Đề thi thử đại học lần trường THPT Lạng Giang số 1

Gọi I là giaođiểm của các đường tiệm cận.. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhấ.. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuốn

TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ1

.@ ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN III NĂM HỌC 2010-2011

MÔN: TOÁN 12 (Khối A)

Thời gian làm bài: 150 phút

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)

Câu I: (2.0 điểm) Cho hàm số 2 3

2

−

=

−

x y x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giaođiểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

có diện tích nhỏ nhấ

CâuII(2,0 điểm)

1 Giải phương trình: 4sin sin 1

cos

1 2

sin

2 cos cos

x x

x x

2.Giải hệ phương trình sau:

2

2 1

xy

x y





CâuIII (1,0 điểm) Tính tích phân: 0 ( )

2

1 2

3 4 4 2 1

−

= ∫ − − + + .

Câu IV(1,0 điểm)Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với

đáy một góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1

2

AP= AH

uuur uuur

gọi K là trung điểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại

M, N Tính tỉ số thể tích

' ' '

ABCKMN

A B C KMN

V

Câu V(1,0điểm) Cho 3 số thực x;y;z thoả mãn: 2−x+2−y+2−z =1

Chứng minh rằng: 4 4 4 2 2 2

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A, hoặc B).

A Theo chương trình Chuẩn:

Câu VI.a(2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm

A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình (x− 2) 2 + (y+ 1) 2 = 25 theo một dây cung có độ dài bằng 8 2)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(-1;-1;0),B(1;-1;2),C(-1;1;1) và mặt phẳng (P)

có phương trình:x+y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MAuuur+2MBuuur−3MCuuuur nhỏ nhất

Câu VII.a (1,0điểm)Cho tập A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chọn

trong A sao cho số đó chia hết cho 15

B.Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; 0), B(1; –1; 2), C(2; –2; 1), D(–1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua D và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP

Câu VII.a (1,0điểm) Giải phương trình: 4x + 6x = 25x +2

-Hết -ĐÁP ÁN+THANG ĐIỂM CHẤM TOÁN KHẢO SÁT 12 LÀN III KHỐI A, B

Câu Hướng dẫn&Đáp án Điểm

I 1)Học sinh khảo sát đầy đủ các bước và vẽ đúng chính xác đồ thị 1đ

2) ) Ta có: , x 2

2 x

3 x

; x

0

0









−

−

0 0

2 x

1 )

x ( ' y

−

−

=

Phương trình tiếp tuyến ∆ với ( C) tại M : ( ) x 2

3 x ) x x ( 2 x

1 y

:

0

0 0 2

− +

−

−

−

=

∆

Toạ độ giao điểm A, B của (∆) và hai tiệm cận là: ; B( x 2;2)

2 x

2 x 2

; 2

0





−

−

0

+ −

A B

M

x

x x

0

0 B

2 x

3 x 2

y

−

−

=

+

⇒ M là trung điểm AB

Mặt khác I(2; 2) và ∆IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp ∆IAB có diện tích:

S =

2

π =π − + − − ÷ =π − + ≥ π

x





=

=

⇔

−

=

−

3 x

1 x )

2 x (

1 )

2 x (

0

0 2

0

2

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

II

1) Đk: sin 2 0 ,

2

k

2

1 cos cos 2 1

1 2

2

2

2

x





( )

2 6 1

2 2

6

1

2 3

x

 = +













= − 



= ± +





0,5 đ

0,5đ

2) Giải hệ phương trình sau:

2

2 1(1)

(2)

xy

x y





ĐK:x+y>0

2

2

1 0(*)

0(**)

xy

x y

x y

+

+ − =





Xét (*)kết hợp với (2) ta có hệ:

2

1 0

x y

+ + =



1 0

x y

=



 =

2 3

x y

= −



 =



Xét (**) vô nghiệm do đk x+y>0.Kl

0,5đ

0,5đ

III

2 1

2

−

I

2

4 (2x 1) dx ( 2x x 1)dx

+ Tính:

0

2 1

1 2

−

1

x+ = t t∈ − π π⇒dx= tdt x= − ⇒ =t x= ⇒ =t π

+ Tính:

0 2 1 2

( 2 1)

−

2

t= x+ ⇒ x t= − dx tdt x= = − ⇒ =t x= ⇒ =t

Khi đó:

0

I = − t dt= −  = −

∫

0,5đ

0,25đ

0,25đ

Gọi Q, I, J lần lượt là

trung điểm B’C’, BB’, CC’ Ta có:

2

3

a

AP= ⇒AH =a 3 Vì ∆' AHA' vuông cân tại H Vậy 3

'H a

4

3 2

3 2

a

' ' '

Vì ∆' AHA' vuông cân ⇒HK⊥ AA'⇒HK ⊥(BB'C'C)(Vì KH ⊥PQ KH; ⊥BC)

G ọi E = MN∩KH ⇒BM = PE = CN (2)

mà AA’ = A'H2 +AH2 = 3a2+3a2 =a 6

4

6 2

CN PE BM

a

⇒

Ta có thể tích K.MNJI là:

1 3

'

MNJI

a

=

2

MNJI

KMNJI

' ' '

3

1

ABCKMN

A B C KMN

V

V

−

+

0,25đ

0,5đ

0,25đ

V Đặt 2x =a; 2y =b; 2z =c.Từ giả thiết ta có ab+bc+ca=abc,và bất đẳng thưca cần chứng minh

có dạng

45

E

K

J

I A

B

C

C'

B' A'

P

H

Q

N

M

2 2 2

4

a bc b ca c ab

+ +

+ +

a b a c b c b a c a c b

+ +

thức Cô Si cho 3 số dương ta có

a

a b a c

b

b c b a

c a c b

+ + (3).Cộng vế với vế (1),(2) ,(3) ta suy ra điều phải chứng

VI.a 1)G/s một véc tơ pháp tuyến của d là ( ; )n a br ,vì d đi qua điểm A(1;2) nên d có phương trình

d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)

Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3

2 2

, = − − − = ⇔ −3 3 =3 +

+

a b a b

a b

2

0

4

=





 = −



a

a ab

• a = 0: chọn b = 1 ⇒ d: y – 2 = 0

• a = 3

4

− b: chọn a = 3, b = – 4 ⇒ d: 3x – 4 y + 5 = 0

………

2)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(-1;-1;0),B(1;-1;2),C(-1;1;1) và mặt

phẳng (P) có phương trình:x+y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MAuuur+2uuurMB−3MCuuuur nhỏ

nhất

+)Tìm điểm I thuộc (P) sao cho 2IAuur+2uurIB−3uur rIC=0(*) kết quả I(3;-7;-1)

+)Biến đổi 2MAuuur+2MBuuur−3MCuuuur = 2MIuuur+2uurIA+2MIuuur+2IBuur−3MIuuur−3ICuur= MIuuur =IM (Do có (*))

+)Lập luận 2MAuuur+2uuurMB−3MCuuuur nhỏ nhất khi và chỉ khi IM ngắn nhất,do M thuộc (P) nên IM

ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).Tìm được hình chiếu của I trên (P)là I(6;-3;2)

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

0,5 đ

VII.a Nhận xét: Số chia hết cho 15 thì chia hết 3 và chia hết 5.

+ Các bộ số có 5 số có tổng chia hết cho 3 là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0;

2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6)

+ Mỗi số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số tận cùng là 0 hoặc 5

Trong các bộ số trên có 4 bộ số có đúng một trong hai số 0 hoặc 5 ⇒ 4.P4 = 96 số chia hết cho 5

Trong các bộ số trên có 3 bộ số có cả 0 và 5

Nếu tận cùng là 0 thì có P4= 24 cách lập số chia hết cho 5

Nếu tận cùng là 5 vì do số hàng chục nghìn không thể là số 0, nên có 3.P3=18 số chia hết cho 5

Trong trường hợp này có: 3(P4+3P3) = 126 số

Vậy số các số theo yêu cầu bài toán là: 96 + 126 = 222 số

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

VI.b 1) (C1): (x− 1) 2 + (y− 1) 2 = 4 có tâm I1 (1; 1), bán kính R1 = 2

(C2): (x− 4) 2 + (y− 1) 2 = 1 có tâm I2 (4; 1), bán kính R2 = 1

Ta có: I I1 2 = = 3 R1 +R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

⇒ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy

* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) :∆ y ax b= + ⇔ ( ) :∆ ax y b− + = 0 ta có:

2 2

2 2

2

1

∆

∆

=

=



a b

hay

a b

Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: ( ) :1 3, ( ) :2 2 4 7 2, ( )3 2 4 7 2

2) Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) ∈Ox , N(0; n; 0) ∈Oy , P(0; 0; p) ∈ Oz



Phương trình mặt phẳng (α): x + + =y z 1

m n p Vì D ∈(α) nên: − + + =1 1 1 1

m n p

uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

DP NM DP NM

0

3 0

3

1

+ =



 + + =



m n

m

m p

n p

m n p

Kết luận, phương trình của mặt phẳng (α): 1

3 3 + + = 3

−

x y z

0,25 đ 0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

VII.

b Phương trình ↔ f(x) = 4x + 6x - 25x +2 =0

Ta có f’(x) =4x.ln4 + 6x.ln6 -25→f”(x) =4x.(ln4)2 +6x.(ln6)2 >0 ∀x∈R → f’(x) đồng biến /R

Mặt khác f’(x) liên tục và f’(0) =ln4 +ln6 -25<0,

f’(2) =16.ln4+36.ln6 -50 >0 → f’(x) = 0 có nghiệm x0∈(0;2)

Vậy f(x) =0 có tối đa hai nghiệm, ta có bảng biến thiên:

Ta có f(0) =0 và f(2) =0

Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x=0; x=2

0,5 đ

0,5 đ

x f’(x) f(x)

0

- ∞

f(x0)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẦO TẠO

Trường THPT Lạng Giang số 1

đề thi khảo sát học sinh khá giỏi lần 3 năm 2011

Mụn thi : TOÁN – Khối D

Thời gian làm bài:180 phút

A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Cõu I (2 điểm) Cho hàm số

1

1 2

−

−

=

x

x

y có đồ thị là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến này cắt Ox, Oy lần lợt tại các điểmA, B sao cho OA

= 4OB

Cõu II (2 điểm): Giải phơng trình, hệ phơng trinh





1 3 cos cos 3 sin sin3 x x+ 3 x x=

Cõu III (1 điểm) Tớnh tớch phõn

2

1

1 ln

e

x

x

Cõu IV (1 điểm) Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu vuụng gúc của

A’ lờn măt phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết

khoảng cỏch giữa AA’ và BC là a 3

4

Cõu V (1 điểm) Cho cỏc số dương , , :a b c ab bc ca+ + =3 Chứng minh rằng:

1 a b c( ) 1+ b c a( ) 1+ c a b( )≤abc

B PHẦN DÀNH RIấNG (3 điểm) Thí sinh chỉ đợc làm phần I hoăc phần II.

I Theo ch ơng trình chuẩn

Cõu VIa (2 điểm)

1 Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tỡm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3∆ x y− − =5 0 sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú diện tớch bằng nhau

2 Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x +y + −z 2x+6y−4z− =2 0 Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) song song với giỏ của vộc tơ v =(1;6;2), vuụng gúc với mặt phẳng ( ) :α x+4y z+ − =11 0và tiếp xỳc với (S)

Cõu VIIa(1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một

khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7

II Theo ch ơng trình nâng cao

Cõu VIb (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elớp

E + = và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tỡm trờn (E) điểm C cú hoành độ và tung độ dương sao cho tam giỏc ABC cú diện tớch lớn nhất

2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

Cõu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trỡnh: x(3log2 x−2)>9log2 x−2

…… HẾT

Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu gì.

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D

Câu ý Nội dung Điểm

A Phần chung cho tất cả các thí sinh

1

1 2

−

−

=

x

x

1đ

1

* TXĐ: D = R

* Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên: y (x ) < ∀x∈D

−

−

1

1

Hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và (1;+∞)

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị

+ Các giới hạn hàm số và tiệm cận

lim =2

±∞

x suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của(C) =±∞

±

→ 1

lim

x

y suy ra x = 1 là tiệm cânị đứng của (C)

+ Bảng biến thiên:

x -∞ 1 +∞

y’ _ 0 _

y 2 +∞

- ∞ 2

*Đồ thị:

Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng

Giao với Oy: (

2

1

; 0) và Ox (0 ; 1)

Vẽ chính xác, đúng dạng đồ thị

0.25

0.5

0.25

1đ 2

+ Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(x0; y0)cắt Ox, Oy lần lợt tại A, B thoả mãn

OA = 4OB Do OAB∆ vuông tại O nên = = ⇒

4

1 tan

OA

OB

4 1

hoặc

-4 1

+ Hệ số góc của tếp tuyến tại M là













=

=

=

−

=

⇔

−

=

−

−

=

⇒

<

−

−

=

2

5

; 3

2

3

; 1 4

1 1

1 '

0 1

1 '

0 0

0 0

2 0 0

2 0

0

y x

y x

x x

y x

x y

Khi đó có 2 tiếp tuyến là: 





=

− +

=

− +

0 13 4

0 5 4

y x

y x

0.5

0.25

0.25

1đ 1

1 Đk:

1 1 2

x y

≥





 ≥



+ ( )1 ⇔ x−y−(y+ xy)=0⇔( x + y)( x −2 y)=0

y x

y x

4 2

0

0 2

=

⇔

=

⇔









= +

=

−

⇔

nghiệm vô

+ Với x = 4y Thay vào (2) có

1 ( )

2

x

 =



0.25

0.25

A

B

C

C’

B’

A

’ H

Chú ý:Các cách giải khác cho kết quả đúng vẫn đươc điểm tối đa.