bổ đề thom và sự đặc trưng hóa số đại số thực 5

vấn đề trọng tâm của Đại số ngày nay là tìm các ứng dụng trên các vấn đề lý thuyết của nó, mà đại số tính toán là một mũi nhọn khi công nghệ thông tin đang trên đà phát triển vũ bão

CHU GONG II: BO DE THOM VA THUAT TOAN DAC

TRUNG HOA MOT SO DAI SỐ THỰC

§1 DAY STURM

1.1 Định nghĩa # là một trường thực đóng

ƒ € R[X]; ¡ = 0,1, ,s là các đa thức một biến thực với hệ số lấy trong R

Giả sử các da thức ƒ; không có ae bội; ¿ =0,

Khi đó, dãy các đa thức ƒẹ, ƒ, , ƒ, gọi là một dãy Sturm nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) Hai da thức liên tiếp không có nghiệm chung

(1ñ) ƒ; không có nghiệm trong R

(1i) Nếu z € Ava f(z) = 0 thi f;_1(2) fis (x) < 0; 7=1, ,8—1 (iv) Nếu z € R va fo(xz) = 0 thi fo(X).f,(X) déi dau tir 4m sang

dương khi X tăng và vượt qua z _

1.2 Chú thích

(a) # là một trường thực đóng; ƒ, € R[X]; ;¡=0,1, ,s

fo, fi, -> f; la m6t day Sturm

Vdi méic € R, ta co mot day trong R:

folc), file), fale)

Ky hiéu: v(c) là số lần đổi dấu (số biến dau) cua day Sturm

fo fis: fs tai X = c, và 0(c) dược xác định bởi số các cặp (file); fize(c}) sao cho:

Với z là một nghiệm thực của ƒạ =

Thật vậy;

Nếu z là một nghiệm thực của ƒạ = ? và tại đó: ƒ¡(z).ƒq (x) > >0 thì z không là nghiệm của f, va P’ = fo,hon nita f,(z) va fo(z) cùng dấu

Do đó: 3e > 0 đủ bé sao cho ƒạ và ƒ¡ không đổi dấu, và cùng dấu với nhau trong |# — e; z +&| |

e Trường hợp: ƒ¡(X) > 0 và ƒq(X) > 0; VX Elz —e; 24+ | Khi đó: ƒọ = P là hàm tăng nghiêm ngặt trong ]# — e; z + |

Do đó: feq(z — e) < 0 và fo(z +e) > 0; vi fo(x) = 0:

fil(z —€).fo(z — e) <0

Quy ra | iz+£).fq(œ+z>0

Nghĩa là: ƒfgƒ¡(X) đổi dấu từ âm sang dương khi X tăng và vượt

qua một nghiệm thực z của ƒq

e Trường hợp: ƒf¡(X) < 0 và fj(X) < 0; VX €Ì]z — e;z + e[ được xét tương tự

1.3 Mệnh đè

Xét A la một truong thuc déng P € R[X], deg(P) =n < +o

Nếu ? không có nghiệm bội thì luôn luôn tồn tai day Sturm cua

P' € R[X] la đa thức đạo hàm của P,

ƒf¿¿¡: là đối của phần dư trong thuật chia Euclide

fini cho fi; 1 = 1,2, eee

Do deg(P) = n hữu hạn, nên ta xây dựng được một dãy hữu han

Theo cach xay dung day: f;_1(z) = fi(z).9:(z) — fisi(z)

Ta có: ƒ;_¡(z) =0, , fi(z) = 0, fo(z) = 0

Do đó: z là một nghiệm thực của f; = P! va fy = P_

Mau thuan vi P không có nghiệm bội

(ii) Vi fo = P va P! = f, va P khong co nghiệm bội, nên ?, P!

không có nghiệm chung

P,P'! nguyên tố cùng nhau

Do đó ƒ, € R\{0}

(ñi) Giả sử z € R và ƒ,(z) = 0, với một ¿ € {1, , s — l}

Do (i): z không là nghiệm cua f;_; va ƒ;

(fi-1(2) #0 va fisi(z) #0)

Mat khac: f,_1(z) = fi(z).9:(z) — fix (z)

Suy ra: fi_i(z) = —fizi(z) #0

Do do: f,_1(2).fir1(@) < 0

(iv) Néu zc € R va fy(z) = P(r) = 0

Vì P không có nghiệm bội nên ƒ¡(z) = P!{z) # 0

Khi đó tồn tại một lân cận ]z — e;z + z[ đủ bé của z sao cho

ƒì = P! không đổi dấu trong jz —¢; x + é[

Nghĩa là: hoặc ƒạ = P la ham tăng nghiêm ngặt trong |#—e; z+&[, hoặc ƒq = ? là hàm giảm nghiêm ngặt trong khoảng này

(a) Dãy Sturm được xây dựng theo cách của mệnh đề 1.3 còn gọi

la day Sturm cổ điển hay dãy Sturm kết hợp với P P!,

q,r € A[X] sao cho:

f=g9q+r, vdideg(r) < deg(g) _ (c) Định lý: Giả sử k là một trường, ƒ là một đa thức thuộc

- k[X] một biến X, deg(ƒ) =n >0 Khi đó ƒ có nhiều nhất m nghiệm trong k 0à nếu a € È, a la một nghiệm của ƒ thì ƒ(z) chia hết cho X — a

That vay:

Gia st a € k, a la một nghiệm của ƒ -

Ta có: ƒ(X) = q(X).(X - a) +r(X) (theo thuật tính Euclide) trong đó: q,r € k[X]; deg(r) < deg(X — a) =1

Vì: ƒ(a) = 0 nên r(a) = 0

Vậy: r = 0, nghĩa là ƒ(X) chia hết cho X — a

Giả sử a¡, , đ„„ là các nghiệm khác nhau của ƒ trong &

Khi đó ƒ(X) chia hết cho tích

(X — a,)(X — ag) (X — am)

Vay: m <n Nghia la sé nghiém cua f trong k khong quá:

Vi a la nghiệm bội zn của ƒ, mm > 1 Do đó ƒ!{a) =0

Đảo lại Nếu rn = 1 thì ƒ'{a) = g(ø) #0

Vậy: Nếu ƒ!(ø) = 0 thì m > 1

Với mỗi z €Ìø, ð[; 0() là số lần đối dấu của dãy thực:

fo(z), fi(z),-» fe(z)

(với cách tính xác định trong 1.2.a)

Khi X biến thiên và tăng tir a dén 6, v(X) la mot ham với giá trị

nguyên, không âm

e Nếu X tăng và không vượt qua nghiệm của bất kỳ một nghiệm

của đa thức f; nao trong day fo, f;, ,f, thi v(x) la khong đổi Nghia la:

Nếu z €]a, ð[ và ƒ;(z) # 0; 0 < ¡ < s thì 0(z) không đối trong

một lân cận của z

e Nếu X tăng và vượt qua một nghiệm z €]ø, Ö[ của một ƒ;(¿ > 0)

cua day: fo, fi, - fs

Khi do, do (i): fi-i(z) #0 và ;¿¡(z) # 0

Nên: de > 0 du bé dé f,_; va f,,, khong déi dau trong Jr—e, r+e[ Hơn nữa; do (1): ƒ, ¡(2)-ƒ;,1¡(z) < 0

Nên ta khảo sát được sự biến dấu của dãy:

e Néu X tang và vượt qua một nghiệm z €Ì]a, b[ của fy =

Khi đó: f,(2) £0, (do (i)

Nén: de > 0 đủ bé để ƒ không đổi dấu trong ]+z — e,z + £[

Thì mọi nghiệm thực của đều thuộc ] — M; MI

Nghĩa là: 3M € R; M > 0 và dủ lớn để mọi nghiệm của ? đều

thuộc ]— Ä⁄; MỊ

Với ý nghĩa này, ta ký hiệu:

v(—co) := %(—M) 0u(+œ) := v(M)

Là số lần đổi dấu cua day Sturm cua da thức P tại —Ä⁄ (tương ứng tại +co) với Ä đủ lớn

Khi đó: ø(—co) — 0(+oo) bằng số nghiệm thực của ?

Trong trường hợp, nếu xét dãy Sturm cổ điển (Dãy Sturm kết hợp với P và ?!) ta ký hiệu:

Up p(—oœo) thay cho v(—oo)

và vp p(+oo) thay cho v(+co)

Khi đó, số nghiém thyc cua P € R[X] (P khong cé nghiệm bội)

d = vp p:(—0o) — vp p:(+00) (b) Xét Pe RLX]; P=a,X"+ +4a,X +a; a, #0

Khi X dần ra vô cùng dương (hoặc âm) thì dấu cua P(X) la dau cua a, (hoặc (—1)^.a„ tương ứng)

1.7 Mở rộng dấy Sturm cổ điển

! là một trường thực đóng

P,Q € R[X], P,Q co bac hitu han “

P không có nghiệm bội và P,Q là hai đa thức nguyên tố cùng

nhau

fì=P; h =?'Q

fin = fig: — fins; deg(fin1) < deg(f,); t= 1,2,

Ta xây dựng được một dãy hữu hạn các da thức thuộc f[X]:

fos firs fsi fs € R\{0}

(a) Mệnh đề:

Dãy các da thức: ƒp,ƒI, ƒ, xây dựng như trên thỏa mãn các điều kiện:

(1) Hai đa thức liên tiếp không có nghiệm chung

(1ñ) Đa thức ƒ, không có nghiệm thực

(11) Nếu z € # và ƒ,(z) = 0 với một ¿ € {1, ,s — 1} thì:

?_~1(#)-f+\(z) < 0 (iv) Néu z € R va fy(x) = 0 thi khi X tăng và vượt qua z fo- F(X) déi dau

Chứng minh

(i) fy =P, fp =P'Q

Vì P không có nghiệm bội, va P,Q nguyén t6 cung nhau

Do đó: P, P! nguyên tố cùng nhau

Suy ra ƒạ; ƒ¡ không có nghiệm chung

Gia sử z € # sao cho ƒ,(#) = ƒ,,i(Z); 2 > 1

Ta có: f,4(z) = fi(z)-9:(t) — firi(z) = 0

Suy ra: ƒ; ¡(z) = 0

Bằng truy hồi ta được: z là nghiệm thực của ƒ va fp

Mau thuan vi fy, ƒ¡ không có nghiệm chung

09 Đo deg(fis1) <deg(f,) ° 2

- Suy ra: ƒ, € P\{0} (vì 7a, ƒ¡ nguyên tố cùng nhau)

/ạ(z — #).ƒq(œ + £) < 0

Nhu vay: Tích ƒg.ƒ(X) đổi dấu khi X tăng và vượt qua z

(b) Định nghĩa và ký hiệu

e Day cac da thức của F[X]: ƒọ,ƒì, ƒ, dược xây dựng như

trên goi la day Sturm mo rong "kết hợp với P và P!@)

® 0p po(+©) (tương tự 0p po(—©©)): là số lần đổi dấu của dãy

Sturm mở rộng kết hợp với , P!Q tại một giá trị dương khá lớn

(tương tự âm khá lớn) Trong chứng minh mệnh đề sau thì ta

thấy nó không phụ thuộc vào các giá trị dương, âm khá lớn

se c-g(P;@) (tương tự c.g(;€Q), c-a(P;€)): là số nghiệm thực của mà tại đó Q nhận gid tri dương (tương tự: âm hoặc bằng không)

(c) Ménh dé

R la mot truong thuc dong

P,Q € R[X]; P,Q co bac hitu han

P không có nghiệm bội và , @ nguyên tố cùng nhau

Nếu: ƒq, ƒ, , ƒ, là dãy Sturm mở rộng kết hợp với P và P! thì

ta CÓ:

c>o(P; Q) — c<o(P;Q) = vp pig(—00) — vp pig(+oo)

Chứng minh

Xét ƒạ,ƒ, , ƒ, là dãy S5turm mở rộng kết hợp với P va P'Q, khi

do:

ae? fp=P'Q

đa = igi — Fin; deg( isi) < deg(fi); t=1, ,.8-1

Gọi 0p po(Z) là số lần đổi dấu cua day: fo(X), f,(X), -, fs(X)

tại một giá trị thực X = z

e Nếu z € # không là một nghiệm thực nào của ƒ;; 0 < ¿ < s

Thì khi X tăng và vượt qua z, 0p „o(X) là hằng ©

e Nếu z € # là một nghiệm thực của một ƒ,; 0 < ¿ < s Khi đó

z không là nghiệm của ƒ, ị, ƒ;„ị; Và:

?_1()-f+¡(z) < 0 Nên tồn tại £ > 0 đủ bé để trong lân cận |z — £; z+£{, ƒ¿_¡ và

ƒ; ¡ không đổi dấu Hơn nữa, số lần đổi dấu của

day : ƒ¡ ¡(#— €), f(# — €), „1# —

và : , ¡(z+€), /#(z+e£), ¿¡(z + £)

là bằng nhau và bằng 1 đơn vi

Như vậy, khi X tăng và vượt qua z thì 0p pg(X) không thay đổi

se Nếu z€ # và ƒfe(z) = P(z) =0

Khi đó: ƒqƒ#¡(X) đổi dấu khi X tăng và vượt qua z (xem mệnh

đề 1.7.a) Ta khảo sát sự đổi dấu này:

Như vậy vp po(X) giam 1 don vi khi X tang và vượt qua z

Gia su Q(X) < 0; VX Ela —e; 2 +e, ta co:

Khi X tăng và vượt qua một nghiệm z của ƒg =.P

Néu Q(z) > 0 thi vp pg(X) giam 1 don vi

Néu Q(z) < 0 thi vp prg(X) tang 1 don vi

Va vi P,Q nguyén tố cùng nhau nên tại mỗi nghiệm z cua P:

Hoặc Q(z) > 0, hoặc Q(z) < 0

Với ký hiệu ở 1.7.b ta có kết quả:

c>o(P; Q) — c<o(P, Q) = Up poQ(—©) — 0p po(+©)

§2 BO DE DESCARTES

Giả sử ƒ € R[X], R là một trường thực đống, deg(ƒ) = n

Khi đó: số nghiệm dương của ƒ (một nghiệm bột rn xem là rn

nghiệm đơn) bằng số lần đổi dấu của dấu các hệ số của ƒ hoặc

ft hơn một số chắn lần (các hệ số bằng không thì không tính)

Chứng minh

Xét f € R[X], R là một trường thực đóng, đeg(ƒ) = n

ƒ(X) = a,X”? +an ÄnhL + Cai X +49; a; € Rj 1 =0, ,n

Và dãy các đạo hàm liên tiếp của ƒ

f =f, fO, ,f; ƒŒ © RIX]; 1=0, ,n (1)

Khi dé: f()(X) = nla,, l& hang trong R nén không đổi dấu

Với mỗi z € R; z khong 1a nghiệm của ƒÉ); V¿ = 0, , m

Ta có một dãy số trong R

ƒ6\(z), ƒ0\ø), ƒ)(ø)

Gọi 0(z) là số lần đổi dấu của dãy số này

Nếu X thay déi trong A thi v(X) la hàm với giá trị nguyên (X không làm triệt tiêu bất cứ một phần tử nào cua day) Ro rang khi X tăng và không vượt qua một nghiệm nào của bất kỳ một

da thức nào của day (1) thi v(X) là hằng Nên khi xét ta chỉ lưu

ý đến trường hợp hoặc X = z là một nghiệm của ƒ = ƒ(9) hoặc

X =zlà nghiệm của một trong các ƒÉ) của dấy (1); 1 < ¿ < n—]

e Giả sử X = z là một nghiệm của ƒ có thẻ là nghiệm bội ¿, / > 1

Khi đó: ƒ(z) = ƒ(D(z) = = ƒ-Đ(z) =0; ƒ0(z) z 0

=> Có thể chọn được một e > 0 đủ bé để khoảng ]z — £; z + không chứa một nghiệm nào của ƒ cũng như không chứa nghiệm nào khác z của ƒ, ƒŒ, , £ữ-)),

Xét dãy số: ƒ(9)(z — e), ƒŒ)(z — e); , ƒ(Đ(z — e) Ta kiểm rằng bất kỳ hai số hạng liên tiếp thì trái dấu còn trong khi dãy:

ƒØ)(z+e), ƒ0)(z +£); , ƒ{(z + £)

thì các số hạng luôn luôn cùng dấu

Thậy vậy: Trong khoảng |z — e; z[ Ta xét từng cặp hàm liên

tiếp và kiểm rằng trong khoảng này chúng trái dấu nhau

bi mat di / lần biến dấu

e Giả sử z là nghiệm bội /(¡ > 1) của ƒ#) trong dãy (1)

Nghĩa là:

fc) = f(x) = = ƒf#*4~Ð(z) = 0

trong đó l <k <n— 1

Và z không là nghiệm của ƒ(È~1) và ƒ(È+Ù,

Khi đó bằng lý luận như trên ta cũng đưa đến kết quả là:

Khi X tăng và vượt qua z thì dãy

FO), FFD ƒ(k+t—1)

se giảm di / số lần biến dấu

Nhận xét là khi X tăng và vượt qua nghiệm z của ƒ“), có thể xảy ra một biến dấu trong day con f(*-!) va f(4)

Vì ¡ > 1, số lần biến dấu khi X tăng và vượt qua z đối với dãy : ƒ~1), ƒŒ), ƒ&+!—1); Ƒ+) hoặc không thay đổi (bằng l) hoặc

sẽ giảm di một số chắn lần (vì ƒ*~1! và ƒ**! không đổi dấu khi X vượt qua 7)

Lý luận trên đây cho thấy:

Voia< 6b; a,b€ R; f € R[X], deg(f) =n Xét day

FO), FD, 2, f™

Trong đó, a va b khong la nghiém cua bat ky mot da thirc nao

trong dãy Thì số nghiệm thực của ƒ kể cà số bội nằm trong Ja, d[ bằng với 0(ø) — 0(b) hay ít hơn hiệu này một số chắn lần

Lý luận mà ta vừa nêu bị hạn chế bơi giả thiết là a,b khong la nghiệm của mọi da thức trong dãy Đề khác phục điều này, ta lưu y:

Gia sw rang c € R, c khong là nghiém cua f(f(c) #0) Nhung

cco thé la nghiém cua mét sé cdc da thitc co mặt trong day (1):

ƒ= f0), ƒ0), ƒ“) Khi đó:

Và ta khảo sát sự biến dấu của day số (2) như sau:

Ký hiệu %,(c) là số lần đối dấu của day số (2) tinh duoc bang

cách là:

Nu fe) = fOH(0) = = ƒ0*7Đ(g) =0 (3)

Khi đó, ta xem /#)(c), ƒ&+1(c), , ƒÈ†f=1(c) có cùng dấu với ƒ†)(c), nghĩa là không kế đến các số hạng bằng không trong day (2)

Và nếu điều kiện (3) và (4) thỏa mãn, ta ký hiệu ø(c) là số biến dấu của dãy (2) tính được bằng cách: (Chú ý đến số hang f(*+)(c),

và Í là số bội của nghiệm c của ƒ)) Với 0 <¡¿<i—1

ƒ?2(c) cùng dấu với ƒ+2(c) nếu (¡ — ?) chan

ƒ@&+9(e) trái dấu với ƒ®*Đ(e) nếu (I—?) lẻ

Với quy ước này ta quay về việc tính số nghiệm thực của da

thức ƒ € R|[X] trong Ja, b[ (a < 5) trong truong hop la a, b khong

là nghiệm của ƒ nhưng có thể là nghiệm của da thức khác trong dãy (1): ƒ = ƒ(; ƒ0); ; ƒ(*) Ta làm như sau:

Vì nếu a là một nghiệm của ƒŒ), , ƒ&+!=1) thì các

/Đ(a + e), ft g + 2), ƑÊTĐ g + 2)

đều cùng dấu nghĩa là không có một lần biến dấu nào trong dãy kể

Thì số nghiệm thực của ƒ trong ]ø, b[ là 0„(øœ) — ø_(b) hoặc ít hơn

đọ; G1; .; đạ

Do đó: 0.(0) bằng với số biến dấu cua day (ap, a), ., a)

Suy ra: Số nghiệm thực của da thức ƒ trong khoảng ]0, +co{ (số nghiệm dương của ƒ) hoặc bằng với số biến dấu của dãy các hệ

số của đa thức ƒ hoặc ít hơn số biến dấu này một số chan lần Trong đó, nghiệm bội / được xem là / nghiệm đơn; và các hệ số

bằng không trong dãy các hệ số của đa thức ƒ thì không tính

aạ; (—1)lay; (—1)2.2las; ; (—1)".nla„

So với dãy các hé sé cha da thirc f(—X) la ag, a, , ay

Suy ra: Số nghiệm âm của đa thức ƒ bằng với số lần giữ nguyên

dấu trong day (dag, ứ, , a„) hay ít hơn một số chẵn lần, với điều kiện là ƒ không có hang tw nao co hệ số bằng không

§3 BO DE THOM

3.1 Dinh nghia va ky hiéu

(i) Mot diéu kiện dấu là một trong các hiệu: > 0; < 0; = 0 (ii) Mot diéu kién dau tổng quát hay mở rộng là một trong các

ký hiệu

>0; <0; =0; >0;<0

(1) Nếu e = (£(2))¡=o, „—¡ là một bộ œø điều kiện dấu mở rộng

thì ta ký hiệu e là một bộ ø điều kiện dấu có được từ e bằng cách

thay các điều kiện dấu > 0 (hay < 0 tương ứng) bởi điều kiện dấu

P la da thitc hang trong R

Khi dé: A(e) = {z € R|P(x)e(0)}

Do đó, tùy theo điều kiện dấu <(0), ta cd hodc A(e) = 0, hodc A(e) = R

Và nếu A(e) = R thi A(e) = A(e) = R

e Giả sử bồ đề nghiém dung cho dén deg(P) =

e' = (e(2))o,n là bộ m + 1 điều kiện dấu mở rộng

Ta có : A() = {z€ R|P0®(z)e(); +=0, ,n}

Ae!) = A()f{z e R|P®)(z)e(n)} C Ale)

Theo giả thiết quy nạp A(e) = ñ hoặc A(e) chỉ chứa duy nhất một điểm, hoặc 4(e) là một khoảng trong Do đó:

Nếu A(z) = @ thi A(e’) = 0

Néu A(e) chi chita mot diém zp € R

Thi Ale!) = {oo} Nz € RIPIOM)e(n)

A(e') = 0 hodc A(e’) = {x}

Nếu A(e) la mot khoảng trong Ö, nghĩa là:

PŒ là hàm đơn điệu nghiêm ngặt trong R

=> {z€ R|P((z)e(n)} là một khoảng trong #

Khi đó A(£') là giao của hai khoảng trong

Nên: A(£') = 0, hoặc A(e!) là một khoảng trong #, hoặc A(£') chỉ

Ale) Mz € RIP (z)e(n)}

= Ale)

3.3 Chú thích

(a) Trong trường số thực thông thường , tập Á(e) xây dựng như trong bổ đề được phát biểu trên là một tập liên thông, nếu A(e) #9

Trong một trường thực đóng tổng quát, thì tính chất liên thông

không còn đúng nữa

A là tập con nửa đại số của Tin

A gọi là một tập nửa đại số liên thông nếu:

ậ, Fy la hai tập nửa đại số đóng trong A sao cho:

Hịn1; = ñ và A = F¡U F; thì hoặc 1 = A, hoặc Fy = A

§4 SỰ ĐẶC TRƯNG HOÁ MỘT SỐ ĐẠI SỐ THỰC

4.1 Mệnh đề

# là một trường thực đóng

P€R|X]; deg(P) =n < +00

PW; (¡= 1, ,m — 1) là các đa thức đạo hàm của P

Giả sử (2) và e!(2) là các điều kiện dấu của P@(£) và P@(£!);

2=1, ,n—-—1 Voi € và €! là hai nghiệm thực của ?

Theo giả thiết: e(2) = e9; V¿ = 1, ,m — 1

Ta có: A(e!') = A(e) và £,£'c A(e)

Theo bố đề Thom, A(e) chỉ chứa một điểm duy nhất hoặc A(e)

là một khoảng trong R

* Nếu A(z) chỉ chứa một điểm duy nhất thì £ = £!

* Nếu A(e) là một khoảng _ trong R

Giả sử £ <£

Ta có : A(e) = Ate € R|P®(z)z(0)}

Nên: 4(e) C {z € R|PG(z)e(1)}

+ Nếu e(1) là điều kiện dấu = 0

Thi: A(e) c {2 € R|P'(X) = 0}

Do đó: P!{z) =0; Vz € A(e)

Suy ra: P là đa thức hằng trên A(e)

Mâu thuần với £,€!"; (£ < €"); là hai nghiệm thực của P

+ Nếu e(1) là điều kiện dấu khác với = 0

Giả sử e(1) là điều kiện dấu > 0

Ta có: A(e) C {z € R|P!(X) > 0}

Suy ra: P!{z) > 0; Vr € A(e)

Do đó: P tăng nghiêm ngặt trên A(e)

Với £ < £' ta được P(£) < P(£')

Mau thuan vi: P(é) = P(é') =0

Vậy: Nếu A(e) là một khoảng _ trong RA thi ta van có £ = €†

(ii) Truong hop ¿(2) và £!(2) không giống nhau tất cả

Gọi & là số nguyên nhỏ nhất để e(n — k) # e!{n — È)

Nghĩa là: (m — Èk) là cấp cao nhất của đạo hàm của ? sao cho

p@-k)(£) và P=k)(£!) trái dấu nhau

Khi đó, hiển nhiên ta có:

Ap dung mục (¡) cho đa thức P(n-k+1);

Vì e(—k+ 7) =e{n— k+ 7); 7= L, ,k — 1

Nên € = €'

Suy ra: P@~Đ(g) = Ple-W(6")

Mâu thuần vì P(®=*)(£); P@-*)(£') trái dấu

Vậy: c(m — k + 1) = c!l{nm — k + 1) và khác với điều kiện dấu = 0 (iib) Voi e(n —k) # e'(n — k)

Giả sử : e(n—k) — là điều kiện dấu >0

c{m—k) — là điều kiện dấu <0 _

và e(n—=k+1) =el{n— k+ 1) là điều kiện dấu >0

Suy ra: PŒ-k+1(X) >0; VX € A(e)

Do dé: P("-*) 1& hàm tăng nghiêm ngặt trong A(£)

Nên ta có kết quả:

£>ÿ P-H(6) > PA=9)(e)

(ñc) Kết quả được chứng minh hoàn toàn tương tự như (ib) 4.2 Ý nghĩa của mệnh đề

(a) Giá sử P là một đa thức thực, một biến deg(P) = „ < +œo

Ta lập được một dãy các đa thức đạo hàm liên tiếp của P

PU), P@), Ped