vấn đề trọng tâm của Đại số ngày nay là tìm các ứng dụng trên các vấn đề lý thuyết của nó, mà đại số tính toán là một mũi nhọn khi công nghệ thông tin đang trên đà phát triển vũ bão
Trang 1NHAP DE
Một trong các vấn đề trọng tâm của Đại số ngày nay là tìm các ứng dụng trên các vấn đề lý thuyết của nó, mà Đại số tính toán
là một mùi nhọn khi công nghệ thông tin dang trên đà phát triển
vu bão
Một kết quả quan trọng trong Hình học Đại số và có nhiều ứng
dụng hay trong Đại số tính toán là Bồ đề Thom Trong bài báo
về Tính toán ký hiệu (Symbolic Computation) số 5, trang 121-125 (năm 1988) có đề cập đến các vấn đề là:
Cho một da thức một biến thực ?P trên trường thực #, không
có nghiệm bội, và hệ số nguyên Khi đó một nghiệm thực £ của
P có thể phân biệt được với các nghiệm khác của P bởi dãy các điều kiện dấu (> 0;= 0;< 0) của dãy (P)),¡ _„_¡ các đạo hàm
liên tiếp của P tai €
Điều này đưa đến khả năng có thể phân biệt, chẳng hạn sqrt(2) khi xét da thức X2 — 2 (gợi ý trong bài báo Courbes et Calcul formel của Dominique Duval trang 7 và 8)
Trong bai bao cua M Coste va M.F Roy (J Symbolic Compu-
tation (1988) 5, 121-125) da đưa ra cơ sở nhằm xây dựng phương
pháp mã hoá một số đại số thực cũng như ý tưởng về sự vận dụng:
nó trong việc tính toán topo của các dường cong Đại số thực Với luận án này, chúng tôi đặt vấn đề trong tâm là nghiên cứu
Bồ đề Thom và dựa vào dãy Sturm - SyÌvester (1853) để dưa ra
một cách cụ thể các thuật toán nhằm: Với P là một đa thức một biến thực, bậc ø, hệ số nguyên
(a) Tinh số nghiệm thực phân biệt của ?
(b) Số nghiệm thực của mà tại đó da thức Q (là một đa thức
một biến thực nào đó, hệ số nguyên) nhận giá trị dương hoặc giá
tri 4m (Ben - Or, Kozen va Reif (1986))
(c) Hơn nữa tìm cách mã hoá một số đại số thực € dược xem
là nghiệm của một da thức một biến thực P bởi một dãy các
điều kiện dấu của dãy (P0), ¡ „ ¡ các đạo hàm liên tiếp của
P tại £, bởi một số ngôn ngữ lập trình ký hiệu như Maple hay Mathematica.
Trang 2Luận án gồm ba chương:
Chương l: Chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về Đại số
để vận dụng trong luận án và là cơ sở để mở rộng các vấn đề lý thuyết cho Thuật toán sau này
Chương II: Trén co sé Ly thuyét 14 Bé dé Thom Day Sturm
chúng tôi chứng minh mệnh đề về sự đặc trưng hoá số Đại số thực
và trình bày về các thuật toán tổng quát nhằm đạt mục tiêu là
mã hoá một số đại số thực £
Chương IïI: Chúng tôi đưa ra các minh họa cụ thể các thuật toán được xây dựng trong chương II được áp dụng trên trường số thực # thông thường nhằm thể hiện tinh kha thi cua thuật toán được nêu
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 26 - 09 - 1997