Kéo dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC cắt đường tròn O tại M.. a Chứng minh AEDF là hình vuông.. c Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ g
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN TUYỂN SINH LỚP 10 – NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ SỐ 2 Bài 1.
Cho M =
2
3 :
a) Rút gọn biểu thức M
b) Với giá trị nào của x thì M < 0
c) Tìm x để M có giá trị nguyên
Bài 2.
Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình :
x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; AC = b nội tiếp trong đường tròn tâm O Kéo dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC cắt đường tròn O tại M Vẽ các đường thẳng DE ⊥ AB , DF ⊥ AC
a) Chứng minh AEDF là hình vuông
b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF
c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên nửa đường tròn có đường kính BC
Bài 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x− +1 x2+1
BÀI GIẢI
Bài 1
a) Ta có
điều kiện : x ≠ 0 ; x ≠ 1
2; x ≠ −1
M =
2
.
x x x x x x x x
3 (2 4 ) 3
x x x
−
=
3 (1 2 ) 3
x x x
x x x
( 4 1) (1 2 )(3 1)
3 (1 2 )
x x x x
x x
−
=
2 (1 2 )(1 2 ) (1 2 )(3 1)
3 (1 2 )
x x x x x
x x
2 (1 2 ) (3 1)
3
x x x x
= 2 3
x x x
+
= 1 3
x+
b) M < 0 ⇔ x3+1< 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
c) M ∈ ⇔ x3+1 ∈ ⇔ x + 1 chia hết cho 3 ⇔ x + 1 = 3k, k ∈
⇔ x = 3k – 1 , k ∈
Hay x là số nguyên chia cho 3 dư là 2
Trang 2Bài 2.
Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình :
x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + 2 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt
Ta có : ∆ = (m + 1)2 – 4(m2 – 2m + 2) = – 3m2 + 10m – 7 = (1 – m )(3m – 7)
+ (1) vô nghiệm ⇔∆ < 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) < 0 ⇔ m < 1 hoặc m > 7
3 + (1) có nghiệm kép ⇔∆ = 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) = 0 ⇔ m =1 hoặc m = 7
3 + (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) > 0 ⇔ 1 < m < 7
3 b) Tìm m để x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Theo Vi-et, ta có :
1 2
2
1 2
1
b m
x x
a c
m m
x x a
+ = − = +
Nên : đặt E = x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 1)2 – 2(m2 – 2m + 2) = – m2 + 6m – 3 + Ta có : – m2 + 6m – 3 = – (m2 – 6m + 3 ) = – (m2 – 2.3m + 9 – 6 ) = 6 – (m – 3)2
Nhưng do (1) có nghiệm x1 ; x2 khi và chỉ khi 1 ≤ m ≤ 7
3 Giá trị lớn nhất của E là : 6 – (7
3 − 3 )2 = 50
9 Giá trị nhỏ nhất của E là : 6 – (1 – 3)2 = 2
Bài 3.
N F E
D
M
B
O
C A
a) Chứng minh AEDF là hình vuông
Ta có tứ giác AEDF có µA E F= = =µ µ 1v và đường chéo AD là phân giác của góc EAD nên AEDF là hình vuông
b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF
Áp dụng định lí Py ta go cho ∆vuông ABC : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2
⇒ BC= a2 +b2
Áp dụng tính chất phân giác trong AD : DB AB a
DC = AC =b ⇒ DB DC AB AC
DC AC
Trang 3⇒ BC a b
DC b
+
= ⇒ DC = DC b a2 b2
a b
+
= +
Từ chứng minh trênAEDF là hình vuông nên DF // AB ⇒ CD CB = DF AB
⇒
2 2
2 2
b a b
DF
a b
a
a b
+
+
a =a b
+ ⇒ DF ab
a b
= + , mà AE = DF (cmt)
EF là đường chéo hình vuông cạnh DF , nên : EF = DF 2= ab 2
a b+ c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên nửa đường tròn có đường kính BC
+ Ta có : ∆ABD ∼∆AMC do :
BAD MAC= (AD là phân giác)
ABD AMC= (góc nội tiếp chắn cung AC)
Suy ra : AB AD
AM = AC ⇒ AB.AC = AM.AD
Khi A di động trên (O) thì tam giác ABC luôn là tam giác vuông, nên AEDF luôn là hình vuông và AB.AC = AM.AD
Do đó AEDF là hình vuông ⇒ AD ⊥ EF và AD = EF
2AM EF = 2AM AD = 1 .
2AB AC = SABC
Bài 4: Đk : x≥1
Vì x2+ ≥1 1 và x≥1 nên A đạt GTNN ⇔ x−1 đạt GTNN,tức là x – 1 = 0
1
x
⇒ = Khi đó A = 1 1− + 12+ =1 2.Vậy với x = 1 thì minA = 2