Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h.. Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 g
Trang 1GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH
CÁC BƯỚC GIẢI CHUNG:
- Bước 1: Chọn ẩn (kốm theo đơn vị) và đặt điều kiện thớch hợp cho ẩn
- Bước 2: Biểu thị cỏc đại lượng chưa biết thụng qua ẩn và cỏc đại lượng đó biết
- Bước 3: Lập phương trỡnh (hệ phương trỡnh) biểu diễn sự tương quan giữa cỏc đại lượng
- Bước 4: Giải phương trỡnh (hệ phương trỡnh)
- Bước 5: Đối chiếu giỏ trị ẩn vừa tỡm được với ĐK và trả lời
A
DẠNG TOÁN TèM SỐ.
L u ý: + Số tự nhiên có 2 chữ số: xy=10x y+
+ Số tự nhiên có 3 chữ số: xyz=100x+10y z+
Bài 1: Tỡm soỏ tửù nhieõn coự 2 chửừ soỏ Toồng caực chửừ soỏ baống 8,neỏu ủoồi choó hai chửừ soỏ cho nhau thỡ soỏ
tửù nhieõn ủoự giaỷm ủi 36 ủụn vũ
Giaỷi: Goùi soỏ caàn tỡm laứ xy (ẹK: x,y ∈N;1≤ ≤x 9;0≤ ≤y 9)
Ta coự: xy=10x y+
Khi ủoồi choó hai chửừ soỏ ta ủửụùc soỏ : yx=10y x+
Theo ủeà baứi toaựn ta coự heọ phửụng trỡnh:
= +
− +
= +
36 ) 10 ( ) 10 (
8
x y y
x
y x
Giaỷi HPT ta coự: x = 6y = 2
(TMẹK)
Vaọy soỏ caàn tỡm laứ 62
Bài 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng hiệu chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 3 và
tổng của số đó với số viết đảo vị trí hai chữ số của nó bằng 77
Bài 3: Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số
thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị
B
DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.
L u ý:
* Chú ý:
- Vận tốc dòng nớc là vận tốc của đám bèo trôi, của chiếc bè trôi
- Vận tốc thực của canô còn gọi là vận tốc riêng (hay vận tốc của canô khi nớc yên lặng)
Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 36 km Khi đi từ B trở về A, người đú tăng vận tốc
thờm 3 km/h, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi là 36 phỳt Tớnh vận tốc của người đi xe đạp khi đi
từ A đến B
Giaỷi: Gọi x (km/h ) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (ĐK: x > 0)
Khi đú: vận tốc của người đú khi đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
Thời gian người đú đi từ A đến B là:
x
36
(h)
Thời gian người đú đi từ B về A là:
3
36
+
x (h) Theo ủeà baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh:
36 36 3
3 5
x −x =
+
Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x 2 + 3x - 180 = 0
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 12 (thoả món điều kiện của ẩn)
Trang 2x 2 = -15 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đú đi từ A đến B là 12 km/h.
Bài 2: Hai thành phố A và B cỏch nhau 50km Một người đi xe đạp từ A đến B Sau đú 1giờ 30
phỳt, một người đi xe mỏy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ Tớnh vận tốc của mỗi
người biết rằng vận tốc của người đi xe mỏy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h
Gọi x(km/h) là vận tốc của người đi xe đạp, ta cú phương trỡnh: 50 50 5
18 2
x - x+ =
Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chạy ngợc dòng từ B về A hết tổng thời
gian là 5 giờ Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là 5 km/h Tính vận tốc thực của ca nô
Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nụ, ta có PT: 60
5
x+ +
60 5
x− = 5
Bài 4: Một xe mỏy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thờm 14km/giờ thỡ
đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thỡ đến muộn 1 giờ.Tớnh vận tốc dự định và thời gian dự định
Giải: Gọi thời gian dự định là x(h) và vận tốc dự định là y(km/h) (ĐK: x > 0, y > 0)
* Quóng đường AB dài là: x.y (km)
* Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thỡ thời gian đi sẽ tăng thờm 1 giờ nờn ta cú:
(x + 1)(y - 4) = x.y⇔-4x + y = 4
* Nếu vận tốc tăng thờm 14km/h thỡ thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nờn ta cú:
(x - 2)(y + 14) = x.y⇔14x - 2y = 28
Theo đề bài ta cú hệ phương trỡnh:
Vậy : Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/h.
Bài 5: Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km Sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến
tỉnh A hai ngời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành
đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h
Gọi x (h) là thời gian của ngời đi từ A đến C (ĐK: x> 0), ta cú phương trỡnh: 36
1
x− - x
42
=4
C
DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIấNG.
Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ,
ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% khối lợng công việc Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu
Giải:
Gọi x(giờ) là thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc.
Gọi y(giờ) là thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc
(ĐK: x > 16; y > 16).
Trong 1 giờ, ngời thứ nhất làm đợc:
x
1 (công việc).
Trong 1 giờ, ngời thứ hai làm đợc:
y
1
(công việc).
Trong 1 giờ, cả hai ngời làm đợc: 1
16 (công việc).
Theo đề bài ta có hệ phơng trình:
= +
= +
4
1 6 3
16
1 1 1
y x
y x
Giải hệ phơng trình ta đợc:
=
=
48
24
y
x ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy: thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).
thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ)
Trang 3Bài 2: An và Tâm cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong Nếu An làm trong 5 giờ và
Tâm làm trong 6 giờ thì cả hai làm đợc
4
3 khối lợng công việc Hỏi mỗi ngời làm riờng công việc đó trong mấy giờ thì xong
Gọi x(giờ) là thời gian để An làm một mình xong công việc Gọi y(giờ) là thời gian để Tõm làm một mình xong công việc
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
= +
= +
4
3 6 5
22
3 1 1
y x
y x
Bài 3: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ
1 làm nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải :
Gọi x( giờ ) là thời gian một mình tổ 1 sửa xong con đờng ( ĐK: x >4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ, tổ 1 sửa đợc:
x
1( con đờng )
Trong 1 giờ, tổ 2 sửa đợc:
6
1
+
x (con đờng ) Trong 1 giờ, cả hai tổ sửa đợc:
4
1 (con đờng )
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
x
1+
6
1
+
x =
4 1
Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x2−2x−24 0=
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 6 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -4 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy: một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài 4: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể (ban đầu khụng chứa nước) thỡ sau 6 giờ đầy bể Nếu chảy
một mỡnh cho đầy bể thỡ vũi I cần nhiều thời gian hơn vũi II là 5 giờ Hỏi nếu chảy một mỡnh để đầy bể thỡ mỗi vũi cần bao nhiờu thời gian ?
Gọi x( giờ ) là thời gian vũi II chảy một mỡnh đầy bể( ĐK: x >6 )
phương trỡnh : 1
x 5+ +
1
x =
1 6
Bài 5: Một cụng việc nếu giao cho hai đội cụng nhõn làm chung thỡ làm xong trong 4 giờ 48 phỳt Hỏi
nếu làm riờng thỡ mỗi đội hoàn thành cụng việc trong bao lõu? Biết rằng thời gian làm riờng xong cụng
việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ
Gọi x( giờ ) là thời gian đội I làm riờng xong cụng việc ( ĐK: x >24
5 )
phương trỡnh : 1
x +
1
x 4+ =
5 24
D
DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU.
Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú 180 học sinh đợc điều về thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn
chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi
xe lớn nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn ?
Giải:
Gọi số xe lớn là x (chiếc) (ĐK: x nguyên dơng).
Số xe nhỏ là: x + 2 ( chiếc )
Số học sinh mỗi xe lớn chở đợc là:
x
180
( Hs).
Số học sinh mỗi xe nhỏ chở đợc là:
2
180
+
x ( Hs).
Vì mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, do đó ta có phơng trình:
Trang 4
x
180 -
2
180
+
x = 15 Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: 2
x + x− =
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 4 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -6 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy số xe lớn là 4 chiếc
Bài 2: Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có 1 bạn
trong tổ đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho mỗi bạn đều bằng nhau
Gọi x là số học sinh của tổ (x nguyờn và x>1), ta cú phơng trình: 56 56 1
1
x − x =
−
Bài 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều nh nhau
Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế
Gọi x(dãy) là số dãy ghế ban đầu, phơng trình: 400 360 1
1
x − x =
+
Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân
của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Gọi x là số cụng nhõn của đội (x nguyờn và dương), phơng trình:
x
420 -5
420
+
E
DẠNG TOÁN HèNH HỌC.
Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu
chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi
Giải:
Gọi x(m) là chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật
y(m) là chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật
(ĐK:0< x< y < 125).
Vì chu vi thửa ruộng hình chữ nhật là 250 m do đó ta có phơng trình: x + y = 125.
Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi do đó ta có
ph-ơng trình: 2.x +
3
y = 125
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
= +
= +
125 3 2
125
y x
y x
Giải hệ phơng trình ta đợc
=
=
75
50
y
x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy: chiều rộng của thửa ruộng là 50m, chiều rộng của thửa ruộng là 75m.
Do đú: diện tích của thửa ruộng HCN là: 50 75 = 3750 (m 2 ).
Bài 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m Tính diện tích thửa ruộng,
biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi
Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy
Bài 4: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông
bằng 17
Giải:
Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ).
Ta có: cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm).
Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13cm, do đó ta có phơng trình:
x 2 + ( 17 - x ) 2 = 13 2
⇔x 2 - 17x + 60 = 0 Giải PT trên ta đợc: x 1 = 12, x 2 = 5 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lợt là 12 cm, 5 cm.
F
MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC.
Bài 1: Bạn Hải đi mua trứng gà và trứng vịt Lần thứ nhất mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt
hết 10.000đ Lần thứ hai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt hết 9.600đ Hỏi giá một qủa trứng mỗi loại là bao nhiêu?
Trang 5Bài 2: Tổng số công nhân của hai đội sản suất là 125 ngời Sau khi điều 13 ngời từ đội thứ I sang đội
thứ II thì số công nhân của đội thứ I bằng 2/3 số công nhân đội thứ II Tính số công nhân của mỗi đội lúc ban đầu