viet pt duong thang dang 2

b Viết phương trình đđường thẳng  nằm trong P, song song với d và cách d một khoảng là 14.

Dạng 2: (đã biết điểm đi qua, cần tìm VTCP )

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;1) , B(2;1;2) , C(5;4;2)

a) Lập phương trình đường cao AH của tam giác ABC

b) Lập phương trình đường trung trực đoạn BC của tam giác ABC Giải : a) AB

= (1; 1; 3) ; AC

=(4;4;3) Véc tơ pháp tuyến của mp(ABC) : nABC

=[ AB

, AC

] = (15; 9;8)

ABC

n

=(15; 9;8)

+ Đường cao AH nằm trong mp(ABC) = > u

 nABC

Và đường cao AH vuông góc BC => u

 BC

Suy ra u

= [nABC

, BC

] =(40;24;102) Phương trình đường cao AH qua A nhận u

làm VTCP :x 1 y z 1

b) Đường trung trực đoạn BC đi qua trung điểm I của BC

ta có I(7

2;3

2;2) + Đường trung trực đoạn BC song song với AH

=> nhận u

=(40;24;102) làm VTCP

Phương trình đường trung trực đoạn AB của tam giác ABC qua I nhận u

làm VTCP là :

7 x

2 40



=

3 x 2 24



= z 2

102





Bài 8: a) Viết phương trình đường thẳng  qua B(1;3;4) và song song với hai mặt phẳng (α) : xy+3z 2=0 , (β) : 3x z +1=0

b) Viết phương trình đường thẳng 2 chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : xy+3z 2=0 , (β) : 3x z +1=0

Giải : a) n



=(1;1;3) ; n



=(3;0;1)

Vì  // (α) => u

 n

 Và  // (β) => u

 n



;

Do đó u

=[ n



,n



]= 1 3 ;3 1 1 1;

0 1 1 3 3 0

= (1;10 ;3)

Pt đường thẳng  qua B nhận u

làm VTCP : x 1 y 3 z 4

b) đường thẳng (2) : x y 3z 2 0





  

 có VTCP : u2

=[ n

 ,n



]= 1 3 ;3 1 1 1;

0 1 1 3 3 0

= (1;10 ;3)

+ Chọn M0  (2) bằng cách cho x=0 => y 3z 2 0

z 1 0





  



=> y=1;z=1 Và điểm M0( 0;1;1)

Pt đường thẳng 2 qua M0 nhận u2

làm VTCP : x y 1 z 1

Bài 9:a) Viết phương trình đường thẳng  qua K(1;3;4) và  vuông góc với (d) : x y 1 z 2

 và song song với mp (α) : xy+3z 2=0 b) Viết phương trình đường thẳng 2 qua Q(2;3;4) và 2 vuông góc với (d) :

 và song song với mp Oxy

Giải :a) ud

=(1;5;1) ; n



=(1;1;3)

Vì   (d) => u



 ud

Và  // () => u



 n



;

Do đó u



=[ud

, n

 ]= 1 5 5 1; ; 1 1

1 1 1 3 3 1

= (6;14 ; 4)

Pt đường thẳng  qua K nhận u

 làm VTCP : x 1 y 3 z 4

b) ud

=(2;3;1) ; nOxy

=(0;0;1)

Vì 2  (d) => u 2



 ud

Và 2 // (Oxy) => u 2



 nOxy

; => u 2



=[ud

,nOxy

]=(3;2;0)

Pt đường thẳng 2 qua Q nhận u 2

 làm VTCP :

x 2 3t

y 3 2t

 





 



  



Bài 10:a) Viết phương trình đường thẳng  qua M(4;1;2) và đồng thời

và (d2) : x

1=y 1

2



=z

1

b) Viết phương trình đường thẳng 2 qua B(1;7;9) và đồng thời 2 vuông góc với (d) : x y 4 z 1

  và trục y’Oy

Giải :a) Đường thẳng (d1) có VTCP u1

=(2;1;3) ; (d2) có VTCP u2

=(1;2;1)

Vì   (d1) và   (d2) => u



=[u1

,u2

] =(7;1; 5)

Pt đường thẳng  qua M nhận u

 làm VTCP : x 4 y 1 z 2



b) Đường thẳng (d) có VTCP u

=(2;1;2) ; trục y’Oy có VTCP j

=(0;1;0)

Vì 2  (d) và   trục y’Oy => u 2



=[ u ,j

] =(2;0;2)

Pt đường thẳng 2 qua B nhận u 2

 làm VTCP :

x 1 2t

 









   



Bài 11: Trong không gian với hệ tọa đđộ Oxyz , cho đđường thẳng (d ) :

 





 



   



x 2 4t

y 3 2t

và mặt phẳng (P) : x+y+2z +5=0

a) Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình đđường thẳng () nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14

Giải: a) + (d) qua M0(2;3;3) và có VTCP 

d

u =(4;2;1) + Mặt phẳng (P) có VTPT n(P)

=(1;1;2)

Ta có : 

d

u n(P)

=4 +2+2 =0 và M0  mp(P) => d  mp(P) b) Gọi u

vectơ chỉ phương của ((d1) qua A và vuông góc với (d) thì  





P

u n nên ta chọn u  [u , n ]d P

(3;9;6) =3(1;3;2) Phương trình của đđường thẳng (d1) :

x 2 3t

 







   





() làđđường thẳng qua M và song song với (d )

Lấy M trên (d1) thì M(2+3t;39t;3+6t)

Theo đề : AM 14 9t281t2 36t2  14

 2 1   1

+ t = 1

3

 M(1;6;5)  1 x 1  y 6 z 5

( ) :

+ t = 1

3 M(3;0;1)

 2 x 3 y z 1 ( ) :

Bài 12: Trong không gian với hệ tọa đđộ Oxyz , cho đ A(2;4;3), đường thẳng (d ) :

   



 



  



y 2 t

z 1 t

và mặt phẳng () : xy+z 4=0 Viết phương trình đđường thẳng () đi qua A,  vuông góc với (d) và sin của góc tạo bởi () với mp() bằng 10

5 Giải : (d) qua M0(1;2;1) có VTCP ud

=(3;1;1) Mp() có VTPT n



=(1;1;1) + Gọi VTCP của đường thẳng () là u



=(a;b;c) với a2 +b2 +c2  0

Vì   (d) => u

 ud

=0 <=> 3a+b+c=0 <=> b=3ac (1) Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng  và mp ()

=> sin = u n









 

  =

2 2 2

 

(2)

Thay (1) vào (2) ta có : sin = 4a2c =

Mà : sin = 10

5 <=>

4a 2c



= 10 5

<=> 25(4a+2c)2 =30(10a2 +6ac +2c2)

<=> 5(4a2 +4ac +c2) = 3(5a2 +3ac +c2) <=> 5a2 +11ac +2 c2 =0

Chọn a=1 => 2c2 +11c +5 =0 <=>

c 5; b 2





 Khi u



=(1;2;5) thì đường thẳng () : x 2

1



=y 4

2



=z 3

5





Khi u



=(1;5

2;1

2) thì đường thẳng () : x 2

1



= y 4

5 / 2



1/ 2





Bài 13: Cho (d)

x t











  



và (P) : y z  1 = 0

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)

b) Viết phương trình đường thẳng () qua A, () nằm trong (P) và () tạo với (d) một góc 300

Giải : + Giao của (d) và mp(P) :

x t

y z 1 0













 



   



=> 2(4t) 1=0 <=> t= 3 => x=3; y=2 ; z=1 Tọa độ A(3;2;1)

b) ud

=(1;0;1) ; nP

=(0;1;1) + Gọi VTCP của đường thẳng () là u



=(a;b;c) với a2 +b2 +c2  0

Vì   mp(P) => u

 nP

=0 <=> bc=0 <=> b= c (1) Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng  và (d)

=> cos = d

d

u u





 

  =

2 2 2

a c



=

2 2

a c





Mà :  =300 <=>

2 2

a c





= 3

2 <=> 2(a2 2ac+c2) =3(a2 +2c2)

<=> a2 +4ac+4c2 =0 <=> a=2c Chon c=1 ; a=2 và b=1



=(2;1;1) đường thẳng () : x 3

2



=y 2

1



1





Bài 15: Cho (d) :x y 1 z 1

  và () : 2x y +z3=0 Viết phương trình đường thẳng  đi quaA(3;1;1) ,  vuông góc với (d) và sao cho góc tạo bởi  và mp() là lớn nhất

Giải : đường thẳng (d) có VTCP : ud

=(2;3;1) ; mp() có n



=(2;1;1) Gọi u



= (a;b;c ) với a2 +b2 +c2 ≠ 0

Vì   (d) => u



ud

<=> u

 ud

=0 <=>2a+3b+c=0 <=> c=2a3b Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng  và () :

Ta có: sin =

2a b c

 

=

2a b 2a 3b

=

4 b

6 5a 12ab 10b

=

2

Xét biểu thức T =

2

b 5a 12ac 10b + Nếu a= 0 ; b0 thì T = 1

10

+ Nếu a≠ 0, đặt b= ka thay vào ta có : T=

2 2

k a 5a 12a.ka 10.k a

2 2

k 10k 12k 5 ( coi k là ẩn )

<=> T(10k2 +12k+5) =k2<=> (10T1).k2 + 12T.k +5T=0 (*)

Khi: 10T1=0  T= 1

10 pt có nghiệm k=  5

12

Khi 10T1≠ 0 Điều kiện pt (*) có nghiệm là ’ 0

36T2 (5T)(10T1)  0 <=> 14T2 +5T  0 <=> 0  T  5

14

Với  (0;

2



) , góc  lớn nhất <=> sin lớn nhất <=> T lớn nhất

Chọn a=6 , b=5 và c=3 , VTCP u



=(6;5;3) Đường thẳng  cần tìm đi qua A, có VTCP u





Bài 16: Viết phương trình đường thẳng () qua A(1;3;2) và cắt trục x’Ox tại điểm M sao cho AM= 22

Giải :+ Theo đề bài M  Ox => M(a;0;0) và AM= 2 2 2

(a 1)  ( 3) 2

Vì AM= 22 <=> (a1)2 +13=22 <=> (a1)2 =9 <=> a=4  a=2

TH1: a=4 => M(4;0;0) , VTCP AM

=(3;3;2) Đường thẳng  qua M nhận AM

làm VTCP là: x 4 y z





TH2: a=2 => M(2;0;0) , VTCP AM

=(3;3;2) Đường thẳng  qua M nhận AM

làm VTCP là: x 2 y z



Bài 17: Viết phương trình đường thẳng () qua B(2;1;3) và cắt đường thẳng (d): x 1

1



=y 2

1



=z

3tại điểm M sao cho BM=2 11 Giải : Giả sử  cắt (d) tại M(1+t;2+t;3t) ;

(1 t 2)    ( 2 t 1) (3t 3) =2 11 <=> 11 2

(t 1) =2 11

<=> (t1)2 =4 <=> t=3  t=1

TH1: t=3 => M(4;1;9) , VTCP BM

=(2;2;6) Đường thẳng  qua M nhận BM

làm VTCP là: x 4 y 1 z 9

TH2: t=1=> M(0;3;3), VTCP BM

=(2;2;6) Đường thẳng  qua M nhận BM

làm VTCP là: x y 3 z 3

Chú ý : Hai trường hợp trên có KQ hai đường thẳng trùng nhau