Đường thẳng trong mặt phẳng

Đường thẳng trong mặt phẳng

Bài giảng số 13 HUONG THANG TRONG MAT PHANG Bài toán về đường thắng là một chủ đề chính thường xuyên có mặt trong các

dé thi toán vào các trường Đại học và Cao đẳng trong những năm 2002 — 2009 Bài giảng để cập đến các phương pháp chính giải các bài toán liên quan đến phương trình đường thăng của hình học giải tích phăng

§1 CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Người ta hay dùng các dạng sau đây của phương trình đường thang

— Phương trình chính tặc của đường thăng đi qua điểm M(xạ: yọ) với vectơ chỉ

—X%*o_Y—Yo

ˆ b ”

— Phương trình tham số của đường thắng qua điểm M(xo,yo) với vectơ chỉ phương u =(a;b) (a'+b”>0) là

( =Xq tat

Y—Yo + bt

phuong u =(a;b) (a #0,b #0) la:

— Phuong trinh duong thang đi qua điểm M(xạ; yọ) và nhận vectơ pháp

n=(a,b) (a”+ b>0) là:

a(x ~ Xo) + bly — yo) = 0

~ Phương trình tổng quát của đường thăng là:

ax +by +c=0 (ở đây a”+ bỈ> 0)

Dưới dạng này đường thẳng nhận n=(a;b)làm vectơ pháp tuyến, còn

u =(-b:a) làm vectơ chỉ phương

Đường thăng đi qua điểm M(x¿; yo) có hệ sô góc k sẽ có phương trình

Y= k(x~ Xo) † Yo,

— Phương trình theo đoạn chắn: Đường thăng cắt hai true Ox, Oy tai hai điểm

A(a; 0), B(0; b) (a #0, b# 0) có dạng: ~ tế ¬

a Các dạng bài tập cơ bản:

Loại 1: Viết phương trình đường thắng biết vectơ chỉ phương u = (a; b) va một điểm M(xo,yo) của nó

Đây là một trong những phương pháp cơ bản nhất để viết phương trình đường thăng Rất nhiều bài toán quy được về trường hợp này (đặc biệt là trường hợp đường thăng đi qua hai điểm M(xạ; yọ) và NŒx¡; Vì)

243

Như vậy, hai yếu tổ cần xác định là:

1/ Vectơ chỉ phương u của đường thăng Người ta hay sử dụng các phương pháp sau để xác định ú:

— Tìm hai điểm M, N phân biệt thuộc đường thẳng Khi đó u =MN

~ Xác định xem đường thắng cần tìm có song song hoặc vuông góc với một đường thắng cho trước nào hay không

2/ Điểm M thuộc đường thắng cần tìm được xác định là giao điểm của hai đường thăng biết trước nào đấy, hoặc là các điểm có một tính chất nào đó (như trung điểm của một đoạn thăng, hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng ) Xét các thí dụ minh họa sau đây:

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2009)

Cho tam giác ABC Điểm M (2;0) là trung điêm của AB Đường trung tuyến

và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là: 7x — 2y —-3 =0 và 6x - y — 4 =0 Viết phương trình đường thẳng AC

Giải

phương trình:

>

Vì M là trung điểm của AB, nên tọa độ B

được xác định như sau:

Yp=2ym-Ya [Ysa =72 Vay B(-3;2)

Đường thăng BC vuông góc với đường cao AH: 6x - y — 4 = 0, nên có dang:

x +6y+m=0

Do qua B(3; —-2) nén taco: 3- 12+m=0 > m=9

- Vậy BC: x + 6y + 9=0

Tọa độ (x; y) của trung điểm N của BC là nghiệm của hệ phương trình:

2

Vậy N = (0;-— ) 2

Tir dé MN -(-2-3 ac = 2MN = (-4;-3)

Đường thắng AC có vectơ chỉ phương u= (-4;-3) và qua A(1; 2) nên có dạng:

-l y-2

Xa)? -3x+3=—4y+8 ©>3x— 4y +5 =0 4° 3

244

Nhán xét:

Lời giải nói trên minh họa rõ nét cho phương pháp đã trình bày trong phần mở đầu

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2009)

Cho hình chữ nhật ABCD có I6; 2) là giao của hai đường chéo AC và BD Điểm M(l; 5) thuộc đường thắng AB Trung điểm E của cạnh CD nằm trên đường thắng x + y — 5 = 0 Viết phương trình cạnh AB

Do Me AB, nênN e CD Tọa độ của

điểm N xác định như sau:

Xy = 2X; —X N {—~Xm =| N Xy =ll ,

YN =2YI —YM Yn =-l

Vay N (11; -1) ;

x+y +5=0, nén E = (x; 5—xo)

Tirdé: IE =(x9 —6;3-x9);NE =(x9 -116-Xo)

Do E là trung điểm của DC nên có: IE NE

X =6

X =7 Néu xo = 6 thi NE = (-5;0), Vay AB c6 vecto chỉ phương chính là

NE =(-5; 0) Do AB qua M(1;5) nên có dang:

M^

©y=5

y=5

> (xXo— 6)(Xo— 11) + (3 — X0)(6 — Xo) <> Xo” — 13x90 + 42 = OD

u

+ Néu xo = 7, thi NE =(-4;-1)

Khi do AB //NE nén AB 6 vecto chi phuong u = (- 4;-1)

Vậy AB có phương trinh: x — 4y + 19 =0

Thí dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội — 2005)

Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho

tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đường trung, A

tuyén BM và đường phân giác trong CD có

phương trình tương ứng là 2x + y + 1=0;x+y

~ 1 =0 Hãy viết phương trình đường thăng BC M

Giải

Qua A kẻ đường vuông góc với CD cắt

BC tại E Giả sử đường vuông góc này cắt CD

tại I Vì CD là phân giác của C = IA =IE.Do BE

CD có phương trình: x + y +l = 0 nên, đường

thăng AE có phương trình x + y + m = Ô

Mà AE lại qua A(1;2), nên ta có: Ï +2 +m=0 > m=-]

Vậy AE có phương trình: x — y —1 = 0

245

Toa d6 (x; y) cda I la nghiệm của hệ phương trình:

1(0;1)

` , xX ip = 2x 17Xa Xp => ~|

Từ đó suy ra: 2 <> E=(-1:0)

vị, =2y, — YA_ |Yr=0

vic nam trên đường phân giac xty+1=0 nén ta có: C(xo; 1-xo) Tir dd do M

là trung điểm của ÁC, nên

M= Xo+l l=Xxo+2\ (Xxạ+l 3-xXg

i )( 21627

Điểm M nằm trên trung tuyên BM: 2x + y +] = 0 nên ta có:

Xgtl) 3-x 2( SF) 2S8 1-06 xy =-7 = C =(-7: 8)

2

Duong thang BC qua E (—1; 0) va (-7; 8) nén c6 phuong trinh: 4x + 3y + 4= 0 Thí dụ 4: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Bến Tre — 2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết đỉnh A (4; —1) phương trình một đường cao, một đường trung tuyến vẽ từ cùng một đỉnh lần lượt là 2x - 3y + 12=0

và 2x + 3y = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Giải

các đường cao và trung tuyến ấy không đi

M qua A Ta có thể giả sử chúng là phương

trình của các đường cao và trung tuyên vẽ từ B

Dễ thấy tọa độ (x; y) của B là nghiệm của hệ

phương trình:

C 2x-3y+l12=0 Íx=-3

B ủy =1” B=(-3:2)

Vậy cạnh AB có phương trình: 3x + 7y — 5 = 0 (qua A(4;-1) và B(—3;:2))

Do AC L BH nên cạnh AC có phương trình: 3x + 2y + m= 0

Do qua A(-4; l) => 12-2+m=0 > m=-!10

Vậy cạnh AC có phương trình dạng: 3x + 2y — 10 = 0

Tọa độ (x; y) của M là nghiệm của hệ phương trình:

2 2x+3y=0

Vì M là trung điểm của AC = C = (8; -7)

Do đó đường thăng BC qua B (-3; 2) và C (8; ~7) nên phương trình của nó là:

9x+lly+§=(0

Thi du 5: (Dé thi tuyển sinh Dai hoc Hai Phong — 2004)

Trên mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thắng

dị:x=y+I=0,d;:2x+y— 1 =0 và điểm PQ; 1)

=> M(6;-4)

Viết phương trình đường thắng qua P và cắt dị,d; tương ứng tại A, B sao cho

P là trung điểm của AB

ViAe dì => A= (x15 X1 + 1)

B ed, > B= (x33 1 — 2x2)

Taco: PA =(x;, ~2;x,);PB = (xz —2;-2x,)

Vi P la trung diém cua AB, nén ta co:

Do đó: A l2) va B ($2),

Vi thé đường thang AB có phương trình: 4x — y — 7 = 0

Thi du 6: (Dé thi tuyén sinh Cao dang Su phạm Vĩnh Long — 2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;3) và hai đường trung tuyên xuất phát từ B và C lần lượt có phương trình là x-2y+l=0 và y-l=0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Giải Tọa độ (x:y) của trọng tâm G là nghiệm A

của hệ phương trình:

" y-l=0 od) y=l > GUD) N

_ Vẽ hình bình hành BGCE Theo tính

Do EC // BG, nén EC co dang x - 2y +m = 0

Nó lại qua E (I;—1) nên ta có: ! +2 +m=0 >m

=~3 = EC có phương trình: x 2y — 3 = 0

Vì thế tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:

oS ; C(S; 1)

y-1=0

Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có: B(-3; —l)

Biết ba đinh của tam giác nên dễ thây các cạnh AB, BC, CA lần lượt có phương trình:

—y†2=0;x-4y+]=0;x+2y-7=0

Loại 2: Viết phương trình đường thang đi qua diém M(xo; yo) và có hệ số góc k Phương pháp này thường dùng để giải các bài toán ,việt phương trình đường thang đi qua một diém M(xo; yo) và thỏa mãn một yêu cầu nào đó (thường là yêu cầu liên quan đến khoảng cách) Chú ý rằng đường thẳng đi qua điểm M(xXo; yo) có hai dạng x = xo và y = k(x-xo)tyo Khi làm bài, trừ trường hợp cho săn dạng: y=k(X-Xo), nêu không phải xét đủ hai dạng nói trên

247

Thi dul:

Trong mat phẳng tọa độ cho hai điểm M(1;4) và N(6;2) Lập phương trình đường thắng qua M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5

Giải Đường thắng A qua M(1;4) nên có hai đạng sau:

1/x= 1 Khi đó d(N, A) = 5, vậy x = | là một đường thăng cần tìm

2/A có dạng y = k(x- l)+4 ©kx—y+4—k=0

Khi đó aN, A)=5

[6k -2+4-k|

<> ——-—ễ

lk? +1 Khi đó A có chương trinh: 21x — 20y + 59 = 0

Như thế M có hai đường thẳng can tim: x =1 va 21x — 20y + 59 =0

Thi du 2:

Trong mat phang toa d6 cho hai diém A(1;2) va B(5;~1) Viết phương trình đường thắng qua (3;5) và cách đều A, B

_ Giải Đường thăng A qua P(3;5) có hai dang:

1/x = 3 Khi do d(A, A) = 3 — 1 = 2; d(B,A) = 5 —3 =2

Vay x = 3 là đường thăng cần tìm

2/A có dạng: y = k(x— 3) + 5 © kx— y + §5 — 3k = 0 Khi đó ta có:

<> |3 ~2k| = |6 - 2k] <> k=-2

21

=5 < (5k +2) =25(k2 41) => ( + ) ( + je ka 50

Khi đó A có phương trình: 3x + 4y - 29 = 0

Vậy có hai đường thắng x = 3 và 3x + 4y - 29 = 0 thỏa mãn yêu cầu đầu Pa Nhận xéi: Qua các thí dụ trên ta đã thấy rõ nếu không xét trường hợp x = thì có thể sẽ dẫn đến khả năng làm mất nghiệm của bài toán

Loại 3: Sử dụng phương trình tổng quát dé viết phương trình đường thẳng Như đã biết: Ax + By +C =0, với A?+ B> 0, là phương trình tông quát của đường thăng Khi sử dụng phương trình dưới dạng này bài toán quy về tìm A, B, C Thông thường từ các điều kiện ban đầu ta sẽ có một hoặc hai phương trình để tìm

ba ân A, B, C Vì thế ta phải sử dụng điều kiện A?+ BỶ> 0, để từ một hệ thức giữa

A, B sẽ cho A (hoặc B) là một giá trị cụ thé, tir dé sé tim được B (hoặc A) Luu y rang, đó chính là quy tac chung dé giải một hệ phương trình mà số phương trình ít hơn số ân Sử dụng phương pháp này sẽ thích hợp cho việc giải các bài toán thuộc loại 2, mà không cân xét hai trường hợp x = Xo va y = k(x — Xq) + yo,

Thi dul:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm M(I; 4) và N(6; 2) Lập phương trình đường thắng qua M sao cho khoảng cách từ N tới đường thăng đó bằng 5

Giải Gọi đường thẳng A phải tìm là ax + by + c = 0, với a?+ bˆ> 0

Do A qua M nên ta có: a + 4b + c=0 c=-a — 4b

Vi thé A có dạng: ax + by ~ a — 4b = 0

[6a +2b-a—4b] _ <> (Sa — 2b)’ = 25(a? + b?)

Ta có: đ(N,A)=5 ©

Va? +b?

<> 21b’ + 20ab = 0© b(21b + 20a) = 0

~ Nếu b= 0 Do a?+ bÍ> 0, nên chọn a = Ì => c=~—l = A: x^l

~ Nếu 21b + 20a = 0 Do a?+ b’> 0, nên chọn a= 21 = b=-~20 = c= 59

= A=2lx~ 20y + 59 = 0

Ta thu lại kết quả của thí dụ 1, loại 2 ở trên

Thi du 2:

Trong mat phẳng tọa độ, cho hai điểm A(1; 2) và B(5; -1) Viết phương trình

mg thang qua (3; 5) và cách đều A, B

Giải Đường thăng A qua P có dang: ax + by + c = 0, voi a’ + b’> 0

Do qua P(3;Š5) nên ta có 3a + 5b +c=0 c=-3a — 5b

Vi thé A có dạng: ax + by ~ 3a — 5b = 0

|a+2b~ 3a -5b|_ |5a—b-~ 3a - 5b|

Ta có: d(A, A)=d(B, A)«<——————

>> nn

<> (~2a — 3b)’ = (2a - 6b)” © b(3b — 4a) = 0

—Néu b= 0 Do a? + bỶ> 0, nên chọn a=l A:x=3

- Nếu 3b ~ 4a = 0 Do a? + b?> 0, nên chọn a = 3, b=4 c=-~29

A: 3x + 4y —- 29 =0

Ta thu lại kết quả của thí dụ 2,

woai 4: Phương trình đường thăng theo doan chan:

Người ta sử dụng cách viết phương

trình theo đoạn chắn trong những bài toán y

mà các yêu cầu đầu bài đòi hỏi tính toán x 8

các giao điểm (a;0) cũng như (0;b) của

đường thăng với trục hoành, trục tung : M

Chỉ cân lưu ý rằng: nếu A = (a; 0),

B =(0; b) thì OA = |a|, OB = |b| 2 B

Trên mặt phẳng xOy, cho điểm M(1;2) 4

Viết phương trình đường thắng qua M sao

cho OAB là tam giác vuông cân, ở đây A, B

lần lượt là giao điểm của đường thăng đó với

trục hoành và trục tung

Giả sử d là đường thăng qua M Gọi A (a; 0), B(0; b) lần lượt là giao điểm của

loại 2 ở trên

đ với trục hoành và trục tung

Lúc này theo phương trình đoạn chắn, d có dạng: + =]

249

Vi d qua M(I;2), nên ta có: =+ =1.)

a

Đo OAB là tam giác vuông cân đỉnh O, nên ta có:

OA =OB < la| = |b{ (2)

I 2

Vậy ta có hệ: $a b ©

a=-—I;b=1

| al b|

Như vậy có hai đường thắng cần tìm: Tê I va “+ tts I

Thi du 2:

Cho điểm M(4; 3) Viết phương trình đường thắng d qua M sao cho nó tạo với

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3

Giả sử d ¬ Ox = A(a; 0),

d > Oy = B(0; b)

y

Khi đó theo phương trình đoạn chăn thì d có dạng: * tổ =1,

a

Do d qua M (3;1), nén ta co: “+ =1.)

Ta có: SoAn =2OAOB = [a]

Theo giả thiết suy ra: |a|.|b| = 6 (2) I

Giải hệ (1) (2) ta có: (bạn đọc tự làm)

a=2;b=-3 a=-4;b= 3

2

Vậy có hai đường thẳng cần tìm:

XY) yg X44 2% 24,

Loai 5: Sir dung phuong trinh “chim duong thang”:

Gia str dị: Ai + Buy + Cc, = 0 va

d>: Aox + Boy + C)= 0 là hai đường thăng cắt nhau tại I Khi đó mọi đường thẳng d qua I có dạng : d(A¡x†+Biy+C¡) +B(A›sx + Bạy +C›;) =0 (1), với ơˆ+ >0

(1) gọi là phương trình chùm đường thắng sinh bởi d;, dạ

Người ta sử dụng phương trình “chùm đường thắng” để giải các bài toán có dạng sau:

- Viết phương trình đường thắng đi qua một điểm I là giao điểm của hai đường thang d, va d cho trước và thỏa mãn một điều kiện nào đó

Phương pháp giải như sau:

~ Viết phương trinh (1)

~ Dua vao diéu kién dau bài lập được một hệ thức giữa ơ và B

- Từ hệ thức tìm được, dựa vào điều kiện a? + B>0 chọn giá trị thích hợp của œ, 8

Thi dual: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc Hai Phong — 2004)

Trong mat phang Oxy cho hai đường thăng d:x-y+l=0vàd;:2x+y—-l=0

và điểm P(2;1) Viết phương trình đường thắng đi qua P và giao điểm cua dj, do

Giải Đường thăng d qua giao điểm của dị, d;, nên nó thuộc chùm:

Do d qua P(2:1), nén thay x = 2, y = | vao (1) va cd:

œ(2-I+]) + B(4+I-l)=0 © a +28 =0 (2)

Do a + >0 nên từ (2) chọn ơ = 2, B =-] thay lại vào (1) và có: y = 1 Thi du 2:

Cho tam giác ABC Ba canh AB, BC,CA lân lượt có phương trình là 4x ty—12=0, 4x + 5y—20 =0 vàx—y~3=0

Việt phương trình ba đường cao của tam giác

Giải Chiêu cao AA" đi qua A là giao điểm của AB, AC, nên thuộc “chùm đường thăng” sau:

a(4x + y - 12) + B(x-y-3)=0

<> (4a +B) xt (a +B)y — 12a-3B=0(1) Vectơ pháp của AA; là n, =(4a + B:a— B)

Vectơ pháp của BC là: n, = = (4 5)

Do AA’ | BC nên ta có n, n, =0

<> 4(4a + B)+5(a — B) =0

<> 2ta-B =0(2)

Do ø + “>0, nên chọn ơ = 1 => B = 21 Thay lai vao (1) co:

A’= 25x — 20y —75 = 0 <= 5x—4y- 15 =0

Hoàn toàn tương tự hai chiêu cao BB!' và CC" có phương trình là:

2x + 2y-9=0 va 2x - l2y—1=0

§2 CAC BAI TOAN XAC DINH DIEM NHO

PHUONG TRINH DUONG THANG

Các bài toán xác định điểm nhờ phương trình đường thẳng là một trong hai nội dung chính của chuyên mục đường thang trong hình học giải tích phẳng Hơn thể nữa, trong các câu hỏi thi có nội dung về đường thăng trong các dé thi tuyển sinh vào Đại học trong những năm 2002-2009, thi các bài toán thuộc loại này

chiếm tỉ lệ tới 85%

251

Phương pháp giải các bài toán thuộc loại này ngoài việc sử dụng các kiến thức

về đường thăng trong hình học giải tích, còn sử dụng nhiều đến các phép tính về tọa độ vectơ trên mặt phẳng

Loại 1: Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng:

Đây là một trong những phương pháp chính đề xác định điểm trên mặt phẳng Người ta dựa vào điều kiện đầu bài quy điểm cần tìm là giao điểm của hai đường thẳng xác định nào đó Các đường thắng này hoặc đã có sẵn, hoặc phải tìm phương trình của đường thăng đó (mà ta đã biết rất nhiều cách giải đã trình bày trong §1)

Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B — 2008)

Cho tam giác ABC, biết hình chiếu vuông góc của C trên AB là H(-1; 1)

Đường phân giác trong của A có phương trình x - y + 2 = 0, đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y — 1 = 0 Tim tọa độ đỉnh C

Gọi K là điểm đối xứng của H qua phân giác của góc A Giả sử HK cắt đường

phân giác này tại điểm M@xo; yo) Do M thuộc đường thắng x — y + 2 = 0 nên M(xo; Xo + 2) Ta có HM =(xạ +l;xạ +3) y

Đường phân giác góc A là

x—¬y+2= 0, nên có vecto chi ch! phương

A

<6 xạ†+ l+xạg†+3= Deo -2

=> M(-2; 0)

Do M là trung điểm của HK,

ma H(-1; -1) nén K(-3; 1)

Đường cao BP có phương trình

4x + 3y— ! =0, nên cạnh AC có

phương trình: 3x - 4y + m = 0

Mat khac AC qua K(-3; 1)

nén ta co:

3(-3)-4.l +m=0 © m= 13

Vi thế AC có phương trình:

3x —4y + 13 =0

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

x= 10

3x+4y+7=0 Rey” ol 3 3 =c{-.3)

4 Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Cao đăng khối A — 2009)

Cho tam giác ABC có C(—1; ~2) Đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ

từ B lần lượt có phương trình là: 5x + y— 9 =0 vàx +3y— 5 =0

Tìm tọa độ các đỉnh A, B

252