Một số sai lầm khi tìm GTNN - GTNN

Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã đợc bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.. Tóm lại, từ nhiệm

Phần 1: Những vấn đề chung

I Lí do chọn đề tài:

Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, gópphần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nớc.Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên đợc hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bóchặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con ngời Toán học là môn khoa học cơ bảnrất quan trọng, nó giúp cho việc hình thành và phát triển cho ngời học năng lực tduy logic, phơng pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, t tởng đạo đức

Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng nh tất cả các ngànhcông nghiệp then chốt đều không thể thiếu toán học, chúng đều đợc khởi nguồn

và dựa trên toán học Sự phát triển của một đất nớc không phụ thuộc nhiều ở tàinguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí Toán học có vị trí

đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tàinguyên chất xám Việt Nam chúng ta so với các nớc trên thế giới còn ở trong tìnhtrạng nghèo nàn, lạc hậu Muốn thoát khỏi tình trạng này và đuổi kịp các nớc trênthế giới, đối với Việt Nam phải có lớp ngời mới đợc trang bị kiến thức tốt, luônphát huy tính sáng tạo và khả năng nhanh nhạy để nắm bắt kĩ thuật mới Nhiệm vụquan trọng này ngành GD - ĐT vinh dự đợc Đảng và Nhà nớc giao cho Chính vìvậy trong từng năm học, Bộ GD - ĐT đã có những chỉ thị kịp thời, Sở GD - ĐT,Phòng GD & ĐT và Nhà trờng đã chủ động đề ra những kế hoạch chi tiết, nhữngmục tiêu rõ ràng và giao nhiệm vụ cụ thể đến từng giáo viên

Để hoàn thành nhiệm vụ, ngời giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức

và phơng pháp truyền thụ kiến thức phù hợp Nhng thực tế đã cho thấy hầu hếtgiáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phơng pháp còn nhiều hạn chế,các thầy cô giáo viên dạy toán cũng không phải là ngoại lệ Vậy đâu là nguyênnhân của những hạn chế trên? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là:

- Giáo viên cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bớc cần thiếtkhi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới lạ hoặc những bài toán khó nênhọc sinh cha có phơng pháp suy nghĩ, suy luận đúng trong việc tìm tòi lời

giải một bài toán

- Chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hớng dẫn đểhọc sinh tự tìm ra lời giải Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu đợc lời giải cụ thể củabài toán cha học tập đợc cách suy luận để giải bài toán tơng tự

- Cha chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từngloại để tạo ra phơng pháp và lời giải khác nhau, cha chú trọng rèn luyện cho họcsinh kĩ năng thực hành tính toán, biến đổi, suy luận

- Cho học sinh giải nhiều bài tập mà không chú ý đến việc lựa chọn một hệ

Trong quá trình học tập, học sinh sớm đợc làm quen với bộ môn toán Nhìnchung Toán học là môn học rất trừu tợng Tính trừu tợng và logic tăng dần khi các

em càng học lên các lớp trên Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã đợc bộc

lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Đây là một đề tài thú vị, nó thờng không có quytắc giả tổng quát Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài

toán loại này Vậy tại sao học sinh thờng mắc phải sai lầm khi giải các bài toán

cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:

1 Ngời giải toán cha có đờng lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị

2 Cha nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức

3 Cha hệ thống, phân dạng đợc các bài tập cùng loại

4 Không đọc kĩ đầu bài, cha hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải toán

5 Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịunghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sửdụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có

6 Không tự t duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng cha.Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất làdạng toán khó nhng rất thú vị Nó lôi cuốn nhiều ngời phải say mê, từ các em họcsinh đến các nhà bác học lỗi lạc Tại sao vậy? Mỗi bài toán chứng minh BĐT haytìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêngphù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện t duy toán học mềm dẻo, linh hoạt vàsáng tạo Chính vì thế chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thờng cóbài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế của đất nớc và của ngành giáo dục, từkhó khăn của giáo viên và học sinh thờng hay mắc sai lầm trong việc giải các bàitoán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Một

số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục“

trong chơng trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vàoviệc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việcdạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Nh

nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con ngời phải biết học ngay ở những sai

lầm của mình”

đó cũng là thử thách vô cùng lớn Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và Tròkhông ngừng rèn luyện và đầu t trí và lực vào nghiên cứu học hỏi Học và dạytoán với chơng trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũinhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc ngời học và ngờidạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thày và trò phải dày công đầu t vào nghiên cứucác dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toánhọc đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra ngời dạy và học toán phải tự rèn luyện

và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đa bộmôn toán ngày càng phát triển

Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng nh đợc sự phân công của Phòng Giáo dục

và Đào tạo huyện Yên Dũng, Ban giám hiệu trờng THCS Yên L, qua quá trình bồidỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho họcsinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là côngviệc rất khó Đứng trớc một bài toán nếu ngời thày cha hiểu cha có hớng giải thì tahớng dẫn học sinh nh thế nào, thật khó trong những tình huống nh thế ngời thày

sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải đợctoán nhng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy việc học toán là cực hình là khó vôcùng không thể học đợc

Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng vềthể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trítuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán củabản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìmgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xongcả thày và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian

để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm Tôi đã tìm nhiềubiện pháp để hớng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng nàybằng các phơng pháp mà học sinh và thày đợc trang bị trong cấp học, nhng đềukhông thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinhthì hay mắc sai lầm Cho đến một ngày tôi đọc đợc bài báo của tác giả Vũ Hữu

tháng 8 năm 2000, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều trong quá trình bồi dỡnghọc sinh giỏi, đối với bài toán trên khi áp dụng kiến thức của bài báo vào, mỗi khihớng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hớng dẫn họcsinh, còn học sinh đã khai thác bài toán đợc bằng nhiều cách, tránh đợc những sailầm cố hữu thờng mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạngtoán này Từ thực tế này tôi xin đợc trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồngnghiệp mong rằng đề tài này sẽ đợc mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.

II.2 Cơ sở thực tiễn

II.2.1 Tình hình học sinh

Đối tợng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tơng đốivững có trí tuệ nhất định Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nàocác em cũng làm đợc, đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu hếtcác em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu t vào sẽ mất nhiều thờigian mà cha chắc đã làm đợc và lại rất dễ mắc sai lầm Do vậy các em thờng bỏqua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không

có hứng thú khi gặp bài toán này

II.2.2 Tình hình giáo viên

- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, đợc đào tạo cơ bản, tâm huyết vớinghề và luôn cầu tiến bộ

- Khó khăn:

Thời lợng thực dạy trên lớp 19 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục vụtiết dạy đẫ lấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế thị trờng với

đồng lơng không cao, chỉ đủ đáp ứng đợc cuộc sống đạm bạc thậm chí có phần khókhăn của các nhà s phạm nên các thầy cô giáo còn bị chi phối nhiều thời gian vàocuộc sống cho bản thân cùng gia đình Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và

bao trùm Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững

và sâu thì rất hạn chế, nhiều ngời còn t tởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là đợc cònnghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học

Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giảicho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân Suy nghĩ nàychỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng đợc” Đối với bài toán tìmcực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệmcủa ngời làm toán Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết vàtinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy củamình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với dạngtoán trên song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc cha tìm đợc ph-

ơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, và nộidung sách giáo khoa hiện hành

II.2.3 Các tài liệu

Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về sốlợng, có vô số và lan tràn khắp thị trờng, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách đẹp,tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, thậm chí nhiều cuốnsách có rất nhiều sai sót, tính s phạm không cao Các sách của Bộ giáo dục vì lý do sphạm vì khuôn khổ chơng trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị vànhững sai lầm dễ mắc trong chơng trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông quamột vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấphọc này có thể tham khảo

Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chon đề tài “Một số sai lầm thờng gặp

trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục“ trong chơng trình THCS để

nghiên cứu và thực hiện

Phần 2: Nội dung chính

I Vài nét khái quát về tình hình địa phơng huyện Yên Dũng và các nhà ờng.

tr-I.1 Đặc điểm

I.1.1 Thuận lợi

- Huyện Yên Dũng có bề dày về thành tích bồi dỡng HSG, có thế mạnh về độingũ giáo viên có tay nghề chuyên môn cao, kiến thức vững vàng

- Về phía học sinh các em hiếu học, có ý thức tốt

- Chính quyền và tổ chức đoàn thể rất quan tâm và coi trọng công tác giáo dục

- Các bậc phụ huynh đặc biệt coi trọng việc học tập của con cái

- Cơ sở vật chất các nhà trờng cơ bản đã đầy đủ để học một ca

I.1.2 Khó khăn

- Do không còn hình thức tuyển chọn học sinh nh trớc nên lực học của học sinhkhông đồng đều, mức độ đào tạo, dạy dỗ ở các trờng không đồng đều, nhiều emham chơi, coi nhẹ việc học Về phía gia đình nhiều hộ còn gặp khó khăn mải miếtlàm ăn nên thiếu sự phối hợp với nhà trờng giáo dục các em Còn một bộ phận giáoviên công tác cha thực sự nỗ lực, trách nhiệm cha cao

I.2 Phơng pháp và đối tợng nghiên cứu.

I.2.1 Phơng pháp.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phơng pháp sau:

- Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu su tầm đợc

- Điều tra, trò chuyện với giáo viên và học sinh

- Tự tìm hiểu đối tợng học sinh

- Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

II.1 Phơng pháp trình bày đề tài.

Đề tài đợc trình bày dới dạng đa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều đợc đa

ra lời giải sai, phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đa ra lời giải đúng,cuối cùng đa ra các bài tập đề nghị cho ngời đọc Các sai lầm thờng mắc phải đợcliệt kê ở cùng dạng và chỉ đợc nêu rõ ở phần giải đáp

II.2 Nội dung cụ thể.

II.2.1 Một số tính chất của bất đẳng thức

0,

Chú ý: Không đợc chia hai bất đẳng thức cho nhau.

Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức

II.2.2 Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán cực trị hình học

II.2.2.1 Sử dụng quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu

- Quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu thờng đợc sử dụng dới dạng: + Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng), cạnh góc vuông

AB và cạnh huyền BC thì AB BC≤ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A trùng với C;+ Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đờng thẳng, đoạn thẳng vuônggóc với đờng thẳng có độ dài nhỏ nhất

+ Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đờng thẳng song song, đoạn thẳngvuông góc với hai đờng thẳng sông song có độ dài nhỏ nhất

+ Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đờng thẳng, đờng xiên lớnhơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn

II.2.2.2 Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc

- Quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc đợc sử dụng dới dạng:

+ Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB BC+ ≥ AC Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi B thuộc đoạn thẳng AC

+ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đờng gấp khúc có hai

đầu là A và B

II.2.2.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đờng tròn

- Các bất đẳng thức trong đờng tròn đợc thể hiện trong các định lý:

+ Trong các dây của một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính

+ Trong hai dây của một đờng tròn:

*Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

* Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

+ Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâmchắn cung đó lớn hơn

+ Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơngcung ấy lớn hơn

II.2.3 Một số bất đẳng thức thờng vận dụng để tìm cực trị.

* Bất đẳng thức Côsi

Dạng cơ bản: Cho a b, ≥ 0, khi đó ta có bất đẳng thức a b+ ≥2 ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia b=

Dạng tổng quát: Cho các số không âm a a a1, , , ,2 3 a n

Ta có bất đẳng thức 1 2 3 n 1 2 3

a + + + + ≥a a a n a a a a với n N n∈ , ≥ 2.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 =a3 = = a n

* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Dạng cơ bản: Với a b c d, , , là các số thực tuỳ ý ta luôn có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= hoặc A B=

 Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng hoặc cùng giảm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = = = =a2 a3 a n hoặc b1 = = = =b2 b3 b n

Lu ý: Nếu một dãy tăng và một dãy giảm thì bất đẳng thức đổi chiều.

* Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Bất đẳng thức trong tam giác

 Nội dung: Cho tam giác ABC

có AB c BC a CA b= , = , = Ta có

II.2.4 Đờng lối tổng quát giải bài toán cực trị

* Cực trị đại số: Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f ta phải

thực hiện hai bớc:

- Bớc 1: Chứng minh f ≤m(hoặc f ≥m ) với m là hằng số

- Bớc 2: Trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?” và kết luận

* Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho đại lợng f (f

là số đo độ dài, hoặc số đo diện tích,…) có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta phảithực hiện hai bớc:

- Bớc 1: Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤m

(hoặc f ≥m) với m là hằng số

- Bớc 2: Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

*Chú ý: Trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị thì

lu ý các dấu “=” phải xảy ra đồng thời

II.2.5 Các bài tập minh hoạ

A Cực trị Đại số

A.1 Dạng sai lầm thứ nhất

Bài 1 Cho x, y là hai số dơng thoả mãn x 1 1.

Nhng! x = y thì M = 2039 Vậy sai lầm ở đâu?

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x+ 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5

Lời giải sai:

x= = − ⇒ = −y A , vậy sai lầm ở đâu?

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= −



 =

Phải chăng lời giải trên là đúng?

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.

Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục cha?

A.2 Dạng sai lầm thứ hai

Bài 5 Cho x, y, z thoả mãn 2 2 2

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P≤ 42.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 42

Bình luận

Bài làm khá “đẹp”, nhng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắcphục nh thế nào?

Bài 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x= + x.

Lời giải sai:

Lời giải sai:

Ta có x a+ ≥2 ax (1)

x b+ ≥ 2 bx (2)

Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không?

Bài 8 Cho a, b, c là các số dơng, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Một bạn học sinh đã giải nh sau:

Do a, b, c là các số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Các bạn có đồng tình với cách giải này không?

Bài 9 Cho a, b là hai số dơng và x, y, z là các số dơng tuỳ ý

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra ( 2 2)

3 2

M

≥

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= =y z.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là ( 2 2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0

Lời giải ”quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?

A.3 Dạng sai lầm thứ ba

Bài 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 28 3 + x x− 2 + 5 4 + x x− 2

Lời giải sai:

Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

Lời giải của một học sinh:

Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:

Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này nh sau:

Tuy kết quả đúng, nhng xem ra lời giải bất ổn Tại sao vậy?

Bài 16 Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Có một lời giải nh sau:

Nếu x< 0, ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tửcòn lại giảm xuống Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x y z≥ ≥ ≥ 0

Từ đó suy ra P≥ 2 Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn cha? Lời giải của bạn nh thế nào?

A.6 Một số dạng sai lầm khác thờng mắc phải

Bài 17 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

a + + <b c a b +b c +c a

Lời giải sai.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

Lời giải trên đã đúng cha? Nếu cha, giải thế nào thì đúng?

Bài 18 Cho hai số x; y thoả mãn x > y và xy= 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2

Bài 19 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x2 − + +x 3 x2 − −x 2

Bài 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 2 ) ( 2 )

1 1

“Lời giải hay“

Ta có x2 ≥ 0 với mọi x, suy ra x2 − ≥ − 1 1 và x2 + ≥ 1 1

Suy ra P=(x2 − 1) (x2 + ≥ − 1) ( )1 1 = − ⇒ ≥ − 1 P 1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2

 − = −

 + =



Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 0

Sai lầm ở đâu?

B i 21 à Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x= − 2 xy+ 3y− 2 x+ 1

“Lời giải dễ hiểu“

B×nh luËn:

Lêi gi¶i rÊt ‘logic”, liÖu c¸c b¹n cã chÊp nhËn kh«ng?

Bµi 22 Cho (x y, ) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh 2 2 2 ( )

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F =xy+ 2(x y+ )

“Lêi gi¶i hay“

Bµi to¸n cã lç hæng kh«ng? NÕu cã th× nã n»m ë ®©u?

Bµi 23 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

Bài 24 Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên Tìm giá trị nhỏ nhất

B Cực trị hình học

B.1 Dạng sai lầm thứ nhất

Bài 25 Cho tam giác đều ABC, điểm M trên cạnh BC (M không trùng với B và C).

Vẽ MD⊥AB tại D, ME ⊥AC tại E Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MDE lớn nhất.

Lời giải sai:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M ≡H ; ME = MD ⇔ M là trung điểm của

cạnh BC Vậy khi M là trung điểm của cạnh BC thì S MDE lớn nhất

2EH MD= 2ME MD= 8 ME MD+ , vậy tại sao lời giải lại sai?

Bài 26 Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Về bên

ngoài tam giác, vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB, AC Một đờng thẳng d di

động qua A cắt hai nửa đờng tròn đờng kính AB, AC lần lợt tại M và N (khác A).Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BCNM

Lời giải cho “đáp số đẹp“

Gọi I là trung điểm của BC

- Chỉ ra ∆ABC vuông tại A (theo định

lí Pitago đảo) nên BC = 2.AI

- Vẽ BE ⊥ CN tại E, dễ thấy tứ giác

BMNE là hình chữ nhật, suy ra

H

E D

A

M

MN=BE BC≤

- Gọi D là trung điểm của MN Ta có

ID là đờng trung bình của hình thang

BMNC, suy ra

2 2.

Do đó C BCNM ≤BC BC BC+ + = 15cm (C BCNM là chu vi tứ giác BCNM)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi E trùng với C, D trùng với A

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BCNM là 15cm

Bạn hãy cho biết ý kiến của mình về lời giải trên.

B.2 Dạng sai lầm thứ hai

Bài 27 Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = b, AB = c M là một điểm trên

cạnh BC Gọi E và F lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM và tamgiác ACM Xác định vị trí của M để để diện tích tam giác AEF nhỏ nhất Tínhgiá trị nhỏ nhất đó theo b, c

EAF =EMF = , do đó tứ giác

AEMF nội tiếp đờng tròn đờng kính EF

Bài 28 Cho đờng tròn tâm O cố định, bán kính R không đổi và một điểm I cố

định ở bên trong đờng tròn đó Hai dây cung AB và CD của đờng tròn vuônggóc với nhau tại I Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAC khi các dâycung AB và CD quay quanh I

Lời giải quá gọn:

Gọi IH và IM lần lợt là đờng cao và đờng

trung tuyến của tam giác AIC

Một cách giải thật ngắn gọn, đơn giản! Bạn thấy thế nào?

B i 29 à Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) Xác định vị trí của điểm

M trên đờng tròn sao cho nếu gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của

M trên các đờng thẳng AB, AC thì DE có độ dài lớn nhất.

Lời giải “đẹp“:

90

Suy ra bốn điểm A, D, M, E cùng thuộc

đờng tròn đờng kính AM, suy ra

xảy ra khi và chỉ khi M ≡K

Vậy max DE = 2R khi và chỉ khi M ≡K.

Có phải là khi M trùng với K thì max DE = 2R?

Bài 30 Cho đờng tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Đờng thẳng qua O cắt hai

cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự tại M và N Đờng thẳng MN ở vị trí nàothì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất?

Lời giải (của một số học sinh đã làm)

Gọi S là diện tích tam giác CMN

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi CM = CN, khi đó tam giác CMN cân tại C mà

CO là đờng phân giác nên CO cũng là đờng cao của tam giác CMN, hay MN ⊥CO

tại O

minS = 2r khi và chỉ khi MN ⊥CO tại O

Lời giải đã đúng cha? ý kiến của bạn thế nào?

B.3 Một số loại sai lầm khác thờng mắc

Bài 31 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R Điểm M di chuyển trên nửa

đờng tròn Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự ở C và D.1) Xác định vị trí điểm M diện tích tam giác MAB lớn nhất

2) Xác định vị trí điểm M chu vi tam giác MAB lớn nhất

3) Khi điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn tâm O thì ∆COD có diện tích nhỏ

Max SMAB= 2 R2khi MA = MB = 2R.

Nh vậy S COD ≥S AMB, do đó S COD nhỏ nhất ⇔ S AMB nhỏ nhất Dễ thấy ∆AMB

không có diện tích nhỏ nhất (vì đáy AB cố định, còn đờng cao MH có thể nhỏ tuỳý), do đó ∆COD cũng không có diện tích nhỏ nhất.

4) Ta có COD 1.

AMB

C = MH ≥ Nh vậy C COD ≥C AMB, do đó C COD nhỏ nhất

⇔ C COD =C AMB ⇔ OM = MH ⇔ H ≡ O ⇔ M là điểm chính giữa của nửa đờng

tròn (O)

5) Ta có ODMã =OBMã =EFMã =OEFã nên tứ giác CEFD nội tiếp đợc trong một

đờng tròn tâm K Do CD là dây của đờng tròn (K) nên .

KC≥ ≥ =R Do đó

min KC R= ⇔CD= AB⇔M là điểm chính giữa của nửa đờng tròn

Bình luận: Phải chăng những lời giải trên là đẹp?

Bài 32 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Điểm M thuộc cung BC

không chứa điểm A của đờng tròn (O) Hạ MI, MK lần lợt vuông góc với AB,

AC tại I và K Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị lớn

nhất

Lời giải “hoàn hảo?“ (Hình 1)

- Lấy E, F lần lợt là hai điểm đối xứng

với M qua I, K Suy ra các tam giác MAE

và MAF cùng cân tại A, suy ra

AE=AM =AF ⇒ ∆EAF cân tại A và

ãEAF không đổi (ãEAF =2.BACã

hoặc ãEAF = 360 0 − 2.BACã )

- Mặt khác, IK là đờng trung bình của

∆MEF suy ra IK =12EF ⇒IK đạt giá trị

lớn nhất ⇔ EF đạt giá trị lớn nhất

Hình 1

⇔ AE đạt giá trị lớn nhất

⇔ AM đạt giá trị lớn nhất

⇔ AM là đờng kính của đờng tròn (O)

Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì độ dài IK đạt giá trị lớn nhất

Lời giải trên đã thực sự hoàn hảo cha? Có cần bổ xung hay sửa chữa gì không?

II.2.6 Phần giải đáp “ Hớng dẫn “ Cách khắc phục

A Cực trị Đại số

A.1 Dạng sai lầm thứ nhất

Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra

đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)

Bài 1.

Giải đáp

Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì x y 2

y+ ≥x Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y, còn y 4,

b= +x y + −y x đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất Lập luận này chỉ

đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt đợc tại cùng một giá trị của các biến Rõ ràng

ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = -1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi x + y = x y–

Vậy giá trị nhỏ nhất của F x y( , ) là 2

3, giá trị này đạt đợc khi 1, 0.

3

Bài 4.

Phân tích sai lầm:

y y

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi x = 1 và y = 2

Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tínhthuyết phục hơn

Cách 2:

Biểu thức tổng quát dạng P x y( , ) =ax2 +bxy cy+ 2 +dx ey h+ + ( , ,a b c≠ 0)

Cách giải: Biến đổi P x y( , )về một trong hai dạng sau:

Dạng 1: P x y( , ) =m F x y 2 ( , ) +n H x 2 ( ) +g (1)

Dạng 2: P x y( , ) =m F x y 2 ( , ) +n K y 2 ( ) +g (2)

Trong đó H x( ), K y( ) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F x y( , )

là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y

( )2 2

9 1 5

x x

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi x = 1 và y = 2

A.2 Dạng sai lầm thứ hai

Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT f ≥m (hay f m≤ ), hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết

Bài 5.

Giải đáp

Lời giải này đã quên một bớc vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi

sử dụng BĐT, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức

Ta thấy P = 42 ⇔ (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức

3 27 1

Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh 1,

Chỉ xảy ra A=4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và x =

b Nh vậy đòi hỏi phải có a = b Nếu a ≠b thì không có đợc A=4 ab

x x

P= Đây là sai lầm thờng mắc khi dùng bất

đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Một nguyênnhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩa của dấu “≥” và dấu “≤”.Không phải khi nào viết “≥” cũng có thể xảy ra dấu “=” Ví dụ ta viết 10 ≥ 2 là

=

+ x¶y ra khi vµ chØ khi x= =y z vµ a = b

Nh-ng theo gi¶ thiÕt a, b lµ hai sè d¬Nh-ng tuú ý, nªn víi a b≠ th× ( 2 2)

3 2

M

a b

≥ + §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x= =y z.

Bµi 10.

Phân tích sai lầm:

Khẳng định P≥ 0 là đúng nhng … chẳng đợc gì, bởi vì không có giá trị nào của

x, y để dấu “=” xảy ra.

Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ việc ngời giải đã không thực hiện bớc 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức ta phải trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?”

Bất đẳng thức f x( ) ≥a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x x= 0 nào

đó ( x 0 thoả mãn điều kiện của bài toán) đã kết luận biểu thức f x( ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức f x( ) không đạt giá trị nhỏ nhất.