Hàm hữu tỉ và các vấn đề liên quan

Khơng cĩ bất kì tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai đường tiệm cận 4.. Xác định giao điểm A=T d ; =T d nếu có thì: B  AB luơn nhận M làm trung điểm  Diện tích tam gi

BÀI 7 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC

HỮU TỈ VẤN ĐỀ 1: HÀM NHẤT BIẾN

DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hửu tỉ



Tập xác định: D\d c/ 

Đạo hàm:

' ad bc

y

cx d







 Nếu ad bc 0 hàm số đồng biến trên D

 Nếu ad bc 0 hàm số nghịch biến trên D

Giới hạn, tiệm cận:

lim là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

lim là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x

d

x

c

d

c





    

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

0

ad – bc > 0

x

y

0

ad – bc < 0

x

y









a

c

x

'

y y



a

c

a c



x

'

y

y

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

DẠNG 2: Một số bài tốn liên quan hàm số nhất biến (htb1/1)

Một số chú ý

1 Hàm số cĩ tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

2 Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

3 Khơng cĩ bất kì tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai đường

tiệm cận

4 Gọi M là điểm tùy ý trên ( ) :C y ax b ad bc 0

cx d



 và (T) là tiếp tuyến tại

M với (C)

Hạ ( ) : và MK (d ) : theo thứ tự đó

Xác định giao điểm A=(T) (d ); =(T) (d ) (nếu có) thì:

B

 AB luơn nhận M làm trung điểm

 Diện tích tam giác AIB khơng đổi

 Tích số MH.MK khơng đổi

 Diện tích tứ giác IHMK khơng đổi

 M,N nằm về ở hai nhánh phân biệt của đồ thị hàm số thì các hồnh độ của

xM, xN nằm về hai phía tiệm cận đứng

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Cho hàm số 1

1

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) M x y là một điểm bất kỳ thuộc ( ) 0; 0 C Tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

Hướng dẫn:

0

1

1

x

x





0 2

0 0

1 2

1

x

x x





Giao điểm của 2 tiệm cận: I(1;1)

Gọi A = ()  TCĐ => A= 0

0

3 1;

1

x x



; B = ()  TCN => B =2x 0 1;1

Ta có : IA =

0

4 1

x  ; IB = 2 x  0 1

SIAB = 1

2.IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M

Bài 2 Cho hàm số 2 1

2

x y x





 có đồ thị là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Chứng minh đường thẳng d y:   x m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt ,

A B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Hướng dẫn:

2 Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình

2

2

x x

x m

  



    

Do (1) có  m2  1 0 va( 2) 2(4m).( 2) 1 2   m  3 0  nên đường thẳng d m

luôn luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt , A B

Ta có y A  x Am; y B  x B m nên AB2 2m2 2 suy ra AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất m Khi đó 0 AB  24

Bài 3 Cho hàm số 2 2

1

x y x





 (C)

1 Khảo sát hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d y: 2x m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A B sao cho ,

5

AB 

Hướng dẫn:

2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2mx m 20, x   (1) 1

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1  m2 - 8m - 16 > 0 (2

Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1)

Theo ĐL Viét ta có

1 2

1 2

2 2 2

m

x x m

x x



  









AB2 = 5  (x1x2)24(x1x2)2   5 (x1x2)24x1 2x   m1 2 - 8m - 20 = 0

 m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2))

KL: m = 10, m = - 2

Bài 4 Cho hàm số: 2

1

x y x





 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

2 Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành

Hướng dẫn:

Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a) PT đt d có dạng y= kx+a (d)

d là tiếp tuyến với ( C ) khi và chỉ khi hệ PT

 2

2 1 3 1

x

kx a x

k x

 

 









có nghiệm

<=> Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1

Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt

a

a a

 



Theo định lý Viet:

1 2

1 2

1 2 1

a

x x

a a

x x

a











  Để hai tiếp tuyến nằm về hai trục của Ox thì

1 2

2

3

y y  a  Kết hợp với điều kiện (*) ta được 2

1

Bài 5 Cho hàm số y 2x 3

x 2





 cĩ đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Hướng dẫn:

 

0 2

0 0

0

Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình là: 2

2 2

2 Giao điểm (d) với tiệm cận đứng A 2;2

2 Giao điểm (d) với tiệm c

x x

x









0

0

2

2 ận ngang 2 2;2

2

B x

x



LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2.Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thoả mãn:OA=3OB

Hướng dẫn:

2 Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(x0;y0) cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao cho

OA=3OB

Do tam giác OAB vuông tại O nên tanA=OB/OA=1/3 Vì vậy hệ số góc của đưòng thẳng d bằng 1/3 hoặc -1/3

Hệ số góc của d tại M(x0;y0) là:

 

0

0

3

2 (2) 1

4 ( 4) 3

 

    



Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả :

Bài 2 Cho hàm số 2 3

2

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn:

0

2

x

x





,

0

1 '( )

2

y x

x







Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:

0 0

2

0 0

1

2 2

x

x x









Toạ độ giao điểm A, B của   và hai tiệm cận là: 0  

0 0

2

x

x





M

x

x x



0

M

x

y y

y x





 suy ra M là trung điểm của AB

Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S =

2

x



1 1

x x

Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)

Bài 3 Cho hàm số

1

1 2







x

x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm I(1;2)tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Hướng dẫn:

1

3 2

;

0

x x













 thì tiếp tuyến tại M có phương trình

) ( ) 1 (

3 1

3

0 0

x x x

x









0

x

Khoảng cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến là

0 2 0

4 0

0 4

0

0 0

) 1 ( ) 1 ( 9

6 )

1 ( 9

1 6 1

9

) 1 ( 3 )

1

(

3































x x

x

x x

x x

6 9 2 ) 1 (

)

1

(

0

2

0









x , vây d  6 Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi

) 1 (

)

1

(

9

0 2

0 2 0

2

0



















Vậy có hai điểm M : M 1  3 ; 2  3 hoặc M 1  3 ; 2  3

Bài 4 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9

Ta có I(- 1; 2) Gọi 0 2

IM

M I

y y

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:

0

3 '( )

1

M

x



M IM

ycbtk k  

Giải được x0 = 0; x0 = -2 Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)

Bài 5 Cho hàm số

1 2

2







x

x y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)

Hướng dẫn:

Pt đường trung trực đọan AB : y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của pt :

x

x

x





 1 2

2































2

5 1 2

5 1

0 1 2

x x

x x



















2

5 1 , 2

5 1

; 2

5 1 , 2

5 1

Bài 7

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1

1

x y x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến

bằng 2

Hướng dẫn:

*Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( 0; ( 0))  ( )C có phương trình

y f x x x'( 0)(  0) f x( 0)

( 1) 2 2 1 0

x x  y x  x   (*)

*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2

4 0

2 2

2

x

x



giải được nghiệm x 0 0 và x 0 2

*Các tiếp tuyến cần tìm : x y  1 0 và x y  5 0

Bài 8 Cho hàm số 2 4

1

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và

N(-1; -1)

Hướng dẫn:

Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có ; 2 6 ; ; 2 6 ; , 1

Trung điểm I của AB: I ; 2 2



Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0

Có : AB MN. 0









 

=> 0 (0; 4)

2 (2; 0)





Bài 9 Cho hàm số :

1 x 2

1 x y







1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox

Hướng dẫn:

Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là 











 , 0 2

1 A

Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng 















2

1 x k y

Bài 10 Giả sử  là tiếp tuyến tại điểm M 0;1 của đồ thị hàm số 2 1

1

x y

x





 (C) Hãy tìm trên (C) những điểm cĩ hồnh độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đĩ đến  là ngắn nhất

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ một điểm trên (C) tới đường thẳng  là ngắn nhất khi và chỉ khi điểm đĩ là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến là song song với đường thẳng  Ta cĩ:

 2  

3

1

x



Phương trình tiếp tuyến của (C) là :y3x 1

Gọi N x y 0; 0( ),C x0  cĩ khoảng cách tới  ngắn nhất, thế thì 1 x là nghiệm của 0

0

'( ) 3

0 (loại)

y x

x

  





Bài 11 Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số  2

2

x m

x



 cĩ ít nhất một điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hồnh độ và tung độ của điểm đĩ trái dấu nhau

Hướng dẫn: Những điểm cách đều hai trục tọa độ cĩ hồnh độ và tung độ trái dấu nhau sẽ

nằm trên đường thẳng y  Giả sử x M x y là điểm thõa mãn đề bài thì ta cĩ phương  ; 

x m

x

   Phương trình (*) cĩ ít nhất một nghiệm khác 2

khi và chỉ khi

1

4

2

m

x





Bài 12 Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số y 2x2 C

x





Hướng dẫn: Giả sử    C1 ; C là hai nhánh của đồ thị hàm số và 2

   

2

2

2

2 2

x

a

a a









Ta thấy MN là khoảng cách của hai nhánh    C1 ; C khi và chỉ khi tiếp tuyến tại M,N với 2

   C1 ; C song song với nhau và chúng vuơng gĩc với đường thẳng chứa MN Điều đĩ 2

tương đương

2

(1)

b a a















4

Từ (1) b=-4-a thay vào (2) ta được -2 2 32 0 0 (do 2)



BTTT: Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số y 2x 21 C

x







Bài 13 Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng 1

6

y x với đồ thị hàm số 1

1

x y x





 Tìm

điểm M thuộc đường phân giác gĩc phần tư thứ nhất sao cho MAMB nhỏ nhất

Hướng dẫn: Tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình

1

1 1

x y x









 



Dễ thấy A và B nằm cùng phía đối với đường phân giác :x y 0 Gọi A a b là điểm ' ;  đối xứng của A qua :x y 0

 2 1 1 1 0

1

' ;2 3

2

0

7 7

M là giao điểm của A'B và M ;

5 5

a

A

a





VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ HÀM BẬC HAI TRÊN BẬC HAI

Phương pháp:

Với hàm số

2

0 ax

,

bx c

dx e

 

 , tử và mẫu không có nghiệm chung ta lần lượt có:

Viết hàm số dưới dạng y x

dx e



    



d

  

  

 

 b) Sự biến thiên của hàm số

 Giới hạn:

lim

   ; lim

e x d

y





x d

  là tiệm cận đứng

lim



     

  nên y   x là đường tiệm cận xiên

2

2

' dx e d

y

dx e

   





Dấu của đạo hàm là dấu của g x( )  dx e 2 d Vậy phương trình y ' 0 hoặc vô, hoặc có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt Do đó hàm số không có cực trị hoặc

có hai cực trị

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số

d) Đồ thị:

 Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có)

 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau

  

Ví dụ 2: Cho hàm số

1

y x

 





b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của

nó

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A 3 3;

Ví dụ 3: Cho hàm số

2 2 2 1

y

x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : x y 20 bằng nhau