TRƯỜNG THPT MỸ ĐỨC A
HÀ NỘI
-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 MÔN TOÁN NĂM 2011
Ngày thi: 27 – 3 - 2011 Đáp án gồm: 03 trang (Thang điểm: 20)
điểm
Câu I
2 2
2 2
1 4 1
x y xy y
+ + + =
+ − − =
Từ (1) nếu y = 0 thì được x2 + 1 = 0 phương trình vô nghiệm nên y ≠ 0
Chia cả 2 vế của 2 phương trình cho y ta được:
( )
2
2 2
1
4 1 1
x
x y y
x
x y
y
+ + + =
+
1.0
Đặt u =
2 1
x y
+ , v = x + y ta có hệ 2 4
u v
v u
+ =
− =
Giải hệ (I) được: 1 v 9
= = −
Với
= + = + − = = =
= + = = − = − =
Với
= + = + + =
= − + = − = − −
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (1; 2), (-2; 5)
1.0
Câu II
4 điểm Giải phương trình: 4x+ x− = +1x x 2x−5x (1)
Điều kiện:
0 1 0 5
x x x x x
≠
− ≥
− ≥
0.5
Đặt a = x 1
x
− , b = 2x 5
x
− với a ≥ 0, b ≥ 0
ta có phương trình: (1) ⇔ a – b = b2 – a2.(2)
1.0 (2) ↔(a b a b− ) ( + + = ↔ =1) 0 a b do ( a 0, b 0 nê a+b+1>0≥ ≥ n ) 1.0
2
Thay x = ±2vào hệ điều kiện thì x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 0.5
Trang 2Câu Nội dung Thang
điểm
Câu III
6 điểm
1
3điểm
Chứng minh rằng:AH.AA’+ BH.BB’ + CH.CC’ =
2 2 2
2
a + +b c
H c
a
b
B
A
C A'
B' C'
B'
A'
B1 A
B
C
A1
C' C1
Do tam giác nhọn nên H ở trong tam giác ABC
AA '
AH AC
AB
2 2 2 cos
2
b c a
b A c + −
1.0
Tương tự ' 2 2 2
2
a c b
BH BB = + −
; ' 2 2 2
2
a b c
CH CC = + −
1.0
Cộng 3 biểu thức trên được: AH.AA’+ BH.BB’ + CH.CC’ =
2 2 2
2
a + +b c
1.0 2
3 điểm Chứng minh: 1 1 1
BB CC
BB CC
+ + ≤
Ta có: AA’.A’A1 = BA’.A’C = 2
4
a
(∆AA B' : ∆CA ' (A gg1 ))
⇒ AA’.AA1 = AA’(AA’ + A’A1) = 2 2 2 2
a
a b c
m + = +
+ −
1.0
Tương tự:
2
2 2 1
2
→ = −
+ ;
2
2 2 1
2
→ = −
+
2 2 2 2 2 2
3
1.0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )
3
* 2
b c +a c +a b ≥
1.0
Trang 3Thật vậy: (*) ( 2 2 2)
2 2 2 2 2 2
2
a b c
b c a c a b
2 2 2 2 2 2
b c a c a b
↔ + + + + + + + ÷≥
Vậy
3
BB CC
BB CC
+ + ≤ − = Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Câu
IV:
3 điểm
Từ giả thiết ta có: 1 1 1 1
a b c+ + =
Ta có: a4+ ≥b4 a b ab3 + 3(chứng minh bằng biến đổi tương đương)
2 a b a a b ab b a b a b
→ + ≥ + + + = + + 43 43
2
a b a b
a b
+
1.0
Ta có: ( )
4 4
3 3
1 1 1
a b a b
ab a b
ab a b
+ ≥ + = +
÷
Tương tự: ( )
4 4
3 3
1 1 1
b c b c
bc b c
bc b c
+ ≥ + = +
÷
( )
4 4
3 3
1 1 1
c a c a
ca c a
ca c a
+ ≥ + = +
÷
1.0
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta có VT(*) 1 1 1 1
a b c
≥ + + = Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3
1.0
Câu V
2 điểm Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( )
2
P
a a b c
=
− +
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT đã cho Theo Vi-et:
1 2
1 2
b
x x
a c
x x a
+ = −
=
2
1
P
a a
1.0
Không mất tính tổng quát giả sử x1 ≤ x2 do 2 nghiệm thuộc [0; 1] nên
1 1 2 2 1
x ≤x x ≤x ≤ và 1 x+ + +1 x2 x x1 2> 0 nên
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + ≤ + + + = + + + + + + Vậy P ≤ 3
1.0
Trang 4Giá trị lớn nhất của P bằng 3 đạt được khi a = c = 0
2
b
− ≠
(khi đó PT có nghiệm kép x = 1 )
Các cách giải khác đáp án mà đúng vẫn được điểm tối đa theo đáp án quy định.