Tìm trên đồ thị C những điểm M, sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của C tại hai điểm A; B và đoạn AB ngắn nhất.. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.. Đường tròn ngoại tiếp tam giác A
Trang 1SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 ( 4 điểm )
Cho hàm số y f x 3x 45 C
x
1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x ln f x
2 Tìm trên đồ thị (C) những điểm M, sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A; B
và đoạn AB ngắn nhất
Câu 2 ( 5 điểm )
1 Giải phương trình: 1 cos tan 1 cos 2 sin 1
cos
x
x
log x x 1 log x x 1 log x x 1 0
Câu 3 ( 3 điểm )
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2); B(3; 0) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I(4; -3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2 Trong không gian toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(1; -1; 2); B(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 5 =
0 Tìm toạ độ điểm C P sao cho ABC vuông góc với (P) và tam giác ABC cân tại C
Câu 4 (3 điểm )
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a; chiều cao SH = h.
1 Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB); (ABCD) theo a và h
2 Khi a, h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại tiếp mặt cầu cố định có bán kính bằng 1 Tìm a và h để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất.
Câu 5 ( 3 điểm )
1 Tính tích phân
2 1
6
x
dx
I
2 Chứng minh rằng:
C C C C C
Câu 6 (2 điểm )
Cho các số thực a; b; c thoả mãn đồng thời các điều kiện: 6
9
a b c
a b c
ab bc ca
Chứng minh rằng: 0 a 1 b 3 c 4