lí thuyết ước lượng

θ θ =

θ

*Bài toán:Gi s ĐLNN X có tham ả ử

s ố

ch a ư

bi t.ế

c

Ướ

lượng

θ là d a vào m u ng u ự ẫ ẫ nhiên

W= X , X , , X n

ta đ a ra th ng ư ố

kê

1 , 2 , , n

X X X

θ θ = đ ể ước

lượng

θ

*Có hai ph ươ ng pháp ướ c

l ượ+) c l ng đi m: ch ng:Ướ ượ ể ỉ

ra

đ ể ước

+) Ướ ược l ng kho ng:ch ra m t ả ỉ ộ

ch a ứ θ sao cho P(θ θ θ 1 < < 2 ) = − 1 α

( 1 − α là đ tin c y c a ộ ậ ủ ướ ược l ng

)

Các tiêu chu n l a ch n hàm ẩ ự ọ ướ c

l ượ ng:

+) Ướ ược l ng không

ch chệ +) Ướ ược l ng hi u quệ ả +) Ướ ược l ng v ngữ

a) Ướ ượ c l ng không

ch ch ệ

Th ng kê G g i là ố ọ ướ ược l ng không ch ch ệ

c aủ

θ

c a X ủ

n uế E G( ) = θ Ng ượ ạ c l i,

n u ế E G( ) ≠ θ

thì G là ướ ượ c l ng ch ch ệ

Ý nghĩa: Ướ ược l ng không ch ch là ệ ướ ược l ng

có sai s trung bình b ng 0ố ằ

Vì: E G( − θ ) = E G( ) − E ( ) θ = − = θ θ 0

Chú ý:M t giá tr c a G có th l ch r t l n so ộ ị ủ ể ệ ấ ớ

v iớ

θ

M t s k t ộ ố ế

quả:+) Trung bình c a m u ng u nhiên là ủ ẫ ẫ ước

lượng không ch ch c a trung bình t ng thệ ủ ổθ = E X( )ể= µ

+) Phương sai đi u ch nh c a m u ng u nhiên ề ỉ ủ ẫ ẫ

là ướ ược l ng không ch ch c a phệ ủ ương sai t ng ổ

th ể Vì: E S( )'2 = σ 2

Ví dụ: Đ cao trung bình c a cây g độ ủ ỗ ược cho b iở

Chi u cao (m) ề S ố

cây 6,25 – 6,75

6,75 – 7,25 7,25 – 7,75 7,75 – 8,25 8,25 – 8,75 8,75 – 9,25 9,25 – 9,75 9,75 – 10,25

2 5 7 9 10 15 7 5

- Hãy ch ra ỉ ướ ược l ng

đi m cho chi u cao trung ể ề

bình c a cây.ủ

- Hãy ch ra ỉ ướ ược l ng

đi m cho đ t n mát c a ể ộ ả ủ

các chi u cao cây so v i ề ớ

chi u cao trung bìnhề

-Hãy ch ra ỉ ướ ược l ng

đi m cho p v iể p P= ớ( 7,75 ≤ ≤X 8,75)

Chi u cao (m) ề S cây ố

6,25 – 6,75

6,75 – 7,25

7,25 – 7,75

7,75 – 8,25

8,25 – 8,75

8,75 – 9,25

9,25 – 9,75

9,75 – 10,25

2 5 7 9 10 15 7 5

6,5 7,0 7,5 8 8,5 9,0 9,5 10,0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-8 -15 -14 -9 0 15 14 15

32 45 28 9 0 15 28 45

i

i

n n u i i n u i i2

Ta l p b ng tính ậ ả

cho

2

;

X S

Th c hi n phép đ i ự ệ ổ

bi nế

8,5

0,5

i i

x

Ta có

( )

0 1

1

2

0,03 8,5 0,5.0,03 8, 485 60

0,5 0,03 0,84 0,92

60

0,92 1

k

i i i

k

i i i

n

n n

n

=

=

−

−

∑

∑

- Chi u cao trung bình đề ượ ướ ược c l ng là

8,55m

- Đ t n mát độ ả ượ ướ ược c l ng là

0,9m

- Trong s 60 quan sát đã cho có 9+10=19 quan ố sát cho chi u cao cây thu c kho ng ề ộ ả

[7,75;8,75] V y ậ ướ ược l ng đi m cho p là:ể

0,32 60

b) Ướ ượ c l ng hi u ệ

quả Đ nh nghĩa ị : Th ng kê G c a m u đố ủ ẫ ược g i là ọ

c l ng hi u qu c a tham s c a X n u nó

có phương sai nh nh t so v i m i th ng kê ỏ ấ ớ ọ ố

khác được xây d ng trên cùng m u đóự ẫ

θ

K t qu ế ả:

N u ế X ∈ N ( µ σ ; 2 ) thì trung bình m uẫ X

là ướ ược l ng hi u qu c a kỳ ệ ả ủ

c) Ướ ượ c l ng

v ng ữ

- Trung bình m u là ẫ ướ ược l ng v ng ữ

c a tham s ủ ố

X

µ

- T n su t m u f là ầ ấ ẫ ướ ược l ng v ng c a ữ ủ

xác su t p c a Xấ ủ

M t vài k t lu n c a ph ộ ế ậ ủ ươ ng pháp ướ ượ c l ng

đi m ể

+) là ướ ược l ng không ch ch, hi u qu và ệ ệ ả

v ng,do đó n u ch a bi t thì có th dùng ữ ế ư ế ể

đ ể ướ ược l ng

X

+) N u ch a bi t phế ư ế ương sai có th dùng ể

ho c đ ặ ể ướ ược l ng

+) f là ướ ược l ng không ch ch,hi u qu ệ ệ ả

và v ng nên n u ch a bi t p thì dùng f ữ ế ư ế ướ ược l ng

2

'2

S

*Nh n xét ậ : Ướ ược l ng đi m có nhể ược đi m ể

là khi kích thước m u nh thì k t qu tìm ẫ ỏ ế ả

được có sai s l n và không đánh giá đố ớ ược kh ả năng m c sai l m là bao nhiêu Vì v y ta ắ ầ ậ

thường dùng ướ ược l ng kho ng tin c y khi ả ậ

m u nh ẫ ỏ