Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên C, tiếp tuyến của C tại M cắt các tiệm cận tại A, B.. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG 2011 KHOA TOÁN-TIN MÔN:TOÁN- KHỐI A
- (Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
1
x y x
(C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại
M cắt các tiệm cận tại A, B Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M
thay đổi trên (C)
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
sin sin 3 os cos 3 1
8 tan tan
2 Giải phương trình
1 1x 1x 1x 2 1x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2 0
I x x x dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có ABADa,
3
AA '
2
a
, góc
BAD bằng 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’
vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , thỏa mãn 2 2 2
1
a b c ,
ta có:
3
B PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
I Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
I là giao điểm của hai đường thẳng: d1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0 Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d:
x y z
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB
bằng 16
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x2 trong khai triển: 4
1 2
n
x x
, biết n là số nguyên
Trang 2
n
II Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có
phương trình 7x – y + 8 = 0 Viết phương trình các cạnh của h?nh vuông
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xy z 1 0 và hai điểm
A(1;-3;0), B(5;-1;-2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB
đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
1
0
nghiệm
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
TXĐ : D = R\ 1
Sự biến thiên:
y’ = 2
1 0,
x
Hàm số nghịch biến trên: ;1 à 1; v
0,25
Giới hạn: lim lim 2
xx
; tiệm cận ngang: y = 2
1 1
x x
; tiệm cận đứng: x = 1
0,25
Đồ thị:
0,25
Gọi M(m;
1
m m
)
Tiếp tuyến của (C) tại M: 2
1 1
m
m m
0,25
Trang 32 1
m
IA =
m
m m , IB = 2 m 2 2 m 1 0,25 1
2
IAB
S IA IB
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C)
0,25
Điều kiện: 6 2
k
x
Ta có
0,25
Phương trình tương đương với: sin3x.sin 3x c os cos 33x x =
1 8
1
2 os2 os2 os4
2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
0,25
ai
6
, 6
0,25
Đk: -1 x1
Đặt u = 1 x 3
, v =
3
(1x)
; u,v 0
Hệ thành:
2
u v
uv u v uv
0,25
Ta có:
2
( ) 2
0,25
2
1 2 2
u v
u
u v
0,25
2
x
Trang 4III 1,0
Đặt
2
2 1
2
x
x
v
2 0
1 1 2 2
0,25
1 1
0
0
ln 3
dx
J
0,25
1
2 2
dx J
x
Đặt
x t t
3 6
0,25
Vậy I =
3
ln 3
4 -
3 12
0,25
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’ M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB
AB = AD = a, góc BAD = 600 ABD đều OA =
3
2
a
ACa
SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA '
2
a
CC
0,25
'
AO SA
SAO ACC
AC CC
' ~
ACC AIO
(I là giao điểm của AC’ và SO)
'
SO AC
(1) Mặt khác BD(ACC A' ')BD AC' (2)
Từ (1) và (2) đpcm
0,25
2 2
'
3
SABD
SA MN
a
V
0,25
Trang 57 32
BDMN SABD SA MN
a
Do a, b, c > 0 và a2b2c2 1 nên a, b, c 0;1
Ta có:
3
1 2
1
a a
BĐT thành: 3 3 3 2 3
3
0,25
Xét hàm số 3
, 0;1
f x x x x
Ta có: 0;1 ax
M
f x
=
2 3 9
0,25
0,25
3
f a f b f c
đpcm
Đẳng thức xảy ra
1 3
0,25
I
9 3
;
2 3
Giả sử M là trung điểm cạnh AD Ta có: AB = 2IM = 3 2
ABCD
AD qua M và vuông góc với d1 AD: x + y – 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB = 2
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ: 2 2
1
y
4 1
x y
0,25
Chọn A(2 ; 1) D 4; 1 C 7; 2 v B à 5; 4 0,25
Ta có:
2
0
n
n n
n
Trang 61
3 1 6560
n
n
n
4 7 4
0
2 2
k k k
x
Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa:
14 3
4
k
k
Vậy hệ số cần t?m là:
21
4
0,25
Gọi A(-4; 8) BD: 7x – y + 8 = 0 AC: x + 7y – 31 = 0 0,25 Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D hợp với AC một góc 450 a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
AB: 3x4y320;AD: 4x3y 1 0
0,25
Gọi I là tâm h?nh vuông I(
1 9
; )
2 2
C 3; 4
0,25
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng M là giao điểm của (P) và AB’ 0,25
AB’:
1 3 2
y
0,25
Đk: x 0, y > 0
2
2
1
log log
2
0 0
, 1 , 2 0
0,25
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0
Ta có : f(y) =
2
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25