Đại cương về không gian vec tơ tô pô khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh ở phần bài tập Một tập Y ⊂ X được gọi là một không gian con của X nếu chính Y cũng làmột không gian tất nhiên đối với cùng các phép toán trên X... Mọi không gian định chuẩn có

UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

NGUYỄN CÔNG MINH

ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN VEC-TƠ TÔ-PÔ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sư Phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học

Tp Hồ Chí Minh - 2017

.

UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

NGUYỄN CÔNG MINH

ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN VEC-TƠ TÔ-PÔ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sư Phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học

Người hướng dẫn: Ts LÊ MINH TUẤN

Tp Hồ Chí Minh - 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, nội dung được nêutrong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một côngtrình nào khác

Tác giả luận vănNGUYỄN CÔNG MINH

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Lê Minh Tuấn, người không những đãgiúp tôi tiến bộ rất nhiều trong việc học Toán, khơi dậy niềm đam mê học tậptrong tôi mà còn là người trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này.

Bốn năm Đại học sắp trôi qua với những trải nghiệm và trưởng thành hơn,tôi thực sự biết ơn những giúp đỡ và hi sinh cả về thời gian và tâm sức của quíthầy cô và các bạn đã dành cho tôi Tôi sẽ cố gắng chăm chỉ hơn, tiến bộ hơn

để có thể giúp đỡ người khác

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gianđược trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liêntục giữa chúng Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việcnghiên cứu các đại số tô-pô, một đối tượng khác của giải tích hàm Các kết quả

và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyếtphương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bàitoán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, Ra đời vàonhững năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trìnhtích phân của Hilbert, Fredholm, , đến nay giải tích hàm tích lũy được nhữngthành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu vàtrình bày các kiến thức toán học

Đặc biệt, Không gian tô-pô là cơ sở và là nền tảng sơ khởi cho ngành toánnày Tuy nhiên, ở chương trình toán ở các Đại học Việt Nam nói chung và Đạihọc sài Gòn nói riêng, môn Giải tích hàm được tiếp cận thông qua không gianĐịnh chuẩn và Không gian Metric mà không có liên hệ nhiều với môn tô-pô đạicương mà trước đó sinh viên chúng tôi đã được học Điều đó thật đáng tiếc!Bên cạnh đó, tôi thực sự hứng thú với hướng tiếp cận môn học này thông quaKhông gian tô-pô, nên tôi đã thực hiện đề tài "Đại cương về Không gian tô-pô"nhằm mở rộng tầm hiểu biết của bản thân và có thêm một góc nhìn mới, mộthướng tiếp cận hầu như khác hẳn và khó khăn hơn những gì tôi được học

2 Mục đích nghiên cứu

Ngoài lý do làm thỏa mãn sự tò mò và nhu cầu cải thiện năng lực của bản thân

và liên kết lại những thứ đã được học, mục đích nghiên cứu đề tài này của tôichính là cung cấp một hướng tiếp cận khác đối với môn Giải tích hàm thôngqua ngôn ngữ tô-pô, đồng thời tạo ra một tài liệu tham khảo đáng tin cậy chonhững ai hứng thú với hướng nghiên cứu này

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Không gian tô-pô

Khách thể nghiên cứu: Giải tích hàm

4 Giả thiết khoa học

Không có

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ các khái niệm, định lí, tính chất, về cấu trúc Không gian tô-pô.Giải quyết các bài tập, ví dụ nhằm minh họa cho Không gian tô-pô

6 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung Khóa luận này chủ yếu dựa vào quyển Functional Analysis của WalterRudin, McGraw-Hill Book Company, 1973

Thời gian: 1 năm (Từ tháng 5 năm 2016 đến tháng 5 năm 2017)

Địa điểm: Đại học Sài Gòn

7 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu về tô-pô

và Giải tích hàm đã được học, phân tích chúng thành từng bộ phận để tìm hiểusâu sắc từng đối tượng Liên kết từng khái niệm, tính chất đã được phân tíchnhằm làm rõ ràng và sáng tỏ về Không gian tô-pô

Phương pháp chuyên gia: Hỏi ý kiến thầy Lê Minh Tuấn và bạn Nguyễn KhánhTrường hướng nghiên cứu và những vấn đề khó giải quyết

8 Dự kiến cấu trúc nội dung đề tài nghiên cứu nghiên cứu

Ngoài phần Bìa, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Phần mở đầu, Tài liệu tham khảo,khóa luận này dự kiến có 3 phần chính:

Chương 1: Không gian tô-pô

Chương 2: Phụ lục

Chương 3: Bài tập minh họa

Mục lục

1.1 Ghi chú 11

1.2 Không gian vec-tơ 11

1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric 13

1.4 Các không gian hàm 14

1.5 Không gian tô-pô 15

1.6 Không gian vec-tơ tô-pô 16

1.6.1 Mệnh đề 16

1.7 Tính bất biến 17

1.7.1 Mệnh đề 18

1.7.2 Hệ quả 18

1.7.3 Mệnh đề 18

1.8 Các kiểu không gian tô-pô 19

1.9 Một số mối quan hệ giữa các tính chất này trong một không gian tô-pô X 20

Các tính chất rời rạc 20 1.10 Định lí 20

1.10.1 Mệnh đề 21

1.10.2 Hệ quả 22

1.11 Định lí 23

1.12 Định lí 23

1.13 Định lí 23

1.14 Định lí 25

1.14.1 Hệ quả 27

1.15 Định lí 27

Ánh xạ tuyến tính 29 1.16 Các định nghĩa 29

1.16.1 Tính chất 29

1.17 Định lí 30

1.18 Định lí 30

1.18.1 Mệnh đề 31

Không gian hữu hạn chiều 31 1.19 Các định nghĩa 31

1.19.1 Mệnh đề 32

1.20 Bổ đề 32

1.21 Định lí 33

1.21.1 Mệnh đề 33

1.22 Định lí 34

1.23 Định lí 35

Phép Metric hóa 35 1.24 Định lí 35

1.24.1 Mệnh đề 36

1.24.2 Mệnh đề 37

1.25 Dãy Cauchy 38

1.25.1 Mệnh đề 39

1.25.2 Mệnh đề 39

1.26 Định lí 39

1.27 Định lí 40

1.28 Định lí 40

Tính bị chặn và tính liên tục 41 1.29 Tập bị chặn 41

1.29.1 Mệnh đề 42

1.30 Định lí 42

1.31 Các phép biến đổi tuyến tính bị chặn 43

1.32 Định lí 44

Nửa chuẩn và tính lồi địa phương 45 1.33 Các định nghĩa 45

1.34 Định lí 45

1.35 Định lí 47

1.36 Định lí 48

1.37 Định lí 48

1.38 Các chú ý 50

1.39 Định lí 52

Không gian thương 52 1.40 Các định nghĩa 52

1.41 Định lí 53

1.42 Định lí 55

1.43 Các nửa chuẩn và các không gian thương 56

Các ví dụ 56 1.44 Không gian C(Ω) 56

1.45 Không gian H(Ω) 57

1.46 Không gian C∞(Ω) và DK 57

1.46.1 Mệnh đề 59

1.47 Không gian Lp với 0 < p < 1 60

1.47.1 Mệnh đề 61

1.47.2 Hệ quả 62

Tài liệu tham khảo88 Chỉ mục.89

1 KHÔNG GIAN tô-pô

1.1 Ghi chú

Khóa luận này được dựa trên cuốn Functional Analysis của W.Rudin, do đó đểtiện theo dõi, cấu trúc chính (các đề mục) sẽ được giữ nguyên Các mục khôngchứng minh sẽ được chứng minh ở phụ lục

1.2 Không gian vec-tơ

Các chữ in hoa R và C sẽ luôn được dùng để kí hiệu lần lượt cho trường số thực

và trường số phức Lúc này,Φviết tắt cho R hoặc C Một vô hướng là một phần

tử của trường vô hướng Φ Một không gian trên Φ là một tập hợp X mà cácphần tử của nó được gọi là các với hai phép toán, phép cộng và phép nhân vôhướng được định nghĩa với các tiên đề đại số quen thuộc sau:

(a) Với mọi cặp x và y, có tương ứng một x + y sao cho

x + y = y + x,và

Một không gian thực là một không gian trên trường số thực (Φ = R); mộtkhông gian phức là một không gian trên trường số phức (Φ = C) Bất kì phát

biểu nào về các không gian trên trường vô hướng không rõ ràng thì được hiểungầm là cả hai trường hợp trên.

Nếu X là một không gian với A ⊂ X, B ⊂ X, x ∈ X và λ ∈ Φ, các kí hiệu sauđây sẽ được sử dụng:

x + A = {x + a : a ∈ A},

x − A = {x − a : a ∈ A},

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},

λA = {λa : a ∈ A}.

Đặc biệt (chọnλ = −1),−A kí hiệu cho tập tất cả các phần tử đối của các phần

tử thuộc A

Lưu ý: 2A 6= A+A, A +∅ = ∅, A − A 6= {0} (Chứng minh ở phần bài tập)

Một tập Y ⊂ X được gọi là một không gian con của X nếu chính Y cũng làmột không gian (tất nhiên đối với cùng các phép toán trên X) Dễ dàng kiểmtra điều này xảy ra nếu và chỉ nếu 0 ∈ Y và

αY + βY ⊂ Yvới mọi vô hướng α và β

Một tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với 0 ≤ t ≤ 1 thì

tC + (1 − t)C ⊂ C.

Một tập B ⊂ X được gọi là cân bằng nếu với α ∈ Φ và|α| ≤ 1 thì

αB ⊂ B.

Một không gian X có n chiều (hoặc Không gian n chiều) (dimX = n) nếu X

có một cơ sở gồm n phần tử u 1 , , u n Điều này nghĩa là với mọi x ⊂ X có mộtbiểu thị tuyến tính duy nhất có dạng:

x = α 1 u 1 + + α n u nvới α i ∈ Φ

Lưu ý: Nếu dimX = n, với n nào đó, X được gọi là hữu hạn chiều NếuX =∅,khi đó dimX = 0

• Ví dụ: Nếu X = C (một không gian một chiều trên trường vô hướng C)thì các tập cân bằng đáng lưu ý bao gồm C, tập ∅ và mọi đĩa tròn (đónghoặc mở) có tâm tại 0.

Nếu X =R2 (một không gian hai chiều trên trường vô hướng R) thì các tậpcân bằng đáng lưu ý là mọi đoạn thẳng có trung điểm tại (0, 0)

1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric

Cho một không gian X trên Φ Một ánh xạ

k · k : X −→ Φ

x 7−→ kxkđược gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau đây thỏa với mọi x, y ∈ X,

d : X × X −→R(x, y) 7−→ d(x, y)được gọi là một metric trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y, z ∈ X,(a) 0 ≤ d(x, y) < ∞,

Mọi không gian định chuẩn có thể được xem như một không gian metric vớikhoảng cách d(x,y) giữa x và y là kx − yk, ta có thể gọi đây là metric sinh bởichuẩn.

Trong không gian metric bất kì , quả cầu mở với tâm tại x và bán kính r làmột tập

lần lượt là các quả cầu mở đơn vị và quả cầu đóng đơn vị trong X

Một tập con của một không gian metric là mở nếu và chỉ nếu nó là một hợpcủa các quả cầu mở Đặc biệt, X và ∅ là các tập mở

Bằng việc lấy họ tất cả các hợp bất kì của tất cả các quả cầu mở, ta thu đượcmột tô-pô

Các phép toán trong không gian (phép cộng và phép nhân vô hướng) là liêntục trong tô-pô nếu metric được sinh ra từ một chuẩn như trên

Một Không gian Banach là một không gian định chuẩn mà đầy đủ trongmetric được định nghĩa bởi chuẩn của nó; nghĩa là mọi dãy Cauchy trong khônggian đó đều hội tụ

1.4 Các không gian hàm

Nhiều không gian hàm phổ biến là các không gian Banach, ví dụ như: Khônggian các hàm số liên tục trên các không gian compact, họ các không gian Lpxuất hiện trong định lí tích phân, các không gian Hilbert - quan hệ mật thiếtnhất với các không gian Euclid, các không gian của các ánh xạ tuyến tính từmột không gian Banach và một không gian Banach khác, Banach đại số Tất cả

sẽ xuất hiện ở phần sau

Tuy nhiên cũng có nhiều không gian quan trọng không khớp với các cấu trúcnày Sau đâu là một vài ví dụ:

(a) C(Ω), không gian tất cả các hàm phức liên tục trên một tập mở Ω nào đótrong không gian Euclidean Rn

(b) H(Ω), không gian tất cả các hàm giải tích trên một tập mở Ω nào đó trongmặt phẳng phức.

(c) CK∞, không gian của vô hạn tất cả các hàm vi phân phức trên Rn, mà triệttiêu bên ngoài tập compact K được cố định nào đó với phần trong khôngrỗng

Các không gian này kèm theo các tô-pô một cách tự nhiên mà không thể đượcsinh ra bởi chuẩn, chúng ta sẽ thấy sau Chúng cũng như các không gian địnhchuẩn là ví dụ cho các không gian tô-pô - một khái niệm xuyên suốt trong môngiải tích hàm

1.5 Không gian tô-pô

Một không gian tô-pô là một tập S với một họτ các tập con (gọi là các tập mở )

đã được chỉ rõ, với các tính chất sau:

Một tập E ⊂ S là đóng nếu và chỉ nếu phần bù của nó là mở Bao đóng Ecủa E là giao của tất cả các tập đóng chứa E Phần trong Eo của E là hợp củatất cả các tập mở là tập con của E Một lân cận của một điểm p ∈ S là một tập

Một họ γ các lân cận của một điểm p ∈ S là một cơ sở địa phương tại p nếumọi lân cận của p đều chứa một phần tử khác của γ.

Nếu E ⊂ S và nếu σ là một họ của tất cả các giao E ∩ V, với V ∈ τ, khi đó σ

là một tô-pô trên E (dễ dàng kiểm tra), ta gọi tô-pô này là tô-pô trên E đượcthừa hưởng (cảm sinh) từ S

Nếu một tô-pô τ được cảm sinh bởi một metric d (xem phần trên) thì ta nóirằng d và τ là tương thích nhau

Một dãy {xn } trong một không gian Hausdorff X hội tụ về một điểm x ∈ X(hoặc lim n→∞ x n = x) nếu mọi lân cận của x chứa tất cả hữu hạn điểm x n.1.6 Không gian vec-tơ tô-pô

Giả sử τ là một tô-pô trên một không gian X sao cho

(a) Tập gồm 1 điểm của X đều là một tập đóng, và

(b) Các phép toán trong không gian là liên tục đối với τ 1

Với hai điều kiện này, τ được gọi là một tô-pô trên X, và X là một khônggian tô-pô

Điều kiện (a) có thể được phát biểu lại chính xác hơn như sau: Với mọi x ∈ X,tập {x} có duy nhất một phần tử x là một tập đóng

Trong nhiều tài liệu, (a) được bỏ qua trong định nghĩa của một không giantô-pô (Định lí 1.12 sẽ chứng minh rằng cả (a) và (b) kéo theo τ là một tô-pôHausdorff

1.6.1 Mệnh đề.

Phép cộng liên tục nghĩa là ánh xạ

+ : X × X −→ X (x, y) 7−→ x + yphải liên tục: Xét x i ∈ X với i = 1, 2 và V là một lân cận của x 1 + x 2, khi đótồn tại các lân cận V i của x i sao cho

V 1 + V 2 ⊂ V.

1 Cho X và Y là các không gian tô-pô Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi tập con mở V của Y thì f −1 (V ) là một tập con mở của X (Tham khảo phần Continuous Functions cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.)

Hình 1: Minh họa cho lân cận tổng.

Tương tự, phép nhân vô hướng là liên tục, nghĩa là ánh xạ:

· : Φ × X −→ X (α, x) 7−→ αxphải liên tục: Nếu x ∈ X, α là một vô hướng, và V là một lân cận của αx, khi

đó tồn tại r > 0 và lân cận W nào đó của x sao cho

βW ⊂ Vvới |β − α| < r

Một tập con E của một không gian tô-pô được gọi là bị chặn nếu với mọi lâncận V của 0 trong X tương ứng với một số s > 0 sao cho

E ⊂ tVvới mọi t > s

1.7 Tính bất biến

Cho X là một không gian tô-pô Kết hợp với mỗi a ∈ X và mỗi vô hướng λ 6= 0, phép tịnh tiến T a và phép vị tự Mλ có công thức sau:

T a (x) = a + x, M λ (x) = λxvới x ∈ X

Mệnh đề sau đây là vô cùng quan trọng:

sV tV

Hình 2: Minh họa cho tập E bị chặn.

1.7.1 Mệnh đề.

T a vàMλ là các đồng phôi 2 từ X vào X (X là không gian tô-pô)

Một hệ quả của mệnh đề này là mọi tô-pô τ là bất biến đối với phép tinh tiến(hoặc đơn giản là bất biến):

1.7.2 Hệ quả.

Một tập E ⊂ X là mở trong không gian tô-pô 3 nếu và chỉ nếu mỗi phép tịnhtiến của a + E là mở Do đóτ hoàn toàn được xác định bởi một cơ sở địa phươngbất kì

Trong tài liệu này, thuật ngữ cơ sở địa phương sẽ luôn có nghĩa là cơ sở địaphương tại 0 Một cơ sở địa phương của một không gian tô-pô X do đó là một

họ B các lân cận của 0 sao cho mọi lân cận của 0 đều chứa một phần tử của B

3 Cho (X, τ ), tập con U của X được gọi là mở nếu U ∈ τ (Tham khảo phần tô-pôlogical Spaces cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.)

Hình 3: Minh họa cho cơ sở địa phương.

Một metric d trên một không gian X được gọi là bất biến nếu

d(x + z, y + z) = d(x, y)với mọi x, y, z thuộc X

1.8 Các kiểu không gian tô-pô

Trong các định nghĩa sau đây, X luôn được kí hiệu cho không gian tô-pô vớitô-pô τ

(a) X là lồi địa phương nếu có một cơ sở địa phương B mà các phần tử của nó

là lồi

(b) X là bị chặn địa phương nếu 0 có một lân cận bị chặn

(c) X là compact địa phương nếu 0 có một lân cận mà bao đóng của nó làcompact

(d) X là metric hóa được nếu τ tương thích với một metric nào đó

(e) X là một không gian - F nếu tô-pôτ của nó được cảm sinh bởi một metric

d đầy đủ bất biến

(f ) X là một không gian Fréchet nếu X là một không gian - F lồi địa phương.(g) X là chuẩn hóa được nếu có một chuẩn tồn tại trên X sao cho metric sinhbởi chuẩn là tương thích với τ

(h) Các không gian định chuẩn và không gian Banach đã được định nghĩa (ởphần 1.2)

(i) X có tính Heine - Borel nếu mọi tập con đóng và bị chặn của X là compact

Thuật ngữ ở (e) và (f )không phổ biến: Trong vài tài liệu, tính lồi địa phươngđược bỏ qua trong định nghĩa của một không gian Fréchet, ngược lại một sốngười khác lại dùng không gian - F để mô tả cái mà chúng ta gọi là không gianFréchet.

1.9 Một số mối quan hệ giữa các tính chất này trong một không gian tô-pô X

(a) Nếu X bị chặn địa phương, khi đó X có một cơ sở địa phương đếm được.(Phần (c) định lí 1.15)

(b) X có chiều hữu hạn nếu và chỉ nếu X compact địa phương (Định lí 1.21,1.22)

(c) Nếu một không gian bị chặn địa phương X có tính chất Heine - Borel, khi

Không gian H(Ω) và CK∞ được đề cập ở phần 1.3 là các không gian Fréchet

vô hạn chiều với tính chất Heine - Borel (phần 1.45, 1.46) Do đó chúng không

bị chặn địa phương, dẫn tới không chuẩn hóa; điều này chỉ ra rằng điều ngượclại của (a) là sai

Mặt khác, tồn tại các không gian - F bị chặn địa phương mà không lồi địaphương (Phần 1.47)

đó K + V là một tập mở chứa K Vì vậy định lí hàm ý sự tồn tại của hai tập mởrời nhau lần lượt chứa K và C

Chứng minh.

Ta sẽ chứng minh K + V = S

x∈K (x + V ) Xét bất kì x 0 + V ∈ K + V, hiểnnhiên ta có x 0 + V ∈S

x∈K (x + V ), suy ra K + V ⊂S

x∈K (x + V ) Ngược lại nếu

x 0 +V ∈S

x∈K (x+V )thì hiển nhiênx 0 +V ∈ K +V, dẫn đến Sx∈K(x+V ) ⊂ K +V.Chúng ta bắt đầu với một mệnh đề khá hữu dụng sau đây:

1.10.1 Mệnh đề

Nếu W là một lân cận của 0 trong X, khi đó tồn tại một lân cận U ⊂ W của 0sao cho nó đối xứng (nghĩa là U = −U) và thỏa U + U ⊂ W

U U+U W

b O

Hình 4: Minh họa cho tập đối xứng.

Bây giờ mệnh đề có thể được áp dụng nhiều lần cho U, W và mang lại mộtlân cận đối xứng mới U′ của 0 sao cho

U′+ U′+ U′+ U′⊂ U + U ⊂ W.

(Áp dụng mệnh đề 1.10.1 hai lần)

Trở lại định lí ban đầu,

Trường hợp 1: nếu K =∅, khi đó K + V =∅, như vậy định lí hiển nhiên đúng.Trường hợp 2: giả sử K 6=∅, xét một điểm x ∈ K, vậy x không thuộc C Vì C làđóng và vì tô-pô của X là bất biến qua các phép biến hình, nên mệnh đề 1.10.1chỉ ra rằng 0 có một lân cân đối xứng V x sao cho

x + V x + V x + V x ⊂ x + V x + V x + V x + V x ⊂ K.

Suy ra (x + V x + V x + V x ) ∩ C = ∅ Xét bất kì x 0 ∈ (x + V x + V x + V x ), vậy tồn tại

v i ∈ V x, i = 1, 2, 3 sao chox 0 = x + v 1 + v 2 + v 3, suy rax 0 = x + v 1 + v 2 + v 3 không

thuộc C, dẫn tớix 0 = x + v 1 + v 2 + v 3 6= c với mọi c ∈ C, dẫn tớix + v 1 + v 2 6= c − v 3với mọi c ∈ C Suy ra (x + Vx+ Vx) ∩ (C − V x ) =∅ Do tính đối xứng của Vx, tacó

(x i + V x i + V x i ) ∩ C + V =∅với mọi x i Dẫn tới

K + V ∩ C =∅.

Nếu chọn K = {0}, ta sẽ thu được các kết quả đặc biệt thú vị sau đây:

1.11 Định lí

Nếu B là một cơ sở địa phương của một không gian tô-pô X, khi đó mọi phần

tử của B đều chứa bao đóng của phần tử nào đó trong B

U ⊂ V ⊆ W.

1.12 Định lí

Mọi không gian tô-pô đều là một không gian Hausdorff

Chứng minh

Xét X là một không gian tô-pô bất kì và hai điểm m, n thuộc X sao cho m 6= n

Dễ thấy {m} và {n} đều là các tập đóng và compact, Áp dụng định lí 1.10, tồntại lân cận V của 0 sao cho

({m} + V ) ∩ ({n} + V ) =∅Với ({m} + V ) và ({n} + V ) lần lượt là các lần cận rời nhau của m và n Vậy X

Bây giờ chúng ta sẽ suy ra một vài tính chất của bao đóng và phần trongtrong một không gian Nhắc lại rằng một điểm p ∈ E nếu và chỉ nếu mọi lâncận của p giao E khác rỗng

1.13 Định lí

Cho X là một không gian tô-pô, khi đó:

(a) Nếu A ⊂ X, khi đó A =T

(A + V ) , với V chạy khắp tất cả các lân cận của0

(b) Nếu A ⊂ X và B ⊂ X, khi đó A + B ⊂ A + B

(c) Nếu Y là không gian con của X thì Y cũng vậy.

(d) Nếu C là một tập con lồi của X thì C và Co cũng vậy

(e) Nếu B là một tập con cân bằng của X thì B cũng vậy; nếu 0 cũng thuộc Bothì Bo cân bằng

(f ) Nếu E là một tập con bị chặn của X thì E cũng vậy

Chứng minh

(a) Xét a bất kì thuộc A, khi đó với mọi lân cận V a = a + V (với V là lân cậnnào đó của 0) của a thì (a + V ) ∩ A 6=∅ Suy ra tồn tại v ∈ V, a′ ∈ A sao cho

a + v = a′, suy ra a = a′+ (−v), dẫn tới a ∈ A + (−V )với mọi V

Mặt khác, V là lân cận của 0 nếu và chỉ nếu −V cũng vậy Do đó,A ⊂ T

(A + V )

Xét x ∈T

(A + V ), suy ra x ∈ (A + V ) với mọi V chạy khắp tất cả lân cận của

0 Dẫn tới tồn tại a ∈ A, v ∈ V bất kì sao cho x = a + v, suy ra x − v = a với

v ∈ V bất kì Suy ra x + (−V ) ∩ A 6=∅ với V bất kì và x + (−V ) chính là lân cậnbất kì của x Do đó x ∈ A, dẫn tới T(A + V ) ⊂ A (2’)

Từ (1’) và (2’) ta suy ra A = T

(A + V ) với V chạy khắp tất cả các lân cận của0

(b) Xét x ∈ A + B, như vậy tồn tại a ∈ A, b ∈ B sao cho x = a + b

Xét W là lân cận bất kì của x = a + b, vì tính liên tục của phép cộng đã nói đến

ở trên, tồn tại V 1 vàV 2 lần lượt là các lân cận của a và b sao cho

(c) Đầu tiên ta cần chứng minhαY = αY với mọi αlà một vô hướng Từ địnhnghĩa về bao đóng, ta có αY ⊂ αY với mọi α Do đó 1

α αY ⊂ α1αY ⇐⇒ αY ⊂ αYvới mọi α khác 0 Nếu α = 0 thì hiển nhiên đúng

Áp dụng câu (b) và mệnh đề vừa chứng minh, với mọi α, β lá các vô hướng, tacó

αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y

Vậy Y là không gian con của X.

(d) Tương tự câu trên ta có

tC + (1 − t)C = tC + (1 − t)C ⊂ tC + (1 − t)C ⊂ Cvới 0 ≤ t ≤ 1 Vậy C lồi trong X

(e) Ta có αB = αB ⊂ B với |α| ≤ 1 Vậy B là cân bằng

Ta chứng minh: αB0 = (αB)0 với 0 < |α| ≤ 1

Với 0 < |α| ≤ 1, vì phép vị tự M α là phép đồng phôi (nếu α = 0 thì M α khôngcòn là đồng phôi nữa) nên αB0 ⊂ αB ⊂ B (B cân bằng), và αB0 là một tập mở,nên αB0 ⊂ B0 Nếu 0 ∈ B0 thì αB0 ⊂ B0 với |α| ≤ 1 Do đó B0 cân bằng

(f ) Cho W là một lân cận bất kì của 0 do E bị chặn nên ∃s > 0 sao cho

E ⊂ tW với t > s Suy ra E ⊂ tW với t > s Bởi Định lí 1.11, tW sẽ được chứatrong một lân cận V nào đó của 0 Do đó E ⊂ tW ⊂ V Vậy E bị chặn 1.14 Định lí

Trong một không gian tô-pô X,

(a) Mọi lân cận của 0 đều chứa một lân cận cân bằng của 0

(b) Mọi lân cận lồi của 0 đều chứa một lân cận cân bằng lồi của 0

Hiển nhiênW là lân cận của 0 Xét x ∈ W, suy ra tồn tại α 0 với |α0 | ≤ δ sao cho

x ∈ α 0 V, suy ra x = α0v với v nào đó thuộc V Lúc này, βx = βα0v với |β| ≤ 1.Mặt khác, |β||α| = |αβ| ≤ 1|α| < δ Do đó βx ∈ W vàβW ⊂ W Vậy W là lân cậncân bằng của 0 và nằm trong U

U

βV

bO

Hình 5: Minh hoạ cho tập S|α|<δαV

(b) Giả sử U là một lân cận lồi của 0 trong X Đặt

A = (−U) ∩ U.

Chọn W là lân cận giống ở phần (a) Vì W là cân bằng nên α−1W = W ⊂ U khi

|α| = 1; dẫn tới W ⊂ αU với ∀α : |α| = 1 Do đó, W ⊂ A , suy ra W ⊂ A0, điều

Mặt khác, vì A là giao của các tập lồi (Xem Bài 1 (f )) nên A cũng là lồi, do

Để chứng minh A0 cân bằng, ta cần phải chứng minh A cân bằng Chọn r và

β sao cho 0 ≤ r ≤ 1 và |β| = 1 Khi đó

(a) Mọi không gian tô-pô đều có một cơ sở địa phương cân bằng.

(b) Mọi không gian lồi địa phương đều có một cơ sở địa phương cân bằng lồi.1.15 Định lí

Giả sử V là một lân cận của 0 trong một không gian tô-pô X

(a) Nếu 0 < r 1 < r 2 < và r n −→ ∞ khi n −→ ∞, khi đó

X =

∞[n=1

r n V.

(b) Mọi tập con compact K của X đều bị chặn

(c) Nếu δ 1 > δ 2 > và δ n −→ 0khi n −→ ∞, và nếu V là bị chặn, khi đó họ

Dễ thấy f x = M α với mọi α ∈ Φ, do đó f x là ánh xạ liên tục từ trường vô hướng

Φ vào X và fx−1(V ) = {α : αx ∈ V } là tập mở trong Φ; tất nhiên 0 ∈ f−1

x (V ) Do

đó fx−1(V ) chính là một lân cận của 0 trong Φ Dẫn tới tồn tại n 0 > 0 sao cho

r n V ⊂

∞[n=1

r n V ⇒ X ⊂

∞[n=1

với δ n l V ∈ {δ n V : n = 1, 2, 3, } Điều này chứng tỏ {δn V : n = 1, 2, 3, } là một

Các ánh xạ tuyến tính từ X vào trường vô hướng của nó được gọi là các phiếmhàm tuyến tính.

• Ví dụ Phép vị tự Mα ở phần 1.7 là tuyến tính nhưng phép tịnh tiến Ta thìkhông, trừ khi a = 0

1.17 Định lí.

Cho X và Y là các không gian tô-pô Nếu Λ : X −→ Y là tuyến tính và liên tụctại 0, khi đó Λ là liên tục (trên X) Thực vậy, Λ là liên tục đều nghĩa là: với mỗilân cận W của 0 trong Y tương ứng một lân cận V của 0 trong X sao cho

y − x ∈ V ⇒ Λy − Λx ∈ Wvới mọi x, y ∈ X

Chứng minh

Cố định W là lân cận của Λ0 = 0 trong Y

Vì Λ liên tục tại 0 nên tồn tại lân cận V của 0 trong X sao cho Λ(V ) ⊂ W.Xét x ∈ X bất kì và V x = x + V là lân cận của x trong X

Ta có: Λ(x + V ) = Λx + Λ(V ) ⊂ Λx + W Điều này có nghĩa là: ứng với mỗi

W Λx = Λx + W là lân cận củaΛx trong Y, luôn tồn tại lân cận V x = x + V của xtrong X sao cho Λ(V x ) ⊂ W Λx Do đó Λ liên tục (trên X) 1.18 Định lí.

Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian tô-pô X Giả sử Λx 6= 0 vớimột vài phần tử x ∈ X Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương nhau:(a) Λ là liên tục

(b) Không gian triệt N (Λ) là đóng

(c) N (Λ) là không dày đặc trong X

(d) Λ bị chặn trong một lân cận V nào đó của 0

Chứng minh

(a) =⇒ (b): Ta cóΛliên tục và{0}là tập đóng, do đó∧−1 ({0}) = N (Λ)là đóng

(b) =⇒ (c): Do N (Λ) đóng nên N (Λ) = N (Λ) Giả sử N (Λ) dày đặc trong

X, khi đó N (Λ) = N (Λ) = X Suy ra Λx = 0, ∀x ∈ X, vô lí Vậy N (Λ) khôngdày đặc trong X

Trước khi chứng minh tiếp, ta cần mệnh đề sau:

ở trên ta nhận được Φ ⊂ Λ(V ) do đó Λ(V ) = Φ.

Mặt khác vì −Λx ∈ Λ(V ) nên tồn tại y ∈ V sao cho Λy = −Λx, dẫn tới

Λy + Λx = Λ(y + x) = 0 Do đó x + y thuộc x + V đồng thời cũng thuộc N (Λ), sovới (3) ta thấy vô lí Vậy Λ bị chặn

(d) =⇒ (a): từ (d) ta có Λ(V ) bị chặn với V là lân cận nào đó của 0 trong X,nghĩa là với mọi lân cận B của Λ0 = 0 trong Y, tồn tại s > 0 sao cho với mọi

Các không gian Banach đơn giản nhất là Rn và Cn lần lượt là các không gian

n chiều trên R và C, được chuẩn hóa bởi metric Euclidean thông thường Ví dụ

z = (z1, , zn) ∈ Cnkhi đó

kzk 2 = d 2 = (|z 1 |2+ + |z n |2)12 Các chuẩn khác có thể được định nghĩa như sau:

kzk 1 = d 1 = |z 1 | + + |z n |,hoặc

kzk ∞ = d ∞ = max(|z i | : 1 ≤ i ≤ n).

Tất nhiên, các chuẩn này tương ứng với các metric khác nhau trên Cn

1.19.1 Mệnh đề.

Các chuẩn trên cảm sinh cùng một tô-pô trên Cn 4

Nếu X là một không gian tô-pô trên C, và dimX = n, khi đó mọi cơ sở của

X cảm sinh một đẳng cấu từ X vào Cn Định lí 1.21 sẽ chứng minh đẳng cấunày phải là một đồng phôi Nói cách khác, điều này nói rằng tô-pô của Cn chỉ

có tô-pô mà một không gian phức n chiều có thể có

Chúng ta cũng sẽ thấy các không gian con hữu hạn chiều luôn đóng và không

có một không gian tô-pô vô hạn chiều nào mà compact địa phương

Mọi thứ ở phần trên cũng đúng đối với các vô hướng thực trong mặt phẳngphức

4 Tham khảo phần The metric tô-pôlogy cuốn tô-pôlogy, Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.

Mọi tập mở cân bằng trên Cn là tập liên thông đường 5.

Chứng minh Cho S là mặt cầu chặn quả cầu mở đơn vị B của Cn, nghĩa là

z ∈ S nếu và chỉ nếu P|zi |2= 1; z ∈ B nếu và chỉ nếu P|zi |2< 1

bị chặn cùng với f liên tục, bởi tính Heine - Borel suy ra K compact

Mặt khác, f (0) = 0 và f là song ánh nên 0 không thuộc K Suy ra tồn tại lâncận V cân bằng của 0 trong Y sao cho

f−1(V ) ⊂ B Suy ra f−1 là bị chặn Áp dụng định lí 1.18, suy ra f−1 là liên tục

5 Cho trước các điểm x và y trong không gian X, một đường trong X từ x tới y là một ánh xạ liên tục f : [a, b] → X của một đoạn đóng trên trục số thực vào X, sao cho f(a) = x và f(b) = y Một không gian X được gọi là liên thông đường nếu mọi cặp điểm của X đều có thể được nối bởi một đường trong X Một tập A được gọi là tập liên thông đường nếu trên A cảm sinh một τ A sao cho (A, τ A ) là không gian liên thông đường.

6 Tham khảo phần Connected Subspaces of the Real line cuốn tô-pôlogy, Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.

Xét X là không gian tô-pô compact địa phương bất kì Khi đó góc tọa độ của

X có một lân cận V mà bao đóng của nó compact Áp dụng định lí 1.15 phần(b) và (c), ta có V bị chặn, và {2−n

V } với n = 1, 2, là một cơ sở địa phươngcủa X

Tính compact địa phương của V cho thấy tồn tại x 1 , , x m ∈ X sao cho

Đặt Y là không gian sinh bởi x 1 , , x m khi đó dimY ≤ m Bởi định lí 1.21, Y làmột không gian con đóng trong X

V ⊂

∞

\n=1



Y + 1

2 n V

.

Bởi giả thiết, gốc tọa độ của một không gian tô-pô bị chặn địa phương X bất kì

có một lân cận bị chặn V Bởi định lí 1.13 phần (f) ta suy ra V cũng bị chặn.Với tính chất Heine - Borel, V là compact Do đó X trở thành một không giantô-pô compact địa phương Áp dụng định lí trên ta có điều cần chứng minh 

Phép Metric hóa

Ta nhắc lại rằng một tô-pô τ trên một tập X được gọi là metric hóa nếu có mộtmetric d trên X tương thích với τ Trong trường hợp đó, các quả cầu với bánkính 1

n tâm x định hình một cơ sở địa phương tại x Điều này cung cấp mộtđiều kiện cần thiết để metric hóa một không gian tô-pô

1.24 Định lí

Nếu X là một không gian tô-pô với một cơ sở địa phương đếm được, khi đó cómột metric d trên X sao cho

(a) d tương thích với tô-pô của X,

(b) các quả cầu mở tâm tại 0 là cân bằng,

(c) d là bất biến d(x + z, y + z) = d(x, y) với x, y, z ∈ X

Hơn nữa, nếu X là lồi địa phương, khi đó d có thể được chọn sao cho thỏa (a),(b), (c) và

(d) tất cả các quả cầu mở là lồi.

Chứng minh

Đầu tiên ta cần mệnh đề sau:

1.24.1 Mệnh đề

Nếu V là cân bằng thì −V cũng vậy và V cũng là tập đối xứng

Bởi hệ quả định lí 1.14, X có một cơ sở địa phương cân bằng {Wn } Ápdụng mệnh đề 1.24.1 và mệnh đề 1.10.1, tồn tại Wk ⊂ W n ∈ {W n } sao cho

Wk+ Wk+ Wk+ Wk+ ⊂ W n Với cách làm này, ta có thể xây dựng một cơ sở địaphương cân bằng {Vn } của X từ {Wn } như sau:

Để chứng minh d là một metric, ta cần quan hệ bao hàm sau

Trước khi chứng minh (6), hãy xem làm thế nào mà định lí này được suy ra

từ nó Vì mọi A(s) chứa 0 và nếu t > r, (6) kéo theo

Do đó {A(r)} được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm Ta thu được(8) f (x + y) ≤ f(x) + f(y) (x ∈ X, y ∈ Y )

Bây giờ ta bắt đầu chứng minh (6)

TH1: r + s ≥ 1 thì A(r + s) = X, (6) hiển nhiên đúng

TH2: r + s < 1, chúng ta sẽ sử dụng mệnh đề sau về phép cộng trong hệ thốngnhị phân:

1.24.2 Mệnh đề

Nếu r, s và r + s thuộc D và tồn tại n 0 sao cho c n 0 (r) + c n 0 (s) 6= c n 0 (r + s) (∗) ;khi đó tại n nhỏ nhất thỏa (∗) ta thu được c n (r) = c n (s) = 0 và c n (r + s) = 1

Đặt α n = c n (r), β n = c n (s), γ n = c n (r + s) Nếu α n + β n = γ n với mọi n, khi đó

từ (4) ta suy ra được (7) Ngược lại, gọi N là số nhỏ nhất sao choαN + βN 6= γ Nkhi đó bởi mệnh đề trên, ta có α N = β N = 0 và γ N = 1 Do đó

A(r) ⊂ α 1 V 1 + +α n−1 V n−1 +V N +1 +V N +2 + ⊂ α 1 V 1 + +α n−1 V n−1 +V N +1 +V N +1 Tương tự

A(s) ⊂ β 1 V 1 + +β n−1 V n−1 +V N +1 +V N +2 + ⊂ β 1 V 1 + +β n−1 V n−1 +V N +1 +V N +1

Vì α n + β n = γ n với mọi n < N và vì cách chọn {Vn } ta được

A(r) + A(s) ⊂ γ 1 V 1 + + γ n−1 V n−1 + VN+ ⊂ A(r + s)

vì βN = 1 và βN +1 = 0

Để chứng minh (8), ta có thể giả sử vế phải < 1 Cố định bất kì ε > 0, với mọi

x, y ∈ X tồn tại r và s thuộc D sao cho

f (x) < r, f (y) < s, r + s < f (x) + f (y) + ε.

Do đó x ∈ A(r), y ∈ A(s), từ (8) suy ra

x + y ∈ A(r) + A(s) ⊂ A(r + s).

Suy ra r + s ≥ f(x + y) Dẫn đến

f (x + y) ≤ f(x) + f(y) + ε.

với ε bất kì Cho ε −→ 0 ta thu được (8)

Do mỗi A(r) là tổng của các lân cận cân bằng nên A(r) cân bằng, dẫn tới

x ∈ A(r) thì −x ∈ A(r), suy ra f (x) = f (−x) Rõ ràng f (0) = 0 Nếu x 6= 0 thìtồn tại n0 sao cho x không thuộc Vn0 = A(2−n0 ) và f (x) ≥ 2−n 0 > 0 Từ các tínhchất này, ta có thể chứng minh d(x, y) ở (5) là một metric trên X và tính bấtbiến của metric

Do tính sắp thứ tự toàn phần của {A(r)} và giả thiết (7) nên {Bδ (0)} là một cơ

sở địa phương cho không gian tô-pô X Điều này chứng minh (a) Vì các A(r)

là cân bằng nên Bδ(0) cũng vậy, ta suy ra (b) Nếu mỗi V n lồi thì mỗi A(r) cũngvậy, từ (9) suy ra Bδ(0) cũng vậy Mà mỗi quả cầu mở bất kì đều là phép biếnhình của B δ (0), ta suy ra (d)

1.25 Dãy Cauchy

(a) Giả sử d là một metric trên một tập X Một dãy {xn } trong X là một dãyCauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số dương N sao cho d(x m , x n ) < ε với

m > N và n > N Nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ về một điểm thuộc

X khi đó d được gọi là một metric đầy đủ trên X

(b) Cho τ là một tô-pô trên một không gian tô-pô X Khái niệm dãy Cauchy

có thể được định nghĩa trong cấu trúc này mà không có bất cứ liên quan

gì đến metric: Chọn một cơ sở địa phương B cho τ Một dãy {xn } trong

X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi lân cận V ∈ B tồn tại một sốnguyên dương N sao cho x n − x m ∈ V nếu m > N và n > N

(c) Bây giờ giả sử X là một không gian tô-pô mà tô-pôτ của nó tương thích vớimột metric d bất biến Tôi tạm thời sử dụng các thuật ngữ dãy d - Cauchy

và dãy τ - Cauchy cho các khái niệm của dãy này lần lượt ở (a) và (b) Vì

d(x n , x m ) = d(x n − x m , x m − x m ) = d(x n − x m , 0),

và các quả cầu - d tâm tại góc tọa độ xác định một cơ sở địa phương cho τnên ta kết luận:

1.25.2 Mệnh đề.

Nếu d1 và d2 là các metric bất biến trong một không gian X cảm sinh cùng mộttô-pô trên X, khi đó

(a) d1 và d2 có cùng các dãy Cauchy

(b) d1 đầy đủ nếu và chỉ nếu d2 đầy đủ

1.26 Định lí

Giả sử (X, d1) và (Y, d2) là các không gian metric, và (X, d1) là đầy đủ Nếu

E là một tập đóng trong X, f : E −→ Y là liên tục và

d2 (f (x′), f (x′′)) ≥d1 (x′, x′′)với mọi x′, x′′∈ E, khi đó f (E) đóng

ε > d 2 (f (x m ), f (x n )) ≥ d 1 (x m , x n )với m > N và n > N Do đó {xn } là dãy Cauchy trong X Mà (X, d1) đầy đủ và

E là tập đóng nên x n −→ x ∈ E Vìf liên tục nên f (x) = y Do đó y ∈ f(E), suy

Cho U n là lân cận của 0 trong X sao cho Y ∩ Un = B1/n, và chọn các lân cận đốixứngV n của 0 trong X sao cho V n + V n ⊂ U n và V n+1 ⊂ V n Giả sử x ∈ Y và địnhnghĩa

E n = Y ∩ (x + V n )với n = 1, 2, 3, MỗiE n là không rỗng vàE n+1 = Y ∩ (x + V n+1 ) ⊂ Y ∩ (x + V n ) =

E n, nên {En } là họ các lân cận lồng nhau của x Nếu y 1 ∈ E n vày 2 ∈ E n, khi đó

y 1 − y 2 ∈ Y và cũng thuộc V n + V n ⊂ U n, dẫn tới E n ⊂ B 1/n Do đó đường kínhcủa các tập E n dần tiến tới 0, tức là

diamE n = sup{d(y n1, y2n) : y1n, yn2 ∈ E n } −→ 0 khi n → ∞.

7 Gọi {yn } ∈ E n sao cho d(y n , x) = supd(y, x) với ∀y ∈ En (y n tồn tại vì Y là mộtkhông gian ) Với ∀ε > 0, ∃N : ∀m, n > N thì d(y n , y m ) < ε = diamEN Do đó{yn }

là một dãy Cauchy trong cả Y và E n Mặt khác Y là đầy đủ, Suy ra {yn } hội

tụ về một điểm y 0 duy nhất trong Y và y 0 ∈ T

E n Nếu tồn tại b 6= y0 sao cho

(b) Nếu {xn } trong một không gian tô-pô metric hóa (được) X và nếu x n −→ 0khi n −→ ∞, khi đó tồn tại một dãy số thực dương {γn } sao cho γ n −→ ∞

và γ n x n −→ 0

7 Cho A là một tập con của một không gian metric (X, d), khi đó diam(A) = sup{d(a 1 , a 2 ) : a 1 , a 2 ∈ A}.