Chứng minh : Các đường thẳng BF,CMvà DE đồng quy.
Trang 1Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan
PHÒNG GIÁO DỤC BỈM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu1:( 5điểm)
1.Chứng minh rằng: (a+b+c)3 -(a3+b3+c3) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ
2.So sánh :
1 100
1 100
1 4
1 4 1 3
1 3 1 2
1 2
3
3 3
3 3
3 3
3
Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2.
Chứng minh : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,zZ+ thỏa mãn các phương trình sau:
1/ xy - 4x = 35 - 5y
2/ x + y + z = xyz
Câu 4:(4điểm)
1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x2+5y2
2/ Cho a+b=1 Chứng minh:
3
) 2 ( 2 1
3
ab a
b b
a
Câu 5: (4điểm) Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M Từ M kẻ đường thảng
ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E AB ; F AD)
Chứng minh : Các đường thẳng BF,CMvà DE đồng quy
ĐÁP ÁN
Câu 1:1 Biến đổi: B = (a+b+c)3 -(a3+b3+c3) = 3(a+b)(b+c)(c+a)3
* a,b,c chẵn thi a + b; b + c ;c + a đều là các số chẵn nên B8
* a,b,c lẻ thì a + b; b + c; c + a đều là các số chẵn nên B8
Mà (3;8)=1 B 24
2: Ta có:
1 100
1 100
1 4
1 4 1 3
1 3 1 2
1 2
3
3 3
3 3
3 3
3
10101
99
9901 101
21 3
13 5 13 2
7 4 7 1
3 3 A= .73.13.7..1321 101019001
99
4
.
3
.
2
.
1
101
5
.
4
.
3
= .1010010101
2
3 10101
3 2
101 100
<23
Câu 2: a + b + c = 2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c > 0 a < 1, b < 1, c < 1
(1-a) (1-b)(1-c) > 0 1 - (a + b + c) + ab + ac + bc - abc > 0
2 2
2 2 2 2
2 2
abc c b a bc ac ab c b
a
2 2
2 2 2 2
b c a b c abc
a
2
2 2
2
a b c abc Hay : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Câu 3:1/ Biến đổi phương trình về dạng (x + 5)(y - 4) = 15 xét các trường hợp và loại ta có các
cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7)
2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<xy z
Suy ra : xyz=x+y+z 3z xy 3 (*)
Nếu x=y=z 3 3 0 ; 2 3
x x x x Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba
Số không bằng nhau
Từ (*)xy 3 xy 1hoặc xy=2 Nếu xy=1 xy 1(vì x,y
Z ) zz 2 (vô lí ) Nếu xy=2 x 1 ;y 2(vì x<y) Khi đó :2z=z+3 z 3
Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó
Trang 2Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan
Câu 4: 1/Có x=
4
3
7 y
khi đó M=
8
49 42
49y2 y
= 5 5 8
3
y
Vậy Mmin = 5 khi y =73
2/Có a=1-b
Vế trái : 3 1 3 1 13 1 1 3 1 2 1 1 2 31 3
b b
b a
b b
a
=22 11 2 23 22 2 23
b a
ab b
b
b
b
Suy ra ddpcm
Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM
và BC ; BF và DE lần lượt là E/ ;F/ và O
Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME/CF/
bằng nhau EFM CE/M MCE/ MEF
EF
CM
Mặt khác hình chữ nhật AE E/D bằng hình chữ nhật
CF/FD AED DFC ADE DCF CFDE.Tương tự có:FBCE 0là trực tâm tam giác CEF CO EF(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy
C D
M
O F
/
/
E
/
F
E