Với mỗi số thực x, kí hiệu [ ]x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x... Với mỗi số thực x, kí hiệu [ ]x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.. Một tập hợp các số tự nhiên liên tiếp b
Trang 1I DÃY SỐ
A Các bài toán tính tổng dãy số có quy luật
1 Tính tổng
a) A 1 2= + + + +3 n
KQ: (n 1 n)
A
2
+
=
b) B 1.2= +2.3 3.4+ + + (n 1 n− )
HD: Khử liên tiếp:
n 1 n n 1
Vậy (n 1 n n 1) ( )
B
3
=
c) C 1.2.3= +2.3.4+3.4.5 + +(n −2 n 1 n)( − )
KQ: (n 2 n 1 n n 1)( ) ( )
C
4
=
d) D 1= 2 +22 +32 + + n2
HD: Dựa vào dãy đã biết:
D− A= 1 +2 +3 + + n − 1 2+ + + +3 n =B
Vậy (n 1 n n 1) ( ) (n 1 n) 2 n 1 n n 1( ) ( ) (3 n 1 n)
(n 1 n 2n 1) ( )
6
=
e) E 1.n= +2 n 1( − )+3 n( −2)+ + n.1
HD:
Trang 2(n 1 1 2)( 3 n) (n 1 n n) ( 1)
2
Vậy (n 1 n n) ( 1) (n 1 n 2n 1) ( ) (n 1 n n) ( 4)
E
f) F 1= 3 +23 +33 + + n3
g) G 1 2= + +22 +23 + + 2n
HD: Lập phương trình
2G= +2 2 +2 + + 2 +2 + =G+2 + −1
Vậy G=2n 1+ −1
2 Cho S1 = +1 2;S2 =(1 2+ )+ +4 5;S3 =(1 2+ +3)+ + +7 8 9
4
S = 1 2+ + +3 4 +11 12 13 14+ + + Tính Sn
3 Tính S = 1 3 5 2009+ + + +
HD: Dùng máy tính kiểm tra
1 3 2;
1 3 5 3;
+ =
+ + =
+ + + =
Dự đoán 1 3 5 + + + +(2n 1− ) = ⇔ + + + +n 1 3 5 (2n 1− )=n2
CM bằng quy nạp:
n 1= Đúng
Giả sử đúng với n =k hay ( ) 2
1 3 5 + + + + 2k 1− =k
1 3 5 + + + + 2k 1− + 2k+1 =k +2k + =1 k +1
Vậy bài toán đúng với n= +k 1 ĐPCM
4 Tính S = 13 +23 +33 + + 20093
5 Thực hiện phép tính
Trang 3
−
b)
6 Tính
b)
c)
1 + 2 +3 + 1 + 3 + 4 + 1 + 4 + 5 + + 1 + n 1 + n
−
7 Tính S 1 2 3= − +3.3−4.3 3 + − 24.311 3 +25.312
8 Víi n lµ sè tù nhiªn, kÝ hiÖu a lµ sè tù nhiªn gÇn nhÊt cña n TÝnh n
S =a +a +a + + a
HD: Dùng máy tính thử
a =1;a =1;a =2;a =2;a =2;a =2;a =3; a =3;a =4 a = 4;a =5 Thấy trong dãy tổng Sn có 2 số 1; 4 số 2; 6 số 2; 8 số 4 Dự đoán có 2n số n
CM: Ta chứng minh bất phương trình 1 1
− < < + có đúng 2n nghiệm nguyên x Thật vậy BPT tương đương với 2 1 2 1
− + < < + + có tập
n − +n 1;n − +n 2;n − +n 3; n − +n 2n có đúng 2n nghiệm
Vậy S2009 =2.1 4.2+ +6.3 2n.n+ + +p.(n 1)+ trong đó
=
Vậy S2009 =2.1 4.2+ +6.3 88.44+ +29.45
9 Với mỗi số thực x, kí hiệu [ ]x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Trang 4Giải phương trình 31 + 3 2 + 3 3 + + 3 x3 −1=855
10 Với mỗi số thực x, kí hiệu [ ]x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Tính S = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6+ + 2007.2008.2009.2010
11 Một tập hợp các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 được viết trên bảng Nếu người ta xóa đi một số thì trung bình cộng của những số còn lại là 7
35
17 Tìm số đã
bị xóa
HD: Bài toán trở thành tìm x biết 1 2 3 n x 7
35
+ + + + −
=
− trong đó 1 x≤ ≤n,
x, n∈N Ta có
n n 1
+
lại có 1 x≤ ≤n vậy 17 n n 1 ( + )−2≥1204 n 1( − )≥17 n n 1 ( + )−2n
17 n 1 n 2 1204 n 1 17n n 1
Với n=69⇒ =x 7
Với n=70⇒ ∉x Nloại
Vậy x=7
B Các bài toán lũy tiến
1 Cho dãy số: n 1 n
n
x
+
+
= +
a) Lập một quy trình bấm phím tính xn 1+ với x1 =1và tính x100
b) Lập một quy trình bấm phím tính xn 1+ với x1 = −2 và tính x100
2 Cho dãy số
2 n
n 1 2
n
x
+
+
= + , n là số tự nhiên, n 1≥ a) Cho x =0,25 Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị x
Trang 5b) Tính x100
3 a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người, tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2% Hỏi dân số nước ta đến năm 2010 là bao nhiêu (làm tròn đến trăm nghìn người)
b) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người Đến năm 2020, muốn cho dân
số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
4 Một người gửi tiết kiêm vào ngân hàng số tiền là 65 000 000 đồng (tiền Việt Nam) theo mức không kì hạn với lãi suất là 0,4% một tháng Nếu mỗi tháng người
đó rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng người đó cần rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến trăm đồng) để sau đúng 60 tháng số tiền trong sổ tiết kiệm vừa hết
HD: Giả sử số tiền hàng tháng người đó cần rút ra là x đồng
Sau 1 tháng số tiền còn lại trong ngân hàng của người đó là
1 0
a =a 1, 004− (đồng) x (a0 =65.000.000 ®)
sau hai tháng số tiền còn lại trong ngân hàng của người đó là
a =a 1, 004− =x a 1,004−x 1, 004− =x a 1, 004 −x 1, 004 1+
a =a 1, 004− =x a 1, 004 −x 1, 004 +1, 004 1+
Dự đoán
0.004
Cm bằng quy nạp nhận định trên
Thay số được phương trình:
60 60
0
0, 004
−
Giải phương trình ta được x 1220000≈
5 Một người mua một căn hộ chung cư trị giá 850 000 000 đồng theo phương thức trả góp Biết rằng người đó phải chịu lãi suất của số tiền chưa trả là 0,91% một tháng và mỗi tháng người đó đều trả 15 000 000 đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết số tiền
Trang 66 Ông An muốn rằng sau 2 năm phải có 20 000 000 để mua xe Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoảng tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,075%/tháng
7 Bố bạn Bình tặng cho bạn ấy một máy tính trị giá 5 000 000 đồng bằng cách cho bạn tiền hàng tháng với phương thức sau: Tháng đầu tiên bạn Bình được nhận 100
000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20 000 đồng
a) Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền được nhận hàng tháng với lãi suất
0,6%/tháng, thì bạn Bình phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi tính? b) Nếu bạn Bình muốn chọn phương thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền
bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn phải trả góp bao nhiêu tháng mới trả hết nợ?
8 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
a) x3 −7x+ =4 0
b) 32x5 +32x 17− =0
c) x6 −15x−25=0
d) x− 6 x − =1 0
e) 3x−2 x8 − =5 0
C Dãy truy hồi
1 Cho dãy số { }Un như sau: ( ) (n )n
n
U = 5+2 6 + 5−2 6 với n 1;2;3 =
a) Tính U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Chứng minh rằng Un 2+ + Un =10Un 1+
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un 2+ với n 1≥
2 Cho dãy số { }Un như sau: ( ) (n )n
n
U
4 6
a) Tính U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un 2+ với n 1≥
c) Lập công thức truy hồi tính Un 2+ theo Un 1+ và Un
3 Cho dãy số { }Un như sau:
n
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy
Trang 7c) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính Un 1+ với n 1≥
4 Cho dãy số U0 =2, U1 =10 và Un 1+ =10Un −Un 1− ,n 1;2;3 =
a) Lập quy trình tính Un 1+
b) Chứng minh công thức tổng quát của Un là ( ) (n )n
n
c) Tính Un với n=2;3;4; ;12
5 Cho dãy số U0 =0; U1 =1; Un 1+ =3Un − Un 1− +2
a) Lập quy trình tính Un 1+
b) Tìm công thức tổng quát của Un
c) Tính Un với n 1;2;3 ;10=
6 Cho dãy số u1 =1;u2 =2;u3 =3;un 3+ =un 2+ +2un 1+ +3un
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un 3+ với n 1;2;3; =
b) Tính các giá trị u ;u ;u ;u ;u ;u ;u ;u ;u20 21 22 23 24 25 26 27 28
7 Dãy số { }Un được cho như sau:
U = U =2;U + =U + U +1với n=0;1;2;3
a) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính Un với n≥2
b) Tính các giá trị U ;U ;U ;U ;U ;U ;U2 3 4 5 6 7 8
8 Cho dãy số ( ) (n )n
n
U
2 2
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy
b) Chứng minh rằng Un 2+ =6Un 1+ −7Un
c) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính Un trên máy tính
9 Cho dãy số { }un được xác định như sau:
n 1 n
n 1 n
+ +
+
+
a) Tính giá trị của u ;u ;u10 15 21
b) Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số { }un Tính S ;S ;S10 15 20
Trang 810 Cho hai dãy số với các số hạng tổng quát được cho bởi công thức:
u 1; v 2
u 22v 15u víi n 1;2;3;
+
+
a) Tính u ;u ;u ;u ;u ;v ;v ;v ;v ;v 5 10 15 18 19 5 10 15 18 19
b) Viết quy trình ấn phím liên tục tính un 1+ vµ vn 1+ theo u vµ vn n