Đối xứng qua trục

1.Định nghĩa phép đối xứng qua trục... Định nghĩa 1: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình mỗi điểm M thành M’ đối xứng với M qua a... Kí hiệu và thuật ngữ. Phép đối xứng

Bài 3:PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TRỤC

1.Định nghĩa phép đối xứng qua trục.

a

M M’

thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Định nghĩa 1:

 Phép đối xứng qua đường thẳng

a là phép biến hình mỗi điểm M thành M’ đối xứng với M qua a

Kí hiệu và thuật ngữ.

 Phép đối xứng qua đường thẳng còn

gọi đơn giản là phép đối xứng trục.

 Phép đối xứng qua đường thẳng a

thường được kí hiệu là Đa.

 Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng,hay là trục đối xứng.

Theo định nghĩa

a

M = M’

Theo định nghĩa

 Nếu phép đối xứng trục Đa biến hình H thành hình H’ thì nó biến hình H’ thành hình nào?a

C

C’

2.Định lý.

• Gọi Đa là phép đối xứng qua đường thẳng a.Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy mà Ox

là đường thẳng a

• Lấy 2 điểm tuỳ ý A(xa,ya) và B(xa,ya),hãy viết toạ độ của A’ =Đa(A) và

B’=Đ(B).Chứng minh A’B’=AB

Chứng minh AB=A’B’

2

2 AB

AB = = (AI + IJ + JB) 2

2 2

2 ( ' ' )

'

'B A I JB IJ

A

B

A’

B’

O

y

x

Cách 2:chứng minh theo vectơ

2 2

) (AI + JB +IJ

2

] )

( [ AI + JB + IJ

=

Cách 1:Dùng công thức tính khoảng cách.

AB² - A’B’²=AC²+BC² - A’C’² - B’C’²

=(xc-xa)²+(yc-ya)²+(xc-xb)²+(yc-yb)²-[(xc’-xa’)²+(yc’-ya’)²+(xc’-xb’)²+(yc’-yb’)² ] =2yc²-2yc’²+ya²-ya’²+yb²-yb’²-2ycya-2ycyb+2yc’ya’+2yc’yb’

=-2ycya-2ycyb+2ycya+2ycyb

(vì y= -y’ nếu Ox là trục đối xứng)

=0

C C’

Tính chất của trục đối xứng.

 Đa(A)=A’

1.Nếu phép đối xứng biến điểm A(x;y) thành điểm A’(x’;y’) qua :

Ox:

x = x’

y = -y’

Oy:

x = -x’

y = y’

2.

3.Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm biến đổi thứ tự của 3

B’

A’

B

Tính chất của trục đối xứng

4.Trục đối xứng biến :

 Biến 1 tia thành 1 tia

a

 Biến 1 góc thành 1 góc

 Biến 1 tam giác thành 1 tam giác

A

A’

B’ C’

 Biến 1 hình tròn thành 1 hình tròn

Trục đối xứng của một hình.

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

của hình H nếu phép đối xứng trục

Đd biến H thành chính nó, tức là

Đd(H)=H

 Định nghĩa 2:

• Một hình có thể không có trục đối xứng, cũng có thể có một hay nhiều truc đối xứng.

Ví dụ:

 Hình bình hành không có trục đối xứng

 Tam giác cân có một trục đối xứng

 Hình chữ nhật có hai trục đối xứng

 Hình tròn có vô số trục đối xứng

Ứng dụng.

trong ngành kiến trúc xây dựng và phong thuỷ

Nhà hát lớn

Phủ chủ tịch

Bài tập thực hành.

 1.Cho góc nhọn xOy và 1 điểm M nằm trong góc ấy.Gọi M1,M2 theo thứ tự là

ảnh của M qua các phép đối xứng trục Ox,Oy.Chứng minh rằng M1 và M2 là

ảnh của nhau trong một phép đối xứng trục d và trục d đi qua 1 điểm cố định

M

M1

x

y

O

d

M2

M đối xứng với M1 và M2 lần lượt qua Ox,Oy :

OM1 = OM

• Gọi d là trục đối xứng

của M1 và M2

• do tam giác OM1M2

cân nên d sẽ đi qua O

(điểm cố định)

Bài tập thực hành.

điểm đối xứng của B qua AD.Chứng minh rằng khi đó B’ thuộc AC.

A

C

B’

Ta có :

mà

A,B’,C thẳng hàng

B’ thuộc AC