Viết p trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG.. Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.. Lập phương trình cạnh bên còn lạ
Trang 1Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305 054.3811471 0935961321
êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy)
6) Trong mp Oxy cho ∆ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là ( ): + + 2 = 0, ptrình đường cao BH:
2 − + 1 = 0, cạnh AB đi qua M(1; −1) Tìm phương trình AC ĐS: + 2 + 7 = 0
7) Cho ∆ABC có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2;0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên 2 đthẳng : + + 5 = 0 và : + 2 −
7 = 0 Viết p trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG ĐS: (−1; −4), (5; 1), ( ): ( − 5) + ( − 1) =
8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là ( − 1; 1) Gọi N là trung điểm cạnh AC Biết phương trình đường trung tuyến BN là − 6 − 3 = 0 và đường cao AH là 4 – – 1 = 0 Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC ĐS:AB là: x – y + 2 = 0 AC là 3x + 2y – 9 = 0
9) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao : 2 − + 1 = 0, đường trung tuyến : + 3 =
0, đường trung trực cạnh AB là : + + 2 = 0 Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC ĐS: (−1; −1)
10) Cho tam giác cân có cạnh bên và một cạnh đáy có phương trình: AB: + 2 − 1 = 0; : 3 − + 5 = 0 Lập phương trình cạnh bên còn lại biết nó đi qua điểm (1; −3) Giải: Phương trình AC: ( − 1) + ( + 3) = 0 ⇔ + + 3 − = 0
( + ≠ 0) ∆ cân tại A nên cos( ; ) = cos( ; ) ↔ | | = | | ↔ 5(3 − ) = + ↔
2 − 15 + 22 = 0 Nếu = 0 → = 0 (loại) Nếu ≠ 0 thì 2 − 15 + 22 = 0 ↔ =
= 2 Trường hợp 1: = chọn = 2; = 11 ta được phương trình AC: 2 + 11 + 31 = 0, Trường hợp 2: = 2 chọn = 1; = 2 ta được phương trình AC: + 2 + 5 = 0 (loại do song song với AB).N Từ đó có thể làm các bài:
11) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: − 2 + 1 = 0 Ptrình BD: − 7 +
14 = 0, đường thẳng đi qua (2; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ĐS: (3; 2), ; , (4; 3) ;
12) Cho hình vuông ABCD có đỉnh (−4; 5) và một đường chéo có phương trình: 7 − + 8 = 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông ABCD ĐS: 4 + 3 + 1 = 0; 3 − 4 + 32 = 0; 3 − 4 + 7 = 0; 4 + 3 − 24 = 0
13) Cho tam giác ABC có diện tích = , (2; −3), (3; −2) Trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng (d): 3 − − 8 = 0
Tìm tọa độ đỉnh C Giải: ⃗ = (1; 1) → ⃗ = (1; −1), = √2 Phương trình AB: 1( − 2) − 1( + 3) = 0 ↔ − − 5 =
0 ∈ ( ) nên ( ; 3 − 8) Do G là trọng tâm nên ta có: + + + + = 3 = 3 ↔ = 9 − 19= 3 − 5 → (3 − 5; 9 − 19) Mà: = ( ; ) = ↔ ( ; ) =√ ↔| ( ) |√ =√ ↔ |3 − 2 | = 1 ↔ = 1 → (−2; −10) = 2 → (1; −1)
14) Cho hai đường thẳng : − = 0 và : 2 + − 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh ∈ , đỉnh C ∈ và các đỉnh B, D thuộc trục hoành ĐS: (1; 1), (0; 0), (1; −1); (2; 0)ℎ (1; 1), (2; 0), (1; −1); (0; 0)
15) Trong mặt phẳng Oxy cho (0; 2) và đường thẳng d: − 2 + 2 = 0 Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và = 2
16) *Viết p trình 4 cạnh hình vuông biết 4 cạnh lần lượt qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- 2 ; - 2) và L(2 ; - 4) Giải:
(d)
L C
A
M G
1) Cho ∆: + = → ∆ qua ( ; ) à ∆ ∥ ∆ ó : ( − ) + ( − ) = 0 (∆ ) Nếu ∆ qua ( ; ) à ∆ ⊥ ∆ ó : ( − ) − ( − ) = 0 (∆ )
2) Nếu giả thiết cho phương trình đường cao AH thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương trình) đó là ⊥ , nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phương trình đường thẳng BC ( ⊥ ⇔ ⃗ ⊥ ⃗)
3) Nếu giả thiết cho phương trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM
4) Nếu giả thiết cho phương trình phân giác thì thông thường ta gọi điểm đối xứng với điểm cho trước thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua sẽ nằm trên
BC và ngược lại Nếu đề cho phương trình AC, phương trình thì ta suy ra tọa độ điểm C và viết được phương trình BC nhờ công thức cos( ; ) = cos( ; )
5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng được 2 điều kiện (2 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và ⊥ ( )
6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đường thẳng nào đó có phương trình thì ta thu được 2 điều kiện (2 ptrình): + + + + = 3 = 3
(d)
(d')
(loại do // AB).
A
M
Trang 2Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305 054.3811471 0935961321
P t AB qua I : ax + by – 2b = 0,pt CD qua K : ax + by + 2a + 2b= 0,pt BC qua J : bx – ay – 5b – 3a =0, Pt AD qua L : bx – ay – 2b – 4a = 0 Ta có ( , ) = ( , ) ↔| |
= | |
↔ = −3 : ℎ = −7 : ℎọ = 7; = −1 ọ = 1; = −3 ĐS: AB:x-3y+6=0, , hay AB:,
17) ∆ ABC có = , = 90 , (1; −1) là trung điểm BC và ; 0 là trọng tâm Tìm A, B, C ĐS:B(4;0), C(-2;-2)
18) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ có : − 2 + 6 = 0, : + 2 + 2 = 0, tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là (2; 1) Viết phương trình cạnh BC biết BC song song với đường thẳng d: 2 − + 1 = 0 ĐS: lưư ý ( , ) = ( , ) và , cùng phía với BC, nếu A, I trái phía với BC thì I là tâm đường tròn bàn tiếp của tam giác ABC pt BC: 2 − − 9 = 0
3) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua M (3;0) và cắt đường tròn (C): + + 2 − 4 − 20 = 0 theo một dây cung AB
có độ dài: a) Lớn nhất, b) Nhỏ nhất Giải: (C) có tâm (−1; 2) à = 5 a) AB lớn nhất khi AB là đường kính của (C) Do đó (∆) là đường thẳng đi qua 2 điểm M, I Phương trình của đường thẳng (∆): = ↔ = ↔ + 2 − 3 = 0 Có thể viết bằng cách ⃗ = (−4; 2) → ⃗ = (1; 2) → : + 2 − 3 = 0 b) Kẽ ⊥ Dây AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất Ta có
: ≤ = 2√5 (đường vuông góc luôn bé hơn đường xiên)→ = 2√5 khi ≡ , suy ra đi đường thẳng (∆) ⊥ tại M hay đường thẳng (∆)đi qua M có VTPT: ⃗ = ∆ ⃗ Phương trình (∆): −4( − 3) + 2( − 0) = 0 ↔ 2 − − 6 = 0
4) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua (−1; −3) và cắt đường tròn (C): + − 2 + 4 − 4 = 0 , có tâm I tại 2
điểm phân biệt A và B sao cho tam giác AIB có diện tích lớn nhất Giải: (C) có tâm (1; −2) à = 3 Phương trình đường thẳng (∆) : ( + 1) + ( + 3) = 0 ↔ + + + 3 = 0 ( + ≠ 0) Diện tích ∆ : = sin = sin ≤ → = ↔ sin = 1 ↔ ∆ vuông cân tại I Kẽ ⊥ → =√ ↔ ( ; ∆) =√ ↔| ( ) |
=√ ↔
7 − 8 + = 0 Nếu = 0 thì = 0 ( ạ ) Nếu ≠ 0 thì 7 − 8 + 1 = 0 ↔ = 1; ℎọ = 1, = 1
= 7: ℎọ = 1, = 7 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm: (∆ ): + + 4 = 0, (∆ ): 7 + + 10 = 0
* Lưu ý*:a) Đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho tam giác AIB vuông cân ↔ ( , ∆) =√ ↔ ⋯
b) Đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho tam giác AIB đều ↔ ( , ∆) = = √ = √ ↔ ⋯
c) Đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho = ↔ ( , ∆) = = −
d)Đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho ( ) = → → → →
ê TIẾP TUYẾN:
Dạng 1: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước Ex: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) :
+ ( − 1) = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0 ( hoặc song song với đường thẳng 4x+3y=0) Lúc đó
R
B A
I
H
êSỰ PHỐI HỢP GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
[é“Thần chú”: Để viết đường thẳng ∆ tạo (hoặc cắt hoặc tiếp xúc) với đường tròn một tam giác
hay thỏa bất cứ điều kiện nào thì chỉ cần biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ là xong é[
1) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;1) và chắn trên đường thẳng (∆) : − 2 + 4 = 0 một
dây cung có độ dài bằng 4 Giải: Kẽ ⊥ → là trung điểm của AB → = 2, = ( , ∆) =
√5 → = √ + = 3 → ( ): ( − 3) + ( − 1) = 9
2) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua gốc O và cắt đường tròn (C):( − 1) + ( + 3) = 25 theo một dây cung có độ dài bằng 8 Giải: (C) có tâm (1; −3) à = 5 Phương trình đường thẳng
(∆) đi qua gốc O : ( − 0) + ( − 0) = 0 ↔ + = 0 ( + ≠ 0) Kẽ ⊥ →
là trung điểm của AB → = 4, = ( , ∆) = √ − = 3 ↔ | |
= 3 ↔ 4 + 3 =
0 ↔ = − = 0: ℎọ = 1 : ℎọ = 4; = −3 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm: ∆ : = 0; ∆ : 3 − 4 = 0
B
A
B A
I
M
H