những năm gần đây , combinatorics ngày càng được sự chú ý nhiều hơn của các nhà toán học, sự phát triển của công nghệ thông tin hiện nay đã khiến cho Conbinatorics được quan tâm và phát triển dưới hình thức toán rời rạc và các phân ngành như lý thuyết đồ thị, lý thuyết mã
Trang 1B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền Chương 1
TONG QUAN VE K-POSET
1 Đôi nét về lịch sử K-Poset
Cũng như trong định lý kiểu KK, trong thuật ngữ K-poset, chữ K gắn
liền với hai cái tên Kruskal va Katona, con poset dé chỉ một tập hợp có thứ tự
bộ phận Năm 1963, Kruskal công bố bài báo “ The nưmber oƒ simplices in a
complex ” (xem [1]) nhưng chưa ai hiểu rõ ý nghĩa của nó Năm 1966, Kantona tìm lại kết quá trên nhưng chứng minh của ông rất phức tạp và có sai sót Từ đó cái tên định lý Kruskal-Kantona hay định lý KK ra đời, và đã có
nhiều chứng minh cho định lý này, trong đó có chứng minh của Daykin, D.E.(1974), Hilton(1979) và Frankl (1984) Định lý KK đã trở thành một định
lý cơ bản cua combinatorics vi từ định lý này có thể suy ra một số định lý
khác như Định ký EKR, Định lý Leitman, Nhữnh sách giáo khoa chuyên ngành thường dùng riêng một chương định lý KK như trong [9] và [13] Vì vậy thật dễ hiểu khi các nhà toán học trong ngành thường quan tâm đến việc
tìm kiếm những kết quả tương tự
Năm 1969, trong bài báo “ A generalization of a combinatorial theorem
of Macaulay ” [ ], Clements và Linstrom đã thành công trong việc mở rộng
định lý KK cho đa tập hợp [14] ( cái tên Macaulay liên hệ đến một ví dụ mà
Macaulay đã tìm ra năm 1927) Một cách tự nhiên, các nhà toán học đã nghĩ đến việc chứng minh định lý Kruskal -Kantona cho các poset khác Năm
1984, với thuật ngữ K- Poset , Daykin, D.E đã giới thiệu tổng quát về các bài toán kiểu KK [17], trong đó Strehl va Winkelmann đã đưa ra một thứ tự tuyến tính trên các poset và các véctơ nguyên không âm và giả định rằng với thứ tự tuyến tính ấy, định lý kiểu KK vẫn đúng
Trang 2B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
LL
1.2 Cac khai niém co ban
Gọi N là tập hợp các số nguyên không âm, trước tiên chúng ta nhắc lại các khái niệm về poset, K-Poset
1.2.1 Định nghĩa
(i) Poset (partially ordered set) là một tập hợp với thứ tự bộ phận, tức P
= (S,< ) với < là một quan hệ thứ tự bộ phận trên S
Với P là poset và x,y thuộc P, ta bảo y là trội trực tiếp của x nếu x < y
và không có z # x, y sao cho x<z<y và ta viết x ~ y
(ii) Gia sử có một ánh xạ r từ poset P vào N thỏa r(p) = 0 nếu p là phần
tử tối tiểu của P và r(p) = r(q) +1 nếu p là trội trực tiếp của q Khi ấy P gọi là một Poset có hạng (ranked poset), r gọi là hàm hạng (rank function) và với k =
0,1,2, ta định nghĩa mức thứ k (level k) của P là :
P,={peP:r(p)=k})
Cho P là một poset có hạng với các mức Pọ,P\,Pạ, Với k> l vàpec
P., bóng (shadow) của p được định nghĩa là A;= { q € Px :q <p } và bóng
của A Œ P¿ là AA =t2As(pec A)
Sau đây là một số ví dụ về poset có hạng mà ta sẽ dùng đến trong các
phần kế tiếp Như thông lệ, ký hiệu | A | để chỉ số phần tử của tập hợp A, và
đề đơn giản ký hiệu, véctơ ( xị,Xa ,Xạ ) được viết là XịXa Xa
Vi du 1.1 Poset P(S) các tập con của S = { 1, 2, 3, 4, ,n }
Phần tử : Tập con của S
'Thứ tự bộ phận : a < b © a C b
Hàm hạng r(a) = | a | = số phần tử a
Mức thứ k: P¿(S)= {acS:|a|=k}
Trang 3B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
—_.>as“»“»nmamm>m>m>ềmammxaaơaa>assas>~=masamm>mm>>maearờờờờờợờơờ-gazam
Bóng của a e P¿(S): Aa={bca, |b|=k-l}
Vị dụ 1.2 Poset các đa tập hợp P = S( kị, kạ, ,kạ ), trong đó kị < kạ < < kạ,
kj EN
Phần tử : x = x¡xạ xạ với 0 < x¡ < kị và x¡ eN
Thứ tự bộ phận : Với x = XX¿ Xạ; Y = YIYa Yn thì
x<y x¡<y;, VIi= l, ,n
Hàm hạng : r(X) = xị†+xz†+ +Xa
Mức thứ k: P¿= { x : r(x) =k }
Bong cia X = X)X2 X_ © Py Dat Ox = yiy2 ¥n, VOL Yi = Xi néu i khac j
va yi = xj- 1 thi Ax = { ®x :1 <j <n vax; >0}
Vi du 1.3 Poset P = B cac vecto Bool
Phần tử : x¡xa xXụ, k e N và xị E {0,1}
Thi tu b6 phan : Voi x = x1X2 X_, Y = V1Y2 -Yn thi
xSyO ken, vad ij, jki X,=Y, „ Xi =Y,
Ham hang : Voi x = x;x> x; thi r(x) =k = dim x
Mức thứ k : P,= { x eB : dim x=k } va Pp= {2}
Bóng của x = XỊX¿ Xị € Py
Goi 5x; la vecto c6 duge tir x bang cach bo x; thi Ax = {5)x,52x, .,x }
Vi du 1.4 Poset P = V các vectơ nguyên không âm
Phần tử : xị xạ với x„ n EN
Thứ tự bộ phận : Với x = x)X2 x,, Y = y1y2 -Yn thix <y © k< n, và Fj X, = Yi oe X =i:
Luận văn Thạc sĩ toán học
Trang 4B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
Ham hang : Với x = xịX¿ xụ thì r(x) = k = dimx
Mức thứ k : P.= {x eV : dimx =k} va Po= {©}
Bong cla x = X1X2 Xx € Px
Gọi ôx; là vectơ có được tir x bằng cách bỏ x; thi
AX = {ỗ¡X, Ö¿X, ., ÔX }
ni!
Ta viét "| a8 chi td hợp n chập k, tức là "J-—#_—-
VỚI i 0, nêu n<k
Từ năm 1928, Spener đã chứng minh rằng, nếu A c P,(S) voi
S= {1, 2, 3, , n} thì ta có
k |AAl> k-1 |A|:
Vấn đề tự nhiên được nêu ra là tìm chận dưới lớn nhất của | AA |
Một cách tổng quát, với P„ là mức thứ k của Poset có hạng P và m là số
tu nhién cho san, tim A < P, sao cho | A |=m va
| AA |=min {| AB|:B CP, va|B|=m }
Đề giải quyết bài toán này, thường người ta tìm một thứ tự toàn phần trên Py, k = 1, 2, mà ta gọi là thứ tự tuyến tính và chứng minh rằng tập A
phải tìm gồm m phần tử đầu tiên của P¿ trong thứ tự tuyến tính ấy Đó là nội
dung chủ yếu của định lý KK mà ta sẽ xét ở phần dưới
1.2.2 Định nghĩa
Cho P là một poset có hạng với các mức Pạ, P¡, P;, Giả sử trên P có một thứ tự gọi là thứ tự tuyến tính <¡, sao cho P¿ được sắp toàn phần V k > 1 Vậy trên P có 2 thứ tự :< va <,, va ta viet (P, <, <,)
Luận văn Thạc sĩ toán học
Trang 5B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
() Tập I C P, gọi là một đoạn đầu của P¿, ký hiệu IS, nếu I gồm những phần tử đầu tiên của P¿ trong thứ tự tuyến tính Nói cách khác, có a eP¿ sao cho I có dạng I= { x e Py.: x <L a }
(ii) Cho A c P, voi | A | = m Phần nén (compression) của A, ký hiệu
C(A) là tập con gồm m phần tử dau tién cia P, trong thir tu tuyén tinh
(iii) Ta bao A bi nén (compressed) néu C(A) = A
Vậy theo định nghĩa, ta có :
A làIS © C(A)= A
<> cd a € P, sao cho A={xePR: xa}
&x<yva y eA thix <A
Có thể có nhiều thứ tự tuyến tính trên P nhưng ta chỉ quan tâm đến thứ
tự tuyến tính tối ưu hay thích hợp như trong định nghĩa sau
1.2.3 Định nghĩa
Cho P là một poset có hạng với các mức Pạ, Pạ, P;ạ, Một thứ tự
tuyến tính trên P gọi là tối ưu (optimal) hay thích hợp (suitable) nếu
| AC(A)] <| A(A) |, VAC Py
Khi ấy P gai 1a poset Macaulay
Hién nhién | AC(A) | < | CA(A) | thi vi | C(B) | =| B | voi moi B nén
| AC(A) |<| C(AA) | =| A(A)I
1.2.4 Định nghĩa
Cho P là một poset có hạng với các mức Pạ, P\ạ, P;, Ta gọi P là một K-Poset, nếu có một thứ tự tuyến tính trên P sao cho với mọi k > ], ta có
(i) AP, = Py 5
Trang 6B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
(ii) Bong cua mot IS cha P, là một IS của P¿¡;
(iii) | AC(A) | < | AA |, VA c Py
Ta viét (P,<, <)
1.2.5 Dinh nghia
Cho (P, <, <¿) là một K-Poset Với a € P,, ta dinh nghĩa
‘TS,(a) ={x © Py: x <a}
Các bài toán sau gọi là các bài toán về biểu diễn của K-Poset
Bài toán 1 : Choa c P¿ Tìm m = | IS¿(a) |
Bài toán 2 : Chom € N Tima é€ P,(S) sao cho | IS,(a) | = m
1.3 Dinh ly KK
Gọi P(S) là poset có hạng của tất cả các tập con của S = {1, 2, 3, ,n }, khi đó mức thứ k của P(S) là
P(S={acS:|a|=k}
Ta sẽ định nghĩa một thứ tự tuyến tinh trén P(S) dé P(S) 1a mét K-Poset
Từ đây ta dùng ký hiệu < hay < để chỉ thứ tự tuyến tính nếu không có
gì nhầm lẫn Ta cũng viết a-b để chỉ hiệu của hai tập hợp a và b, còn a+b để chỉ phân hiệu đôi xứng
1.3.1 Định nghĩa Với a, b € P,(S), ta dinh nghĩa :
a <b © max (a-b) < max (b-a)
<> max (atb) c b,
trong đó :
a+b=(at2b)-(anb)
Trang 7B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
Ngoài ra dé đơn giản ký hiệu, xyz sẽ được viết thay cho
{X,ÿ,Z, }
Thứ tự này gọi là thứ tự dồn (squashed order )
Ví dụ 1.5 : Với S={1, 2, 3, 4, 5} thì các phần tử của P„(S), k= 0, 1, 2, 3, 4, 5
xếp theo thứ tự dồn như sau:
P(S) : 12345
P,(S) : 1234, 1235, 1245, 1345, 2345
P3(S) : 123, 124, 134, 234, 125, 135, 235, 145, 245, 345
Pa(S) : 12, 13, 23, 14, 24, 34, 15, 25, 35
P,(S) : 1, 2, 3, 4, 5
Po(S) : Ø
Nhận xét : Phần tử lớn nhất của P„(S)trong thứ tự dồn là { n-k+1, , n-1, n }
1.3.2 Dinh ly KK (Kruskal 1963 va Katona 1966)
Cho tập hợp S = {1, 2, 3, n} Với thứ tự bộ phận là thứ tự bao hàm
và thứ tự tuyến tính là thứ tự dồn thì P(S) là K-Posét
Nhu vậy | AC(A) | < | AA |, VA c P4(S), k > 1 nên định lý KK chỉ ra
rằng, trong số các tập con gồm m phần tử của P,(S) thì m phần tử đầu tiên trong thứ tự dồn có bóng bé nhất
Vi du 1.6:
Voi S = {1, 2, 3, 4, 5}, ldy A = {124, 234, 245} va B = { 123, 124, 134
}, thì B = C(A) gồm | A | = 3 phần tử đầu tién trong P3(S) (xem vi du 5 ) và ta
——
AA = (12,23, 14, 24, 34, 25, 45 }, | TRUER
|
1
———-
¡00114
Trang 8
B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
AB = {12, 13, 23, 14, 24, 34 }
Ta có AB là một IS vớt
| AB | =| AC(A) | =6 <| AA | =7
Định lý KK khẳng định răng, tất cả tập con gồm 3 phần tử của Pz(S) đều có bóng với kích thước (số phần tử) lớn hơn hay bằng 6 = | AB |
Với m, k nguyên dương cho sẵn, ta gọi nụ, nụ., .lần lượt là các số nguyên lớn nhất sao cho
eee eee eee eee eee eee eee eee ee eee eee ee ee ey
Tiép tục quá trình trên ta có định lý sau:
1.3.3 Định lý Cho m, k là các số nguyên dương Tổn tại duy nhất các số nguyên nụ, nụ.¡, ., nị sao cho
nụ >1 ¡> >n¿>t >1 (1.2)
_{ Dy + ny; + + Nh, 1.3
Sh) «
Chang han voi m = 22 vak = 4 thi
Trang 9B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
1.3.4 Định nghĩa Công thức (1.3) thỏa điều kiện (1.2) gọi là biểu diễn k- nhị
thức ( k-binomial representation ) hay một k-easeade của số nguyên m
Bây giờ ta xét các bài toán về biểu diễn trong K-Poset P(S) Nhắc lại rang voi a e P,(S) thì ta viết IS,(a) dé chi tập hợp các phần tử b € P,(S) sao cho b<a trong thứ tự dồn
Trước tiên ta xét bài toán 1, tức là tìm m = | IS¿(a) | với a cho sẵn và Am
= | AIS;(a) |
Néu k = 1 thi a= {r} với 1 <r <n thì Aa = {Ø} và hiển nhiên
cen(/e]*!
Xétk>lvàa= {ai ,ãa, Ley ax} VỚI ai < aạ¿< .< â¿,
Nếu a¡¡= l+a;,¡= 1,2, „ k-1 thì ISu(a)= PS” và AIS,(a) =
P (S) voi S= 1,2, ., ay} nén
=0) er[8)
Ngược lại, đặt n¿ = a,-1 Nhận xét rằng nếu b e P,(S) va max b < n, thi b<anén b € IS,(a) Dat So= {1, 2, ,nk} va Go= {b e Py(So) : max b< n,}
= P,(So), ta có
Go c IS,(a) va | Go | = w
Những phân tử còn lại của IS,(a) (nếu có ) chứa ay nên có dạng b t2 {a} với b
c P (S) vabc {1,2, , ai} Dat ny; = a,j-1 va G, 1a tap con cua P,(S)
gom nhitng phan tir co dang c U {a} voi] c|=k-1 vac CS; = {1, , m1} thi
Lana:
Trang 10B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
¬—_———>s¬“mmmn>rraraaaxarddơddơơơnanaawaœaa
G, cIS,(a) va| G, |= [Pe }
k-1 Nếu IS¿(a) — (Gọ t2 G¡) # @ thi nhitng phan tir cla né co dang d U { ay, ax.) }
trong do |d|=k-2 vad CS, = {1, 2, , ag} Nhu trén, voi ny.2 = ay —1 và
G; gồm những phần tử của P,(S) có dạng d U { ax1, a, } trong đó | d |= k-2 và
dcCS;={1l,2, n2} thì
2 < IS,(a) va | G2 | = k-2 ‹
Bằng cách tiếp tục quá trình trên, cuối cùng ta có t > I sao cho
IS¿(a) = Gọ tG¡ (C2 (2 Ga
n
va voir = I 2s kt thi |G, /=[ ) nên
r
VỚI ny> nụ.¡> >n¿>t> 1
Vì Gọạ= P¿(Sạ) với Sẹ= {1, 2, .n¿} nên
AGp = P i(So) = {b € P(So) : |b] = k-1}
Với r= l, ., k-t thì Gạ + +G, là IS Đặt
Ho= Px-1(So),
y= {b VU {a} 2b © Py2(S1)},
Hạ= {c Ở {av.i,ax} : © 6 Pkas(52)},
A(Go+ Gì) = Hạ + HỊ, A(Go+ Gì † G›) = Hạ+ Hì + H,
Trang 11B-thứ tự trên các vectơ Bool Lê Bình Duy Điền
¬—_—>>-—>>>meœœœammmeaaeaxaammeeeaeanẽanesesasam
Hơn nữa
n n lội
Họ | = * | |H = kt | | HI = K2 |
má~(®)m0=[®)am=( 3)
Từ đó suy ra
| Am | =| AIS,(a) | = ft lầy) Lee (y (1.4)
Kết quả trên cùng với định lý 1.3.3 cho ta các thuật toán dé giải quyết
các bài toán về biểu diễn trong K-poset P(S) với S = {1, , n}
Thuật toán 1 : ( Cho bài toán 1 )
Cho a= {aj, a, , a} la mot phan tử của Px(S) với ai< aa¿< < ây Tìm m =| IS,(a) |
Bắt đầu, m:=0,h:=k;
Bước 1 Nếu h = 1 hay a¡:¡= 1+a;, ¡ = 1, 2, , h-1 thì
H
h
Ngược lại đến bước 2
n Bước 2 nạ = an —l và m=m+| *
Bước 3 h=h- l, trở lại bước l
Ví dụ 1.7: Cho S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, § } và a = a¡a›asaaa; thuộc P;(S) ( ta viết a = a¡a›asaaas thay cho a= { aj, ao, 43, a4, as } )
(i) Voi a = 13568 thi thuat toan 1 cho ta