh x € A’

That vay, do x € Gnén x0 € G0 c A, tir dé x0 © A Suy ra tén taia €

A sao cho a= x0 Ta duoc a’ =x, va thé thix e A

b) Lay x € AA, ta sé ching minh x € A’

Thật vậy, do x c AA nên tồn tại a ¢ A sao cho x ¢€ Aa Từ đó x = da, với một J nào đó

Đặt u = x0 thì u= x mà x = õ¡a nên u = Ga

Mat khac, dja < a , nênu <a, do đó u< a Và vì A là IS nên u e A Vậy x=u e€ A’ (đpcm)

3.2.7 Định nghĩa Cho a € B(n), voi o (a) = (Zo, Nj, Z¡, Nạ, ., N„, Z,), trong

dé Nj2 1, Vi=1,2, ,rva Zo, Z,20;Z,2 1, Vi=l, 2, ,r—l

Trang 7

B-thứ tự trên các vectơ Bool Lé Binh Duy Dién

Ta định nghĩa (a) 1a vécto â được xác định như sau

ơ (Â) =(Zø, 1, Z¡-1, 1, Z2-1, , Z2¡-1, 1, Z2)

Ví dụ 3.5:i) Với a= 011010100 thì ọ(a) = 011100

—i) Với a= 1000110011 thì @(a) = 100101

ii) Với a = 0010100110 thì @(a) = 0011010

iv) Với a= 010101000 thì o(a) = 0111000

3.3 Định lý Cho a và b e B(n,k) lần lượt là vectơ thứ m trong V-thứ tự và

B-thứ tự, với a = xu, trong đó dim x = k— 1 Khi đó ta có u = ọ(b)

Đề chứng minh định lý trên ta cần chứng minh một số bổ đề hỗ trợ sau

đây

3.3.1 Bo đề Cho a e B(n), cách xác định a” trong B(n) như sau

Voi moi a € B(n), tacé o (a) = (Zo, Nj, Z,Na, ,N,, Z2),

trong dé N;2 1, Vi=1,2, ,r va Zo, Z, 20; Z, 21, Vi=l, 2, ., r—l

ï) Trường hợp 1 Nếu Z, > 1 thì a” là véctơ xác định bởi

o(a’) = (Zo, Ni, Zi, No, «.-5 Zeit 1, N;, Z;—1) (3.1)

11) Trường hợp 2 Z;= 0 và giả sử ton tại ¡ sao cho Z¿ >2, Vi=l, ,r— 1

Khi đó a” được xác định bởi

ơ(a”) = (Zo, Nị, Z¡, No, ., Z4+1, N, 0, Này, 0, ,0,N,Zv—2) — @.2) trong đó k = max {i1 : Z¡ >2, V1i=1,2, ,r—l}

11) Trường hợp 3 Z¿= 0, Z¡= 1, VI=1,2, ,r—]

Giả sử tồn tai i sao cho N¡ >2, Vi =l, 2, , r —1, khi đó a” được xác

định bởi

ơ(a”) = (Nj, 0, No, 0, , N.-1, 0, TNk¿y, , 0, N, Z4ii Z21Zo) (3.3)

trong đó k= max { i: N¡>2,Vi=1,2 ,r—l}

——_—.- TỶỸŸỸÝ;ĨƑÝPÿ-Ÿ

- —.>>nn Luận văn Thạc sĩ toán hoc Trang 29

Trang 8

B-thit tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền

iv) Truong hợp 4 Zạ > 1, Z„= 0, Z¡ = 1, Vi= 1,2, ,r—1 và Nụ =N,, khi đó

a’ duoc xác định bởi

ơ(a”) =(N¡,0,N;,0, ,N¿-1,0,1,Ze—1) (3.4)

trong đó k = max {i:N,;>2, Vi=1,2, ,r—l}

v) Trường hợp 5 Z) = Z, = 0, Z;= 1, Vi=1, 2, , r-1 va N, = N,, khi d6 a”

duoc xac dinh boi

o(a*) = (N}- 1, 0, IN> N,, ZoZ3 Z;-1) (3.5)

trong đó k = max {i:N,;2>2, Vi=1,2, ,r—l}

Chứng minh Trường hợp 1 là hiển nhiên Ta chứng minh trường hợp 2 và 3

Trường hợp 4 và 5 được chứng minh hoàn toàn tương tự

a) Trường hợp 2

Đặt x là vectơ xác định bởi

G(X) = (Z2, N¡, Z4, Nạ, , Z¿-¡ + 1, Nx 0, Navi, 0, , 0, N,, 2v —2)

Ta sẽ chứng minh a < x, tức là x = a”

Hiển nhiên a < x Giả sử tồn tại y e B(n) sao cho a < y < x Ta sẽ chứng

minh y =a hoac y=x

Gia sử y < x, ta sé chứng minh y = a

Thật vậy, giả sử a < y Ta có w(a) = w(Y) = W(X), và a < y, nên ơ(a) < o(y), do dé t(a) < t(y) hay Z(a) < Z(y)

i) ta) < ty)

‘Do ta) < t(y) nén Nj(a) > Nj(y), voi j = min {i : Nj(a) 4 Nj(y)} Ma Nj(a) = Nj(x), Vj_do do N;(x) > Nj(y) Suy ra x <y, trai gia thiét

Nay y =a

li) Z(a) < Z(y)

Trang 9

B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điển

Do Z(a) < Z(y) nén Z, (a) < Z, (y), voi k= min { iy: Z, (a) # Z, (y)} Mặt khác a < x nên tồn tai kp = min { iy: Z,,(a) # Z,,(x) } sao cho

Z,, (a) < Z,, (x)

e© Nếu kị < kạ thì x < y, trái giả thiết

e Néuk, =k

Néu Z, (y) > Z,, (x) thix <y, trai gia thiét

Néu Z, (y) = Z,, (x) Dat kạ = min {i3: Z, (x) # Z, (y)}

Do Z(x) = 1, Vi=k+l, ., r—- 1 nén Z, (x) < Z, (y), dan dén x <y, trái giả thiết

Vậyy=a

b) Trường hợp 3

Đặt x là vectơ xác định bởi

o(x) = (Ni, 0, No, 0, , N.-1, 0, TNk¿¡ Nụ Zkái .Z2120)

Ta sẽ chứng minh a < x, tức là x = a”

Hiển nhiên a < x Giả sử tồn tại y e B(n) sao cho a < y < x Ta sẽ chứng

minh y =a hodcy =x

Giả sử y < X, ta sẽ chứng minh y = a

Thật vậy, giả sử a < y Ta có w(a) = w(y) = w(X), và a < y, nên o(a) < o(y), do dé t(a) < t(y) hay Z(a) < Z(y)

i) t(a) < 1(y)

Do t(a) < t(y) nên N, (a)>N, (y), voi ki = min {i : N, (a) #N, (y)}

Mặt khác a < x nên 1(a) < 1(x) Suy ra tồn tại kạ = min { ip:

N, ()=N, (x)} sao cho

Trang 10

a

N,, (a) > N,, (x)

e Nếu kị =k;ạvà N, (y)<N, (x) thì x < y, trái giả thiết

e_ Nếu kị =k;và N, (y)=N, (x) thì tồn tại kạ= min { iạ: Z, (y)# Z, (x)} sao cho

Z, (y)> Z,, (x)

Suy ra y > x, trái giả thiết

Vậy x=a'”

3.3.2 Bồ đề Cho a e B(n), cách xác định a- trong B(n) như sau

Với mọi a c B(n), ta có

oO (a) = (Zo, Ni, Z1, No, ., Ny, Zr)

trong dé Nj 21, Vi=1,2, ,r vaZo, Z,2 0; Z; 21, Vi=1,2, ,r—1 Trường hgp 1 Tén tai i sao cho Z; > 2

Đặt k = max { i: Z¡ >2, Vi=0, 1, ,r—l}

Truong hgp 1.1

Néu k =r-1 thi a” 1a vecto xac dinh boi

o (a ) = (Zo, Nj, Z1, No ) Zpi-l, 5N;, 0Z,) (3.6) Trường hợp 1.2

Nếu 0<k<r- 2 thì a' là vectơ xác định bởi

G(a )=(Zo,N\, Z4, N¿, , 24-1, Này, 02421, Nh›, , Z2 VN) (3.7)

Trường hợp 2 Z; = l, V1= 1,2, ,r—]

Trường hợp 2.1

Nếu Z¿ > I1 thì a là vectơ xác định bởi

Ø (a) — ( Zo ~ 1, Ni, 0⁄4, No, Z2, Zr N ) (3.8)

Trang 11

—mm>mm>—mxexxơrsaakaơờnaazararaơơdơnar=

Trường hợp 2.2

Nếu Zạ = 0 và N,= Ithì a' là vectơ xác định bởi

o (a) =(0Z,, Ny, Zi, No, Za5 0005 Zets IN) (3.9)

Trường hợp 2.3

Nếu Z¿ = 0 và N, >2 thì a là vectơ xác định bởi

Oo (a) = ( Zr Ni, Zi; Nạ, 2:2, 1N;-1, 0, 1) (3.10)

3.3.3 Dinh ly Cho a, b € B(n, k) lan luot 1a vécto thir m trong V-thir tu va

B-tht tu voi a = xu, trong d6 dim x =k — 1.Khi dé u = (b)

Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nạp theo m

e m= 1, kết quả là hiển nhiên

e Giả sử định lý trên đúng với véctơ thứ m-l trong V-thứ tự và B-thứ

tự Xét e và d lần lượt là véctơ thứ m — 1 trong V-thứ tự và B-thứ tự, khi đó ta

có €`=a và d” =b

Giả sử e= yv, e` = xu, trong đó dim y = dim x=k— 1

Theo giả thiết qui nạp, ta có v = ọ(đ).Ta sẽ chứng minh u = ọ(b)

Trường hợp 1 y = x

Xét e có dạng e = e10;1; , theo (2.1) ta có e” = e01,410,.1

Do y = x nên dim y = dim x < dime

Không mắt tính tổng quát giả sử y = x = e Khi đó ta có

v= 10,1,

vau=v'= 01,+;0,.1 Ta sé ching minh ọ(b) = 01,.10,.¡

That vay, do v = @(d) nên o(d) = 10,1,, theo dinh nghia thi d 1a vécto xác định bởi dãy

o(d)=(Ni, 0541, Ni, 0, Nj, 0, .,0, N’)

Trang 12

Theo (3.2), ta có d” là vectơ xác định bởi dãy

Ø ( đ” ) = (0, Ni, 0, Ni 0, N, 0, 0, N, 05-1 )

nên 0(d”) = 01,,0,; = u (đpcm)

Trường hợp 2 y > x

Doy > xnénv = 0,1, vau= 1;.;0p.¡= 1:0, trong đó s =r + l vàt= p-1 Theo giả thiết qui nạp, ta có v = 0(đ) nên @(đ) = 0,1, Ta sé chứng minh

u=o(d )

Thật vậy, giả sử (đ”) #u Khi đó @(d”) có một trong những dang sau i) p(d")= 0,10,, ty 2 trong đó tị † tạ =t, tị > 1 và t; > 0

ii) @(đ”)= 1,01, trong đó sị + s; =t, sị > Ö và s; > 1 $sqị “E $

ii) @(đ))= 0,1,0,1, 0, 1, , trong đó

ty +t) + +th=t,t 2 1, Sp = 0, Và SỊ † Sạ + Sụ = S

iv) o(đ)= 10,1, 0, 1, 8, tị §; "tạ" 0, , trong dé

ti+taạ+ +tni=t,tị> Ì, sa > 1, tạ > Ö và sị † S; + Sụ = S

Ta xét từng trường hợp cụ thể

a Xét i) ọ(đ”) = 0,1,0, ,trong đó tị + ty =t, tị > 1 và tạ > 0

+ Nếu tạ= 0 thì ọ(đ”)= 0, 1,, khi đó đ” là véctơ xác định bởi day

ơø(đ”)=(0,,N,,0,N,,0, 0,N )

Theo (3.8) thì d là véctơ xác định bởi dãy

ơ(đ) =(0,_,,Nụ, 0;, Nạ, 0, , 0,N; ),

nên 0(d) = 0,101, # v = 0,1, trái giả thiết

+ Néu t > | thi p(d") = 0, 1,0, , khi đó d” là véctơ xác định bởi dãy

Tiêu đề	B-thứ tự trên các vectơ Bool
Tác giả	Lê Bình Duy Điền
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn thạc sĩ

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	428,86 KB