c Mọi số thực λ≠0 đều không phải là giá trị riêng của A.. CÂU 5: 6 điểm Thí sinh chọn một trong hai bài sau đây để làm.. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương: a rA + rB≤n.
Trang 1Olympic toán sinh viên đại học GTVT năm 2011
Đề thi môn: Đại số
Thời gian: 180 phút CÂU 1: (6 điểm) Cho A=(aij)nxn là ma trận vuông cấp n (n≥3)với
Aij =
2011
/ 1
0
x
x
nếu
0 1 1 2
=
−
−
=
−
=
−
≥
−
i j
i j
i j
i j
Chứng minh rằng detA không phụ thuộc vào x
CÂU 2: (6 điểm) Cho A và B là các ma trận thự vuông cùng cấp thỏa mãn
A2010 = 0; AB = 2010A + 2009B Chứng minh rằng:
a) AB = BA
b) B2010 = 0
c) Mọi số thực λ≠0 đều không phải là giá trị riêng của A
CÂU 3: (6 điểm) Cho A là ma trận phức vông cấp 2 Với mỗi số nguyên dương n ta đặt xn = det(An + I), ( I là ma trận đơn vị ) Chứng minh rằng nếu x1 = x2 = 1 thì xn∈ { }1,4 với mọi n
CÂU 4: ( 6 điểm) Cho ma trận A =
−
−
−
−
4 6 6
8 10 8
4 4 2
a) Tìm ma trận không suy biến T sao cho T-1AT là ma trận đường chéo
b) Đặt B =
2
1
A Hãy tính (B + I)2011 (I là ma trận đơn vị) c) Tính det(A2011 – A1005 + I)
CÂU 5: (6 điểm) Thí sinh chọn một trong hai bài sau đây để làm
1 Có tồn tại hay không các đa thức P(x), Q(x), R(y) và S(y) sao cho ta có:
1 + xy + x2y2 = P(x).R(x) + Q(x).S(x)?
2 Cho A và B là hai ma trận thực vông cấp n Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương:
a) r(A) + r(B)≤n
b) Tồn tại ma trận không suy biến T sao cho ATB = 0