Giáo án bài mệnh đề

- Nắm được các khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương.. Về kỹ năng - Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương từ hai mệnh đề đã c

Chương 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

§1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

I Mục tiêu

1 Về kiến thức

-Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết được một câu có phải là mệnh đề (theo ý nghĩa toán học) hay không?

- Nắm được các khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương

2 Về kỹ năng

- Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng - sai của các mệnh đề này

- Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc an cho biến một giá trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu  và  vào phía trước nó

- Biết sử dụng các kí hiệu  và  trong các suy luận toán học

- Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề chứa kí hiệu  và 

3 Về thái độ

Nghiêm túc, nề nếp, tích cực tham gia xây dựng bài

II Chuẩn bị phương tiện dạy hoc

GV: phiếu học tập, giáo án, phấn

HS: SGK, vở ghi

Phương pháp: vấn đáp

III Nội dung bài học

Hoạt động 1: Mệnh đề là gì?

Hoạt động 2: Mệnh đề phủ định Hoạt động 3: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

Hoạt động 4: Mệnh đề tương đương

Hoạt động 5: Khái niệm mệnh đề chứa biến

Hoạt động 6: Các kí hiệu  và  Hoạt động 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , 

IV Tiến trình bài học

Tiết 1

Hoạt động 1: Mệnh đề là gì?

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

VD1: yêu cầu nhận xét

Những câu nào khẳng định là

đúng, câu nào khẳng định là sai

+ Gọi HS cho một vài ví dụ và

nhận xét

+ phát biểu thế nào là mệnh đề

logic?

xem VD1- SGK trang 4

Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

+ Đọc chú ý – SGK trang 4

ĐN: SGK trang 4

*) Chú ý

Câu cảm thán, câu hỏi không phải mệnh đề VD?

Hoạt động 2: Mệnh đề phủ định

1 VD2: Nhận xét 2 bạn

trong tranh làm gì?

+ Muốn phủ định đúng

thành câu khẳng định sai

thì làm thế nào?

2 Gọi 1 HS cho một

mệnh đề và 1 HS khác

phủ định mệnh đề đó

H1:

Áp dụng làm BT2a).

Xem VD2 (tranh vẽ SGK)

- Muốn phủ định một câu đúng (P) thành câu khẳng định sai có thể diễn đạt “không phải P”

HS hoạt động theo nhóm

Cho ví dụ tương tự vd2

H1:

a) “Pari không phải là thủ đô của

nước Anh” Đây là MĐPĐ đúng

b) “2002 không chia hết cho 4”.

MĐPĐ này đúng

BT2a:“Phương trình x23x 2 0

vô nghiệm” MĐPĐ sai

Định nghĩa: SGK tr 5.

Kí hiệu: P

VD: P: Hà Nội là thủ

đô của nước Pháp

P : Hà Nội không phải

thủ đô của nước Pháp

Nếu P đúng thì P sai còn nếu P sai thì P

đúng

Hoạt động 3: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

Gọi HS cho ví dụ về mệnh đề kéo

theo Nhận xét xem đúng hay sai

Dựa vào tính đúng sai của MĐ kéo

theo có thể cho HS bảng giá trị chân

lý Bảng giá trị chân lý: nếu quy ước

nếu P đúng thì P nhận giá trị là 1, còn

nếu P sai thì P nhận giá trị bằng 0

VD4: sgk 5

+) Cho vd mệnh đề PQ yêu cầu

cả lớp lập mệnh đề QP

HS đọc VD3 và nêu định nghĩa

Dựa vào mệnh đề kéo theo đúng – sai từ đó rút

ra kết luận về tính đúng sai của mệnh đề kéo theo

HS rút ra kết luận,

VD4: a) Dựa vào tình

huống P đúng, Q đúng

khi đó PQ là đúng

b) P đúng, Q sai khi đó

PQ là sai

VD: Nếu tứ giác có hai

đường chéo vuông góc thì tứ giác đó là một hình thoi

Định nghĩa: sgk trang 5.

Mệnh đề đảo: Mệnh

đề QP là mệnh

đề đảo của mệnh đề

P  Q

Hoạt động 4: Mệnh đề tương đương.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung kiến thức

Xem vd6 và nhận xét:

P  ? Q Q  ? Nếu viết “P nếuP

và chỉ nếu Q” thì được gọi là một

MĐ tương đương

*) Thành lập mệnh đề tương đương

với mệnh đề sau:

P: “tam giác ABC là tam giác đều”

Q:” tam giác ABC có hai trung

Đọc VD6

HS thảo luận và rút ra nhận xét

PQ : “ Tam giác ABC là tam giác đều nếu

và chỉ nếu tam giác ABC

có hai trung tuyến bằng

Định nghĩa: sgk 5

Kí hiệu: P  Q

Đôi khi người ta cũng phát biểu mệnh đề

PQ là “P khi và

chỉ khi Q”.

Mệnh đề PQ đúng nếu cả hai mệnh đề P

tuyến bằng nhau và có một góc

bằng 60 0

GV ghi kết luận lên bảng

H3: a) Giống ví dụ trên

b)i) PQ “Vì 364 và 363 nên

3612”.

QP “Vì 3612 nên 36 4 và

363”.

PQ “ 364 và 363 nếu và chỉ

nếu 3612”.

ii) P: mệnh đề đúng

Q: mệnh đề đúng

PQ mệnh đề đúng

nhau và có một góc bằng

0

60 ”

PQ là mệnh đề đúng

và QP là mệnh đề đúng

nên PQ là MĐ đúng

HS ghi định nghĩa

HS nhận xét tính đúng sai của mệnh đề tương đương

và Q cùng đúng hoặc cùng sai Khi đó, ta nói rằng hai mệnh đề P

và Q tương đương với nhau

PQ Sai khi P sai

và Q đúng hoặc P đúng và Q sai

Tiết 2

Hoạt động 5: Khái niệm mệnh đề chứa biến.

Giảng VD7.

(1): “ n3” với n là số tự nhiên

(2): “y>x+3” với x, y là 2 số thực

(1), (2) là những câu chứa một hay nhiều

biến nhận giá trị trong một tập hợp X nào

đó

tính đúng sai của chúng tuỳ thuộc vào giá

trị cụ thể của các biến đó

*) MĐ chứa biến chính là những ptrình,

bpt

H4: P(x): “ x > x2với x là số thực” Hỏi

mệnh đề P(2) và P(

2

1 )đúng hay sai

HS xem vd7 SGK 7

HS nhắc lại mệnh đề chứa biến

H4: P(x): “ x > x2với x

là số thực”

P(2) : “2 > 4” là MĐ sai

P(

2

1 ): “

2

1 > 1

4 ” là

MĐ đúng

HS nêu ví dụ

(1): “ n3” với n là

số tự nhiên

(2): “y>x+3” với x,

y là 2 số thực Các kiểu câu như câu (1); (2) đgl những mệnh đề chứa biến

VD: “n chia hết cho 5: với n là số

tự nhiên; “x <

6x2 < 36 với x

là số thực;

Hoạt động 6: Các kí hiệu  và  Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi

a) Kí hiệu  : “Với mọi

x  X, P(x) đúng” (hay

“P(x) đúng với mọi

x X”) Để xác định tính

đúng sai của mệnh đề

“  x  X, P(x)” ta phải

kiểm tra xem với tất cả

các giá trị của x X, P(x)

có đúng hay không

+ Nếu phát hiện được một

giá trị x0  X sao cho

P( x0 ) sai thì MĐ

“ xX, P(x)” là sai

+ Nếu không phát hiện

một x nào như vậy thì0

MĐ “  x  X, P(x)” là

đúng

VD8: sgk 7

H5: Hoạt động cả lớp.

b) ký hiệu 

H6:  n  N: Q(n) “2n là

mệnh đề đúng Vì n = 3 thì

23 – 1 = 7 là số nguyên

tố

“ n N P, (3) 2 3  ”1 9

với x là số thực khi đó MĐ

“ x R P x, ( )” đúng vì với bất kì x R , P(x) đều đúng

b) P(n): “ 2n1 là số nguyên tố” Với n là số tự nhiên Khi đó MĐ:

“  n N P n, ( ) ” sai vì

“P(3) 2 3  ”không là1 9

số nguyên tố nên MĐ này sai

H5: MĐ sai.

P(n): “n(n+1) là số lẻ” với

n là số nguyên Mệnh đề

“n Z, P(n)” là mệnh đề sai + Yêu cầu HS tìm kí hiệu  và  gán vào mệnh

đề chứa biến để được mệnh

đề đúng

a) Kí hiệu  (lượng từ mọi): Kí hiệu: “ x  X, P(x)”

kí hiệu  đọc là “mọi”

b) Kí hiệu  (lượng từ tồn tại) KH: “  xX, P(x)” (1) (1) đúng nếu có x0X

để P( x ) là mệnh đề0

đúng

(1) Sai nếu với x bất kì0

thuộc X, P( x ) là mệnh0

đề sai

Kí hiệu  đọc là “tồn tại”

VD9 – sgk 8

Hoạt động 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu  , 

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi

H7: Hoạt động nhóm.

Nêu ví dụ phủ định

mệnh đề

+ VD1:  xR :

x2> x + 1 là gì ?

+ VD2:  x  Z:

x   là một số lẻ.x

H7: HS hoạt động theo

nhóm

VD1:  x R: x2 x 1

VD2: Phủ định là:  x Z:

x   là một số chẵn.x

Nhắn nhở HS phủ định của tất cả

là có một từ đó HS tìm phủ định với mọi là tồn tại

Định nghĩa: Cho mệnh đề chứa

biến P(x) với x X.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề

“  x  X, P(x)” là “  x  X,

( )

P x ”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề

“  x  X, P(x)” là “  x  X,

( )

P x ”.

V- Củng cố:

Yêu cầu HS phải lập được các mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, phủ định mệnh đề có chứa biến

Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà BT2 đến BT5 – sgk 9

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC (2tiết).

I Mục tiêu

1 Về kiến thức

- Hiểu rõ phương pháp suy luận toán học

- Nắm vững các phương pháp chứng minh trực tiếp và chứng minh bằng phản chứng

- Biết phân biệt giả thiết và kết luận của định lý

- Biết phát biểu mệnh đề đảo, định lý đảo, biết sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”,

“điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” trong phát biểu toán học

2 Về kỹ năng

Chứng minh được một số mệnh đề bằng phương pháp phản chứng

3 Về tư duy

Góp phần bồi dưỡng tư duy logic và năng lực tìm tòi sáng tạo

4 Về thái độ

Nề nếp, nghiêm túc, tích cực xây dựng bài

II Chuẩn bi của giáo viên và của học sinh

Chuẩn bị của GV: bài soạn, phấn,

Chuẩn bị của HS: sgk, vở ghi, đồ dùng học tập và các kiến thức đã học có liên quan Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở vấn đề

III Kế hoạch bài học

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý

Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ

Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ

III Tiến trình bài học

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

Yêu câu HS nhắc lại mệnh đề, mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương

Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý.

Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi

-VD1 – sgk 10 - VD1 – sgk 10

Yêu cầu HS phát biểu một

Định lý : sgk 10.

“ x X P x, ( )Q x( )” (1)

VD: “ r R  , nếu r là

số hữu tỷ thì r2  ”2 0

- Thử đưa ra nhận xét về

sự giống nhau giữa các

định lý đó

- Phát biểu lại các cách

chứng minh định lý

- Chứng minh định lý

trong VD1-sgk bằng

cách chứng minh trực

tiếp

- Chứng minh đlý trong

vd2-sgk bằng cách

chứng minh phản chứng

H1: Giả sử 3n +2 lẻ và n

= 2k (k N ) Khi đó

3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k +

1) chẵn (mâu thuẫn) suy

ra đpcm

vài định lý

- Có định lý không phát biểu

ở dạng (1) ví dụ: “Có vô

số số nguyên tố”

VD: phát biểu định lý “ 2 là

số vô tỷ” dưới dạng (1)?

- Điều chỉnh và xác nhận các nhận xét của HS

*) CM định lý

- CM trực tiếp ta cần chứng

( ) ( )

P x Q x đúng Lấy tuỳ

ý x X mà P(x) đúng (vì

P(x) sai thì dù Q(x) đúng hay

sai thì P(x) vẫn đúng).

-CM phản chứng:

MĐPĐ của dạng (1): k N

để đi đến mâu thuẫn: (2) sai

do đó (1) đúng

H1?

trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X

là một tập hợp nào đó.

*) Chứng minh định lý:

có 2 cách: trực tiếp và gián tiếp bằng phản chứng

- Chứng minh trực tiếp

Khi đó việc chứng minh MĐ ( ) ( )

P x Q x đúng tương đương với việc chứng minh

x X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng

- Chứng minh gián tiếp:

+ Giả sử tồn tại x0X ,

0

( )

P x đúng Q x sai, tức là( )0 (1) sai

+ Dùng suy luận và kiến thức toán học đã học để đi đến mâu thuẫn suy ra đpcm

Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ.

Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi

- Trả lời vai trò của

P(x), Q(x)

- Phát biểu một vài

- Đặt câu hỏi trong đlý P(x), Q(x) có vai trò gì?

- HS phát biểu một đlý và

Cho định lý:

“ x X P x, ( )Q x( )” P(x) được gọi là giả thiết và

định lý và phát biểu lại

bằng cách sử dụng

điều kiện cần và điều

kiện đủ

H2: P(n):“n chia hết

cho 24”

Q(n): “ n chia hết cho

8”

phát biẻu lại bằng thuật ngữ

“điều kiện cần”, “điều kiện đủ”

- Điều chỉnh và xác nhận lai các phát biểu của HS

- Lưu ý một điều kiện nào là

dủ nhưng không là điều kiện cần hoặc ngược lại

H2?

VD: Điều kiện: “tứ giác có 2

đường chéo bằng nhau” là

điều kiện cần để tứ giác đó là

HCN

+ Điều kiện “tứ giác có 4 góc

bằng nhau” là điều kiện đủ

để tứ giác nội tiếp được

Q(x) là kết luận của định lý.

- P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)

- Q(x) là điều kiện cần để có P(x)

VD: HS điền từ thích hợp vào

dấu “ ” và giải thích?

+ Điều kiện để tứ giác là HCN là tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau

+ Điều kiện để một tứ giác lồi nội tiếp là tứ giác có 4 góc bằng nhau

Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ.

Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi

- Phát biểu mệnh đề

đảo của đlí (1)

- Phát biểu mệnh đề

đảo của hai ví dụ

- Nhận xét về tính

đúng sai của hai mệnh

đề đảo đó

- Yêu cầu HS phát biểu mệnh đề đảo của đlý (1)

- Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó

- Xét cụ thể hai VD ở phần trên

- Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó

- Điều chỉnh và xác nhận các nhận xét của HS

MĐ đảo của định lý dạng (1):“xX,Q(x)P(x)” (2)

MĐ (2) có thể đúng hoặc sai Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi

là định lý đảo của định lý dạng

(1) Lúc đó định lý dạng (1) sẽ

được gọi là định lý thuận Định

lý thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lý

“ x X P x, ( )Q x( )” Khi đó,

ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ

IV Củng cố:

Tóm tắt lại các kiễn thức đã học trong bài

Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà SGK trang 12

*) Hướng dẫn HS làm BT

Bài 8, 9 HS hiểu đk thế nào là đk cần nhưng chưa đủ hoặc ngược lại

Bài 8: “Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỷ là cả hai số a, b đều là số hữu tỷ”

Chú ý: Đk này là đk đủ nhưng không cần vì :

Chẳng hạn với a 2 1 ; b 2 1 thì a + b = 2 là số hữu tỷ nhưng a, b đều là số vô tỷ.

Bài 9: Điều kiện cần “để một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5”

Chú ý: Đk này không đủ vì chia hết cho 5 chưa chắc đã chia hết cho 15

VD” 10 chia hết cho 5 nhưng 10 không chia hết cho 15

Bài 11: CM: “nếu n N n ; 25 thì n ”5

Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng CM bằng phản chứng gồm những bước gì?

Chứng minh:

Giả sử n N n ; 2 thì n không chia hết cho 5 suy ra5 n5k1;n5k2

+ Nếu n5k1(k N ) ta có n2 25k210k 1 5 (5k k   không chia hết cho 5 (1)2) 1 + Nếu n5k2(k N ) ta có n2 25k220k 4 5 (5k k   không chia hết cho 5 (2).4) 4

Từ (1), (2) mâu thuẫn với n N n ; 25 do đó ta có đpcm

Bài 1.19 SBT 10 Cho các MĐ chứa biến

P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n+4 là số chẵn”

a) MĐ " n N P n, ( )Q n( )": “ n N, n là số chẵn thì 7n + 4 là số chẵn”

Chứng minh:

nếu n chẵn thì 7n cũng là số chẵn suy ra 7n + 4 là số chẵn vì tổng của hai số chẵn là số chẵn.

b) Định lý đảo: “Mọi số tự nhiên n, nếu 7n + 4 là số chẵn thì n chẵn”.

Chứng minh:

Nếu 7n + 4 chẵn, đặt 7n + 4 = 2k  7n = 2k – 4 chẵn Vì 7n chẵn nên n chẵn.

c) Gộp định lý thuận và định lý đảo: “ Với mọi số tự nhiên n, n chẵn khi và chỉ khi 7n + 4 là

số chẵn”

Bài 1.22+1.23 SBT 10 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định

lý sau:

a) Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là hai tam giác đó bằng nhau.

b) Điều kiện đủ để một hình thang là hình thang cân là hai đường chéo của nó bằng nhau c) Tam giác ABC là cân tại A điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC cũng là đường cao.

d) Để một số nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng của hai số chính phương điều kiện

cần là số đó có dạng 4k + 1.

e) Cho m, n là hai số nguyên dương Điều kiện cần để m2n2 là số chính phương là tích

mn chia hết cho 12.

Bài 1.24 SBT 11.

Định lý đảo: “Nếu m, n là hai số nguyen dương và m2n2 chia hết cho 3 thì cả m và n đều

chia hết cho 3”

Chứng minh:

+) nếu một trong hai số m hoặc n không chia hết cho 3 thì tổng m2n2 không chia hết cho 3

+) vai trò của m, n là như nhau nên ta giả sử m, n đều không chia hết cho 3 khi đó ta đặt

" n N P n, ( )Q n( )" chia cho 3 đều dư 1 nên m2n2 chia cho 3 dư 2

Vậy điều giả sử m, n đều không chia hết cho 3 là sai do đó m2n2 chia hết cho 3 khi cả hai số

m, n đều chia hết cho 3.

Vậy: “Cho hai số m, n nguyên dương Điều kiện cần và đủ để m2n2 chia hết cho 3 là cả hai

số m, n đều chia hết cho 3”