dãy số và các vấn đề liên quan

Bài viết “ Dãy số và các vấn đề liên quan” trình bày một phần nhỏ trong lĩnh vực dãy số.. - Công thức tổng quát dãy số.. Mong quý thầy cô góp ý thêm đê bài viết được hoàn thiện hơn, trở

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH

§Ò tµi khoa häc líp 11 TOÁN

DÃY SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thanh Hậu

Học sinh thực hiện: Võ Khắc Hùng - Hoàng Công Thắng

§ång Híi, ngµy 20 th¸ng 4 n¨m 2013

Và để đem đến một nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn Bài viết “ Dãy số và

các vấn đề liên quan” trình bày một phần nhỏ trong lĩnh vực dãy số

Bài viết được chia làm 4 phần

- Các kiến thức cơ bản về dãy số

- Công thức tổng quát dãy số

- Dãy số và bất đằng thức

- Dãy số với số học

Trong quá trình viết không thể tránh khỏi sai sót Mong quý thầy cô góp ý thêm đê bài viết được hoàn thiện hơn, trở thành một tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc

B NỘI DUNG

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các khái niệm cơ bản về dãy số:

1 Định nghĩa

Dãy số là một hàm số từ S vào R, trong đó:

S = { 1, 2, 3, …, n } đối với dãy số hữu hạn, hoặc

S = N đối với dãy số vô hạn bắt đầu từ chỉ số 0

- Dãy được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử

- Dãy được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn

2 Dãy u , u , u được gọi là: 1 2 3

- Dãy đơn điệu tăng nếu un 1+ >un, vói mọi n = 1, 2, …

- Dãy đơn điệu không giảm nếu un 1+ ³un, với mọi n = 1, 2, …

- Dãy đơn điệu giảm nếu un 1+ <un, với mọi n = 1, 2, …

- Dãy đơn điệu không tăng nếu un 1+ £un, với mọi n = 1, 2,…

3 Dãy u , u , u , được gọi là : 1 2 3

- Dãy bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un £M với mọi n = 1,2,3…

- Dãy bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ³ với mọi n = 1,2,3, m

- Dãy bị chặn là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

4 Dãy u , u , u , được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương 1 2 3 N 0sao cho un = với mọi C n³N0

5 Dãy u , u , u , được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương 1 2 3

N, số nguyên dương k sao cho với mọi p = 1, 2, 3, …, ta có:

=ï

ïíïïïî

Số k được gọi là chu kì của dãy tuần hoàn

2 Cách xác định một dãy số

a) Dãy số cho bởi cách liệt kê các phần tử

Ví dụ: Xét dãy các số nguyên tố nhỏ hơn 20: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19

b) Dãy được cho bởi công thức tổng quát

Ví dụ: dãy số { }un xác định bởi un=2n 1- với mọi n = 1, 2, 3, … chính là dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, …

c) Dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi

Ví dụ: cho dãy { }un được xác định như sau:

ïî

d) Dãy số xác định theo cách miêu tả

Ví dụ: Cho các số tự nhiên k và n Lập hai dãy số { } { }u , v ( j 1, 2,3, , n)j j = như sau: chia k cho n được thương là u và được thương là 1 v Bược thứ j (j = 1, 2, 3, 1

…, n) xác định u và j v như sau: chia k + j vj 1- cho n được thương là u và phần j

I CÔNG THỨC TỔNG QUÁT:

1.Sử dụng cấp sô và sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số

Dạng 1: Dãy un 1+ =a.un + có số hạng tổng quát là: b

Vậy theo giả thiết quy nạp (*) đúng " În N*

Ví dụ 1: Xác định CTTQ của dãy {un} được xác đinh:

Trong đó f(n) là một đa thức bậc k theo n, a là hằng số

- Phân tích f(n)=g(n)-a.g(n-1) với g(n) là một đa thức bậc k theo n Khi đó:

ì

+ -

=

=

- 3 6 2

5

1

1

n u

u

u

n n

í

=ïî

Bài giải

- Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình đặc trưng: x2 – ax+b = 0

- Nếu x1¹ x2 thì un =k.x1n +l.x2n, trong đó k,l là nghiệm củahệ:

l u

k l u

= aì

í + =î

0 1

-Dạng 5: Xác đinh CTTQ của dãy số{un}:

- Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiện kép:

x =x ¹x Þu = a + b( n)x + g.x

Thay u1, u2, u3 vào ta được ; ;a b g

- Nếu (1) có nghiệm bội 3: x1=x2 =x3Þun = a + b + g( n n )x2 1n

Thay u1, u2, u3 vào ta được ; ;a b g

-=ì

-

Nếu p £ Þ $aÎ1 [ ]0,1 : cosa = p

Bằng quy nạp ta chứng minh được: un =cos3n 1- a

Ví dụ 11: Cho dãy số {un} Xác định CTTQ của dãy số

1

2

1u2

ì =ïí

n 1 n

n 1 n

-ì =ï

2

1

33

" ³í

n 1 n

n 1

uu

-

-=ì

- Ta xác đinh dãy { }yn bởi công thức:

n i

- Tìm công thức tổng quát của { }yn

Bài 9: Tìm công thức tổng quát của { }un biết:

+ +

+

ìï

=ìï

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên

Bài 11: Cho dãy số { }un được xác định bởi:

4 n

4u5

îTìm công thức tổng quát của dãy số trên

Bài 12: Cho dãy số { }un được xác định như sau:

1

2 n

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên

Bài 13: Cho dãy số { }un được xác định như sau:

1

n 1 n 1 n 1 n

2n

ì =ïï

ïîChứng minh rằng với mọi n = 1, 2, … ta có bất đẳng thức sau:

ï

ïîchứng minh rằng: 37n- > 6 un >33n+ 2

Từ (*) và (**) ta có :

n3n+ <2 u < 7n- (đ.p.c.m) 6

Bài 3: Dãy số { }un , n=1, 2, … xác định như sau:

n

n 7n 10u

(n 1)3

+

=

+ với mọi n = 1, 2, … Chứng minh rằng :

n i

2n 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2

£ì

Từ giả thiết 1) suy ra: u1-un 1+ £ 2

Suy ra: n( un-un 1+ )³ suy ra đ.p.c.m 0.

Bài 4: Dãy { }uk , k = 1, 2, 3, … Được xác định như sau:

îChứng minh rằng: u1 u2 un 1

3) Chứng minh rằng vơi mọi n = 1, 2,… ta có : 1 1 un 1

n

u < " =

Bài 4 :Dãy số { }un được xác định như sau:

2

1u2

ïîChứng minh rằng : 1 1 un 1

Bài 6: Cho hai dãy số { }xn và { }yn được xác định như sau:

1 1

ì =ïí

n 1

yy

-

ïí

=

î

n" ³ 2

Chứng minh rằng: 2< x yn n < với mọi n 23 ³

Bài 7: Cho dãy số { }un được xác định bởi:

5u

Bài 10: Cho ba dãy số { } { } { }un , vn , wn thõa mãn các tính chất sau:

IV DÃY SỐ VỚI SỐ HỌC

Ý TƯỞNG : Các bài toán dãy số chứng minh các tính chất số học:

+ thường chúng ta tìm công thức tổng quát bằng phương trình đặc trưng, hay phép biến đổi tuyến tính của dãy,

+ Sau đó tùy theo từng bài ta có thể sử dụng các tính chất số học như: các

tính chất chia hêt, lí thuyết đồng dư, định lí Ferma, định lí Euler, …

Vì un 1- + <1 1998un 1- <un nên (un 1 - - chia hết cho 1) u n

Mà un là số nguyên tố nên (un 1- - ³1) un >1998un 1- (vô lí)

Suy ra: n = 2 thõa mãn yêu cầu bài toán

a) Xác định công thức tổng quát của dãy số trên

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n không vượt quá 2013 sao cho

Do đó có không một dãy thõa mãn đề bài:

Theo tính chất dãy fibônaci ta có: un 2+ =un 1+ +u , nn " ³ 1

Chứng minh: un º (mod 2011) và 3 vn º (mod 2011) 1

Bài 4: Cho dãy số nguyên { }an với n nguyên dương được xác định như sau:

a =1,a =45,a + =45a + -7a với mọi n = 1, 2, 3, …

a) Tính số các ước dương của a2n 1+ -a an n 2+ theo n

b) Chứng minh rằng 1997a2n +7n 1+.4 là số chính phương với mỗi n

= - + " =ïî

Chứng minh dãy số đã cho là một dãy vô hạn các số nguyên tố cùng nhau

từng cặp

Bài 2: Cho dãy số { }xn được xác định như sau:

2

x =a, x =b, x + =5x +3x - với mọi n ³ 2Chứng minh rằng với mỗi cách cho các số nguyên a,b tùy ý thì dãy trên hoặc không có số hạn nào chia hết cho 1997, hoặc có vô hạn số hạng chia hết cho 1997

Bài 3: Cho dãy số nguyên dương { }an , n = 1, 2, 3, … được xác định bởi:

an h+ -an chia hết cho 1998 với mọi n

Bài 4: Cho các số x , x , , x1 2 nÎ{0;1},(n³ , biết rằng: 3)

a) tìm công thức tổng quát của an

b) Tìm tất cả các số nguyên a,b để anlà số chình phương với mọi n 1998.³

Bài 6: Cho k là số nguyên dương lớn hơn 1 Xét dãy số{ }an được xác định như sau:

2 2

îChứng minh rằng 2+ an là số chính phương với mọi n³ 0

Bài 7: cho dãy số { }an được xác định như sau:

ïîChứng minh rằng n" ³ thì 4 an + không phải là sô nguyên tố 1

Bài 8: Cho dãy { }an được xác định bởi:

Bài 9: Cho dãy số nguyên { }an : a1=2; a2 = và 7

2 n

Bài 10: Cho dãy số { }an thõa mãn:

ïî

Chứng minh rằng:

a) Mọi số hạng của dãy đều là sô nguyên

b) Có vô số số nguyên dương n sao cho a có 4 chữ số tận cùng là 2003 nc) Không tồn tại số nguyên dương n sao cho a có 4 chữ số tận cùng là 2004 n

Bài 12: Cho dãy số { }an được xác định bởi:

MỤC LỤC

A GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

2 Sử dụng công thức lượng giác

III DÃY SỐ VỚI BẤT ĐẲNG THỨC

IV DÃY SỐ VỚI SỐ HỌC

Tài liệu tham khảo:

1 Các bài toán về dãy số

2 Các đề thi hsg quốc gia

3 Dãy số của Trần Duy Sơn

4 Một số tài liệu khác