MTCT Khu vực Miền Trung L9

Viết quy trình bấm phím liên tục trên máy tính cầm tay và tính chính xác đế 02 chữ số sau dấu phẩy giá trị diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích phần hình tròn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

Năm 2008

ĐÈ THI CHÍNH THỨC Môn Toán Lớp 9 THCS

Thời gian thi: 150 phút – Ngày thi: 14/3/2008

Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức

1) A=1357912+2468242;

2) 3sin15 25' 4 os12 12'.sin 42 20'0 0 0 0 0 0 0os36 15'0 0

2cos15 25' 3cos65 13'.sin15 12' cos31 33'.sin18 20'

C

Bài 2: (5 điểm)

Cho P x( )=x4+ax3+bx2+ +cx d có (0) 12, (1) 12, (2) 0, (4) 60.P = P = P = P =

1) Xác định các hệ số , , ,a b c d của P(x);

2) Tính P(2006);

3) Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho 5x−6

Bài 3: (5 điểm) Tam giác ABC có AB = 31,48 (cm), BC = 25,43 (cm), AC = 16,25 (cm)

Viết quy trình bấm phím liên tục trên máy tính cầm tay và tính chính xác đế 02 chữ số sau dấu phẩy giá trị diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác ABC

(Cho biết công thức tính diện tích tam giác: ( )( )( ),

4

abc

R

Bài 4: (4 điểm) Cho hai đường thẳng: ( )1

:

:

1) Tính góc tạo bởi các đường thẳng trên với trục Ox (chính xác đến giây);

2) Tìm giao điểm của hai đường thẳng trên (tính tọa độ giao điểm chính xác đến 02 chữ

số sau dấu phẩy);

3) Tính góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên (chính xác đến giây).

Bài 5: (6 điểm) Từ điểm M nằm ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với

đường tròn Cho biết MO = 2R và R = 4,23 (cm), tính chính xác đến 02 chữ số sau dấu phẩy: 1) Phần diện tích của tứ giác MAOB nằm phía ngoài đường tròn (O; R);

2) Diện tích phần chung của hình tròn đường kính MO và hình tròn (O; R)

Bài 6: (4 điểm) Cho dãy số

2

1 1

n

n

a

+

+ + −

= = với n=0,1, 2,

1) Lập quy trình bấm phím tính a trên máy tính cầm tay; n

2) Tính a a a a a a1, 2, 3, 4, 5, 10,a15

Bài 7: (6 điểm) Cho dãy số U1=2,U2 =3;U n+1=3U n+2U n−1+3 với n≥2

1) Lập quy trình bấm phím tính U n+1 trên máy tính cầm tay;

2) Tính U U U U3, 4, 5, 10,U15,U19

Bài 8: (5 điểm) Cho đường tròn đường kính AB = 2R M và N là hai điểm nằm trên đường

tròn sao cho ¼AM =MN¼ =»NB Gọi H là hình chiếu của N lên AB và P là giao điểm của AM với HN Cho R = 6,25 cm

1) Tính ·MBP (chính xác đến giây);

2) Cho hình vẽ quay một vòng quanh trục BM Tính diện tích xung quanh và thể tích

hình do tam giác MBP tạo thành (chính xác đến 2 chữ số sau dấu phẩy).

Bài 9: (4 điểm) Dân số của một nước là 80 triệu người, mức tăng dân số là 1,1% mỗi năm

Tính dân số của nước đó sau n năm, áp dụng với n = 20

Bài 10: (6 điểm) Giải hệ phương trình

13 26102 2009 4030056 0 (1)





Hết

Lời giải Bài 1:

1) Tính: A=1357912+2468242

a) Cách 1: Phân tích A=(135792+246822)× + ×102 (2 13579 8 24682 10 1+ × )× + +2 42 Bấm máy và ghi ra giấy:

(135792+246822)×100= 79359035500

(2 13579 8 24682 10× + × )× = 2246140

2 2

1 +4 = 17

79361282657

b) Cách 2: Dùng máy 570MS hoặc ES:

Bấm máy trực tiếp công thức 1357912+2468242, kết quả vượt qua 10 chữ số hiển thị trên màn hình như sau: 10

7.936128266 10× , ấn phím  79361282600 = , được kết quả

57, do đó kết quả cuối cùng: A=1357912+2468242 = 79361282657

c) Cách 3: Dùng máy VnCalc 500MS với chức năng Mod( tìm số dư của phép chia:

Bấm máy trực tiếp công thức 1357912 +2468242, SHIFT STO A , kết quả vượt qua

10 chữ số hiển thị trên màn hình như sau: 7.936128266 10× 10, bấm tiếp:

Mod( ALPHA A , 100 ) = được kết quả 57, do đó kết quả cuối cùng:

135791 246824

2)

3sin15 25' 4 os12 12'.sin 42 20' os36 15'

2cos15 25' 3cos65 13'.sin15 12' cos31 33'.sin18 20'

3 sin 15025’ + 4 cos 12012’ × sin 42020’ + cos 36015’ SHIFT STO A

2 cos 15025’ + 3 cos 65013’ × sin 15012’ + cos 31033’ × sin 18020’ SHIFT STO

B

ALPHA A ÷ ALPHA B = Kết quả là: B = 1.677440333

3) 1 : 1 2

C

a) Cách 1: Rút gọn biểu thức C:

( ) ( )

C

= + + ÷÷   − + ÷= −

• Trên máy tính 500MS: 143.08 SHIFT STO X

( ALPHA X x2 + ALPHA X + 1 ) ÷ ( ALPHA X  1 ) =

Kết quả: 14.23528779

• Trên máy tính 570MS, dùng chức năng CALC:

( ALPHA X + ALPHA X + 1 ) ÷ ( ALPHA X  1 )

CALC máy hỏi X? nhập vào 143.08 = Kết quả: 14.23528779

b) Cách 2: Có thể nhập công thức trực tiếp chưa rút gọn, máy sẽ tự tính toán mà không

cần rút gọn:

( 1 + ALPHA X ÷ ( ALPHA X + 1 ) ) ÷ ( 1 ÷ ( ALPHA X  1 )

 2 ALPHA X ÷ ( ALPHA X ALPHA X + ALPHA X  ALPHA

X  1 ) ) CALC máy hỏi X? nhập vào 143.08 = Kết quả: 14.23528779

Lời bình: Đề ra “Tính giá trị của biểu thức” thì có cần thiết phải rút gọn biểu thức C không ?

Hơn nữa, yêu cầu ở đây là giải toán nhanh bằng máy tính cầm tay, liệu rút gọn xong mới tính

có nhanh hơn cách tính trực tiếp ?

Bài 2: P x( )=x4+ax3+bx2+ +cx d có (0) 12, (1) 12, (2) 0, (4) 60.P = P = P = P =

1) Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

12

1

d

a b c

=



 + + = −



 + + = −



 + + = −



Giải hệ phương trình bằng máy tính ta được: a= −2;b= −7;c=8;d =12

Vậy: P x( )=x4−2x3−7x2+8x+12

2) Tính P(2006)

a) Cách 1: Tính trực tiếp:

ALPHA X ∧ 4  2 ALPHA X SHIFT x3  7 ALPHA X x2 + 8 ALPHA X + 12 CALC máy hỏi X? nhập vào 2006 =

Kết quả hiển thị trên màn hình làm tròn và hiển thị 10 chữ số: 1.617669314 ×1013

Trên máy Casio fx-570ES:  1.61766931×1013 ra kết quả: 44672

Vậy: Kết quả đúng chính xác là: P(2006) = 16176693144672

b) Cách 2: Dùng máy VnCALC 500MS:

2006 SHIFT STO X

ALPHA X ∧ 4  2 ALPHA X SHIFT x3  7 ALPHA X x2 + 8 ALPHA X + 12 SHIFT STO A SHIFT Mod( ALPHA A , 100000 ) = được kết quả: 44672

Vậy: Kết quả đúng chính xác là: P(2006) = 16176693144672

c) Cách 3: Chia P(x) cho x−2, ta được: ( ) ( 3 )

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3, ta biến đổi x3−7x− = −6 (x 3) (x+1) (x+2)

Do đó: P x( )= −(x 3) (x−2) (x+1) (x+2)

(2006) 2003 2004 2007 2008 4014012 4030056

(2006) 40 10 14012 40 10 30056 1600 10 1762720 10 421144672

Ghi ra giấy và cộng lại, ta được kết quả: P(2006) = 16176693144672

3) Ta biết số dư trong phép chia P(x) cho 5x−6 bằng 6

5

 ÷

 

ALPHA X ∧ 4  2 ALPHA X SHIFT x3  7 ALPHA X x2 + 8 ALPHA X + 12 CALC máy hỏi X? nhập vào 6 ab/c 5 =

Kết quả hiển thị trên màn hình: 6 10 86

P  = ÷

 

Bài 3:

• Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx-500MS, 570MS để tính diện tích tam giác ABC:

25.43 SHIFT STO A 16.25 SHIFT STO B 31.48 SHIFT STO C

( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT STO D

( ALPHA D ( ALPHA D  ALPHA A ) ( ALPHA D  ALPHA B ) ( ALPHA D  ALPHA C ) ) SHIFT STO E

Cho diện tích tam giác ABC là: 205,64 (cm2)

• Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx-500MS, 570MS để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

ALPHA A ALPHA B ALPHA C ÷ 4 ÷ ALPHA E SHIFT STO X

Cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R = 15,81 (cm)

• Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx-500MS, 570MS để tính diện tích của phần hình tròn ngoài tam giác ABC:

SHIFT π ALPHA X x2  ALPHA E =

Cho diện tích của phần hình tròn ngoài tam giác ABC là: 508,09 (cm2)

Lời bình: Theo đề ra "Viết quy trình bấm phím liên tục trên máy tính cầm tay và tính chính

xác đế 02 chữ số sau dấu phẩy giá trị diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác ABC."

Cần xác định rõ quy trình bấm phím liên tục như thế nào? Có thể học sinh sẽ hiểu là phải

bấm một dòng lệnh, từ đó có hai kết quả mong muốn Quy trình như sau thì đúng nghĩa là bấm phím liên tục theo cách hiểu trên:

• Quy trình bấm phím liên tục trên máy tính Casio fx-500MS, 570MS để tính giá trị

diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác ABC

25.43 SHIFT STO A 16.25 SHIFT STO B

31.48 SHIFT STO C ALPHA D ALPHA = ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA

C ) ÷ 2 ALPHA : ALPHA E ALPHA = ( ALPHA D ( ALPHA D  ALPHA A ) ( ALPHA D  ALPHA B ) ( ALPHA D  ALPHA C ) ) ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA A ALPHA B ALPHA C ÷ 4 ÷ ALPHA

E ALPHA : SHIFT π ALPHA X x2  ALPHA E =

Bài 4:

1) Gọi ,α β lần lượt là góc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox Ta có:

Hệ số góc của (d1) và (d2) lần lượt là:

; '

Suy ra: tan 1 3 1 ; tan 1 5 1

=  ÷÷ =  ÷÷

Bấm máy:

SHIFT tan-1 ( ( 3 + 1 ) ÷ 2 ) ta được: 0

53 47 '38"

α ≈ Tương tự: β ≈31 43'03"0 2) Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) thì tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

x y

x y

 +

− = −





−



Dùng máy tính để giải hệ được kết quả: x≈ −2,65; y≈ −2,76 Vậy: A(−2, 65; 2,76− )

3) Gọi γ là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2), ta có: 0

22 04 '35"

γ α β= − ≈

Bài 5:

1) Ta có: MA và MB là 2 tiếp tuyến của (O, R), nên các tam giác MAO và MBO vuông tại A và tại B

Theo giả thiết: MO = 2R, nên IO = IA = OA = R (I là trung điểm của MO), do đó tam giác OAI đều, tương tự tam giác OBI đều, suy ra ·AOB=1200

tan 60 3

Gọi S là diện tích phần của tứ giác MAOB nằm phía ngoài đường tròn (O, R), thì S là hiệu diện tích tứ giác MAOB và diện tích hình quạt »O AB của (O, R):

120

R

∆

−

×

Thay R = 4,23, bấm máy: ( 3 3 - SHIFT π ) × 4.23 x2 ÷ 3 = được kết quả S ≈12, 25(cm)

2) Gọi S’ là diện tích phần chung của hai hình tròn (O, R) và (I, R) (đường tròn đường kính

MO) thì S bằng 2 lần diện tích của hình tạo bởi cung »AB và dây AB:

2

4 3 3 3

quatOAB OAB

R

∆

−

Bài 6:

1) Cách 1: Quy trình bấm phím tính a n+1 trên máy tính Casio fx-570MS:

1 SHIFT STO A , 0 SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ( ( ALPHA A x2 + ALPHA A + 1 )

- 1 ) ÷ ALPHA A

Bấm phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 1, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến A ứng với a1 ≈0.732050807, bấm tiếp phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 2, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến A ứng với a2 ≈0.691169484, cứ thế tiếp tục ta được:

3 0.683932674; 4 0.682620177; 5 0.682381103

Bấm liên tiếp phím = cho đến khi biến đếm D nhận giá trị 10, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến A ứng với a10 ≈0.682327814 , a15 ≈0.682327803

Nếu dùng máy tính Casio fx-570ES, ta phải bấm phím CALC trước khi bấm phím = để được biến đếm D nhận giá trị 1

2) Cách 2: Quy trình bấm phím tính a n+1 trên máy tính Casio fx-500MS:

1 = ( ( Ans x2 + Ans + 1 ) - 1 ) ÷ Ans

Liên tiếp bấm phím = ta lần lượt ghi ra giấy các giá trị a a a a a1, , , , , ,2 3 4 5 a10

Lời bình: Cách này ta phải đếm bộ một cách thủ công, mỗi lần bấm phím = phải ghi ra

giấy xong mới bấm tiếp phím = để được giá trị tiếp theo, nếu không chú ý dễ bị nhầm lẫn

Cách 1 có sử dụng biến đếm để ta có thể tìm bất cứ giá trị nào của a mà không cần ghi lần n

lượt ra giấy Phần lớn học sinh được dạy làm theo cách 1, mang tính giải thuật hơn, tự động hóa cao

• Lưu đồ giải thuật quy trình bấm phím tính a n+1 trên máy tính Casio fx-570MS:

Bắt đầu

A = 1; D = 0

Đúng

Sai

D = D + 1

2 11

A A A A

+ + −

Kết thúc

Giải thích giải thuật

Bài 7:

• Quy trình bấm phím tính U n+1 trên máy tính Casio fx-570MS:

a) Cách 1:

2 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B 2 SHIFT STO D

ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA C ALPHA =

2 ALPHA A + 3 ALPHA B + 3 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA

B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C

Bấm phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 3, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến C ứng với U3 =16; bấm tiếp phím = ta được giá trị mới của biến A (U ), bấm tiếp phím = 2

ta được giá trị mới của biến B (U ), Bấm phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 4, bấm 3 tiếp phím = ta được giá trị của biến C ứng với U4 =57; tiếp tục như thế ta được

5 206, 10 118395, 15 67847380, 18 3065146611

trị mới của biến A (U ), bấm tiếp phím = ta được giá trị mới của biến B (17 U ), Bấm 18 phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 19, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến C ứng với U19 ≈1.091668154 10× 10 (hiển thị giá trị làm tròn đến 10 chữ số);

ấn tiếp phím = - 1.09166815 × 10 ^ 10 = ra kết quả 35

Ban đầu, gán giá trị 1 cho biến

A (ứng vơi); gán giá trị 0 cho biến đếm D

Kiểm tra điều kiện, nếu D còn

bé hơn thì sang bước tiếp theo, còn không thì dừng giải thuật

Biến đếm D tăng thêm 1 và gán giá trị mới cho biến D và chuyển sang bước kế tiếp

Tính giá trị và gán lại giá trị này cho biến A (giá trị mới của A ứng với ), xong quay trở lại kiểm tra điều kiện

Vậy kết quả chính xác của U19 =10916681536.

b) Cách 2: Chỉ dùng 2 biến A và B, không dùng biến C:

2 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B 2 SHIFT STO D

ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA =

2 ALPHA A + 3 ALPHA B + 3 ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA

D + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 2 ALPHA B + 3 ALPHA A + 3

Bấm phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 3, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến A ứng với U3 =16; bấm tiếp phím = ta được biến đếm D nhận giá trị 4, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến B ứng với U4 =57; bấm tiếp phím = ta được biến đếm D nhận giá trị

5, bấm tiếp phím = ta được giá trị của biến A ứng với U5 =206;

Lưu đồ giải thuật quy trình bấm phím tính U n+1 trên máy tính Casio fx-570MS:

c) Cách 3: Quy trình bấm phím tính U n+1 trên máy tính Casio fx-500MS:

2 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B

2 ALPHA A + 3 ALPHA B + 3 SHIFT STO A (A được gán giá trị U , ghi ra 3 giấy giá trị U )3

2 ALPHA B + 3 ALPHA A + 3 SHIFT STO B (B được gán giá trị U , ghi ra 4 giấy giá trị U ).4

2 ALPHA A + 3 ALPHA B + 3 SHIFT STO A (A được gán giá trị U , ghi ra 5 giấy giá trị U )5

Bắt đầu

A = 2; B = 3; D = 2

D < n

D = D + 1

A = 2A + 3B +3

D = D + 1

B = 2B + 3A + 3

Kết thúc

Đúng Sai

Ban đầu, gán giá trị 2 cho biến A (ứng với ); gán giá trị 3 cho biến B (ứng với ); gán giá trị 2 cho biến đếm D

Kiểm tra điều kiện, nếu D còn bé hơn thì sang bước tiếp theo, còn không thì dừng giải thuật

Biến đếm D tăng thêm 1 và gán giá trị mới cho biến D

và chuyển sang bước kế tiếp Tính giá trị 2A+3B+3 và gán lại giá trị này cho biến A (giá trị mới của A ứng với , giá trị cũ của A ứng với , B ứng với ), chuyển sang bước kế tiếp

Giải thích giải thuật

Biến đếm D tăng thêm 1 và gán giá trị mới cho biến D

và chuyển sang bước kế tiếp Tính giá trị 2B+3A+3 và gán lại giá trị này cho biến B (giá trị mới của B ứng với , giá trị cũ của B ứng với , A ứng với ), xong quay trở lại kiểm tra điều kiện

2 ALPHA B + 3 ALPHA A + 3 SHIFT STO B (B được gán giá trị U , ghi ra 6 giấy giá trị U ).6

Tiếp tục chu trình như thế và lần lượt ghi ra giấy các giá trị Un

Lời bình: Cách này đòi hỏi ta phải tự đếm và không làm được vòng lặp tự động, rất dễ nhầm

lẫn

Bài 8:

60 3

AM =MN =NB= = , nên các tam giác OAM, OMN, ONB là các tam giác đều, suy ra: · 0

60

và NH đường cao vừa là trung tuyến của tam giác đều

ONB, nên ·MBA APH=· =300và 3

2

R

2

PBH

HB

Do đó: ·MBP=tan−1( )3 3 −300

Bấm máy: SHIFT tan-1 3 3 ) - 30 0 ‘ “ = 0 ‘ “ cho

kết quả ·MBP≈49 6'24"0

Cách 2: MN // AB nên tam giác MNP là nửa tam giác đều, nên

AtanMAB = Atan60 3

3

MP MBP

MB

Do đó: · tan 1 2

3

 ÷

 

Bấm máy: SHIFT tan-1 2 ÷ 3 ) = 0 ‘ “ cho kết quả · 0

49 6'24"

2) Khi cho tam giác vuông MBP quay một vòng xung quanh trục BM thì nó tạo thành hình nón bán kính đáy r MP= =2MN =2R (tam giác MNP là nửa tam giác đều) và chiều cao

0 tan 60 3

h BM= = AM =R và đường sinh:

2 2

7

Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq =πrl=2πR2 7 649.37≈ ( )cm2

Thể tích của hình nón là: 1 2 4 3 ( )3

3 1771.29

Bài 9:

• Số dân ban đầu của nước đó là 80 triệu người

Sau 1 năm dân số của nước đó là: 1

1.1

80 80 1.1/100 80 1 80 1.011

100

Sau 2 năm dân số của nước đó là: a2 = + ×a1 a1 1.1/100= ×a1 1.011 80 1.011= × 2 (triệu người)

Sau 3 năm dân số của nước đó là: a3 = + ×a2 a2 1.1/100= ×a2 1.011 80 1.011= × 3 (triệu người)

Bằng phương pháp quy nạp, sau n năm số dân của nước đó là: 80 1.011n

n

a = × (triệu người)

• Quy trình bấm phím máy tính Casio fx-570MS như sau:

Cách 1:

80 SHIFT STO A 0 SHIFT STO D

ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A × 1.011 ; Bấm phím = liên tục cho đến khi biến đếm D nhận giá trị n thì

bấm tiếp phím = để nhận giá trị A là số dân của nước đó sau n năm

n

80 × 1.011 ^ n =

• Áp dụng với n =20 (năm): 80 × 1.011 ^ 20 = cho kết quả 99.56646742

(triệu người)

Vậy số dân của nước đó sau 20 năm: 99566467 người

Bài 10:

Giải phương trình 1: 3 2

13x −26102x −2009x−4030056 0= (1) Giải phương trình bậc 3 với máy 570MS:

MODE MODE MODE 1 (tương ứng với chương trình EQN) > 3 (Degree? bấm phím 3 : chọn giải phương trình bậc 3), màn hình hiển thị a? nhập hệ số a: 13 = , màn hình hiển thị b? nhập hệ số b: ( )− 26102 = , màn hình hiển thị c? nhập hệ số c: ( )− 2009 = màn hình hiển thị d? nhập hệ số d: : ( )− 4030056 = , màn hình hiển thị nghiệm

1 2008

x = , bấm phím = màn hình hiển thị nghiệm x2 = −0.076923073 đồng thời trên góc trên phải của màn hình xuất hiện thêm kí hiệu R⇔I báo hiệu nghiệm x không phải là 2 nghiệm thực mà là nghiệm ảo (hay nghiệm phức), nếu bấm tiếp SHIFT Re-Im thì ta được12.42492246i (tức là phần ảo của nghiệm x2); bấm tiếp phím = màn hình hiển thị nghiệm x3= −0.076923073 , đồng thời trên góc trên phải của màn hình xuất hiện thêm kí hiệu R⇔I báo hiệu nghiệm x không phải là nghiệm thực mà là nghiệm ảo (hay nghiệm 3 phức)

Do đó, phương trình (1) chỉ có một nghiệm thực duy nhất là x=2008

Thay x = 2008 vào phương trình (2):

4017 y+ y + =1 4017 3⇔ +y y + =1 3⇔ y + =1 3−y y≤ 3

Bình phương hai vế của phương trình, ta được phương trình:

1

3

y= ⇔ =y ≈ < (thỏa điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm: