5 đề tuyển sinh vào 10 chuyên Toán

Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất... Gọi B’ là

5 ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN:

HẢI DƯƠNG, THỪA THIÊN HUẾ, HƯNG YÊN, VĨNH PHÚC, THANH HOÁ

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết

Chứng minh rằng: là hợp số

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu IV (2.0 điểm):

Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu

vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy

D, E sao cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K sao cho

Chứng minh rằng:

1) MD = ME

2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng

tiếp góc DAK của tam giác DAK

Câu V (1.0 điểm):

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các

điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009

(Đề thi gồm: 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

Năm học 2009-2010 Môn thi : Toán Hướng dẫn chấm

Câu I

2,5

điểm

1)1,5điểm

Từ (2) x 0 Từ đó , thay vào (1) ta có: 0.25

0.250.25

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1); ;

0.252)

Đặt

0.25

0.250.250.250.250.25

(1)Giả sử có (1)

0.25 Nếu b 0 thì là số hữu tỉ Trái với

giả thiết! Từ đó ta tìm được c = 0 0.25Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = 0 0.25Câu III

2 điểm

1)1,0điểm

Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên

Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) 0.25

Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)

.Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A

Câu IV

2 điểm

1)0,75điểm

Ta dễ dàng chứng minh tứ giácMBAN nội tiếp

M

D

A N

0.25

kết hợp với AM là phân giác DAB M là tâm của đường tròn

Câu V

1 điểm

D'

B' A'

O

C A

B

DKhông mất tổng quát giả sử:AB AC Gọi B’ là điểm chính giữa cung

Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA

Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa

Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.

Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009

Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ

b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm Chứng minh: c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm Chứng minh:

Bài 4: (1,5 điểm)

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiệnsau đồng thời được thỏa mãn:

(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước

(ii)Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục vàchữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.Bài 5: (1 điểm)

Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên Chứngminh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗiphần là số nguyên

Hết

SBD thí sinh: Chữ ký GT1:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009

Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2 0,25Trường hợp u = 2 , v = 3 có : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x = 3 ; y = 9) 0,25Trường hợp u = 3 , v = 2 có : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x = 4 ; y = 4) 0,25

Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương

phân biệt Tương đương với:

(3)

0,25

Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm dương và

phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt:

0,25

Theo định lí Vi-ét, ta có: và (5)

Từ (4) và (5) ta có: và

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần

Từ (1) và (2): ,

Do đó

0,25

0,250,25

+ Do đó:

+ Nhưng

+ Từ đó:

0,250,25

0,250,25

trong trường hợp Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349

0,250,25

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền

Ta có ; a, b, c , diện tích tam giác ABC là

Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12

0.25

+ Chứng minh

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì chia 3 dư 2

+ Chứng minh

- Nếu a, b chẵn thì

- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ

Lúc đó c lẻ Vì nếu c chẵn thì , trong lúc không thể chia hết

Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm

chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác

Ghi chú:

 Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.

 Điểm toàn bài không làm tròn.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2009 – 2010 Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và

là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p lànửa chu vi thì

b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD khôngđổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I,

J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các

góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giácEFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ

Hết

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2009 – 2010

Môn thi: Toán Hướng dẫn chấm thi

- Với (thoả mãn điều kiện)

- Với (thoả mãn điều kiện)

0,25 đ

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

Phương trình đã cho trở thành:

(1)

0,25 đ

Từ (*) ta thấy, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì

phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt 0,25 đ

Suy ra (đpcm)

Bài 4: (3,0 điểm)

J I

C N

c) Kẻ đường kính MN của (O)  NB  MB

Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp

Chứng minh tương tự I thuộc AN

h (với a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dương)

Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8

cạnh có số đo là:

0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông

ĐỀ CHÍNH THỨC

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh SBD

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho lớp chuyên Toán.

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và

+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm

+ Nếu thì phương trình có nghiệm x = 2

Nếu Khi đó

Nếu Khi đó: x = 0 (vì x nguyên) và Vậy x = 0 là một giá trị cần

Xét hai tam giác

Trong tam giác IER có IK = KE và MI =

MR nên KM là đường trung bình KM //

Chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC 0,25

Từ trên có: IK=KE, là trung trực ứng với cạnh IE của

Hạ suy ra QH là trung trực thứ ba của hay Q nằm trên trung trực

Câu 5 (1,0 điểm):

A'

B' C'

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các

đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác (hình vẽ) Khi đó

Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác

0.25

Giả sử trái lại, có một điểm nằm ngoài tam giác chẳng hạn như trên hình

vẽ Khi đó , suy ra , mâu thuẫn với giả thiết tam giác

ABC có diện tích lớn nhất

0.25Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác có diện tích không

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi:19 tháng 6 năm 2009

1 Tìm các số nguyên a để phương trình: x 2 - (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm

nguyên Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.

2 Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính

AD Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm

A.

1 Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.

2 Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và

AC Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.

3 Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.

Câu 5 ( 1,0 điểm)

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn Chứng minh rằng

với mọi số thực x, y, z ta luôn có:

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

với t =1 ta có x 2 = 1  x =  1 thay vào (*) tính được y =  1

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: ;

0,25 0,25

0,25 0,25

2 ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

0,25 0,25 0,25 0,25

3 1 PT đã cho có biệt số  = 4a 2 + 16a -151

PT có nghiệm nguyên thì  = n 2 với n  N

Hay 4a 2 + 16a - 151 = n 2  (4a 2 + 16a + 16) - n 2 = 167

 (2a + 4) 2 - n 2 = 167  (2a + 4 + n)(2a + 4 - n) = 167

Vì 167 là số nguyên tố và 2a + 4 + n > 2a + 4 - n nên phải có:

2a + 4 + n = -1  

2a + 4 - n = -167

với a = 40 đựơc PT: x 2 - 83x = 0 có 2 nghiệm nguyên x = 0, x = 83

với a = - 44 thì PT có 2 nghiệm nguyên là x= -1, x = - 84

Do đó ít nhất một trong hai số không âm

Mặt khác, theo giả thiết ta có Từ đó suy ra ít nhất một

trong hai số không âm, suy ra ít nhất một trong hai phương

trình đã cho có nghiệm ( đpcm)

0,25 0,25

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BH AC (1)

Mặt khác AD là đường kính của đường tròn tâm O nên DC AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH // DC.

Hoàn toàn tương tự, suy ra BD // HC.

Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành ( Vì có 2 cặp cạnh đối song

song).

Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy ra AP=AE

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

Vì P, Q lần lượt là điểm đối xứng của E qua AB và AC nên ta có

AP = AE = AQ suy ra tam giác APQ là tam giác cân đỉnh A

Mặt khác, cũng do tính đối xứng ta có ( không đổi)

Do đó cạnh đáy PQ của tam giác cân APQ lớn nhất khi và chỉ khi AP,

AQ lớn nhất AE lớn nhất

Điều này xảy ra khi và chỉ khi AE là đường kính của đường tròn tâm O

ngoại tiếp tam giác ABC E D

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

A B

C H a

c

b

(*)

Giả sử thì Với cạnh c lớn nhất

nhọn (gt) do vậy kẻ đường cao BH ta có

từ đó suy ra biểu thức (*) là không

âm suy ra điều phải chứng minh

0,25 0,25

0,5