Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành

Hiểu rõ hơn các khái niệm được giới thiệu trong phần đại số đại cương idean nguyên tố idean tối đại

KHOA SƯ PHẠM

NGƯỜI THỰC HIỆN:

DIỆP HOÀNG ÂN

MSSV:DTN020672

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:

ThS HOÀNG HUY SƠN

An Giang, 2004

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn, thầy Hồ Văn Các

dã hướng dẫn tận tình và đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành

đề tài này, cũng xin trân trọng cảm ơn Hội đồng khoa học Khoa Sư phạm đã hướng dẫn tôi làm các thủ tục nghiên cứu

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 2

C

Với lý do đó, cần nên phải nghiên cứu đối tượng này Tuy nhiên, vì thời gian có hạn và hạn chế về trình độ nên người nghiên cứu chỉ nhắm đến các khái niệm trong vành giao hoán có đơn vị Để hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình yêu cầu người nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc, trình bày kết quả nghiên cứu một cách có hệ thống, chặt chẽ, rõ ràng mạch lạc và dễ hiểu

Để đảm bảo yêu cầu đó, phần nội dung của đề tài sẽ trình bày bố phần Mỗi phần gồm ba đề mục:Định nghĩa, tính chất và bài tập có lời giải.Sau bốn phần sẽ là các bài tập d5ề nghị Với cách trình bày như vậy , tôi mong nó sẽ là tư liệu tham khảo thuận lợi đối với sinh viên bước đầu học Đại

số đại cương Tuy nhiên, do mới bước đầu nghiên cứu và trình bày nên đề tài chắc có nhiều khiếm khuyết Em rất mong được sự chỉ dẫn của các thầy cô trong Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm, cũng như các bạn đọc khác để hoàn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn

Người viết đề tài Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 3

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 4

Phần Thứ Nhất

IDÊAN NGUYÊN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH

GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

II Mội số tính chất liên quan:

1 Cho X là vành giao hoán có đơn vị, chứng minh các khẳng định sau: a) P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi X/P là miền nguyên

b) A là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi X/A là trường

Giải a) P là iđêan nguyên tố thì X/P là miền nguyên:

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 5

Thật vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/P cũng là vành giao hoán có đơn vị Vì P ≠ X nên X/P có nhiều hơn một phần tử

Mặt khác, với x + P, y + P ∈ X/P Sao cho (x + P) (y + P) = xy + P = 0 +

P Ta có xy ∈ P ⇒ x ∈ P hoặc y ∈ P

Nếu x ∈ P thì x + P = P

Nếu y ∈ P thì y + P = P

Do đó X/P không có ước của không Vậy X/P là miền nguyên

Ngược lại, nếu X/P là miền nguyên thì P là iđêan nguyên tố

Thật vậy, vì X/P là miền nguyên nên X/P có từ hai phần tử trở lên nghĩa

là X ≠ P Vì X/P không có ước của không nên ∀ x, y ∈X sao cho xy ∈ P tức

là xy+ P = P thì x + P = P hoặc y + P = P tức là x ∈ P hoặc y ∈ P Vậy P là iđêan nguyên tố

b) Cách 1:

A là iđêan tối đại thì X/A là trường

Thậy vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/A là vành giao hoán

có đơn vị Hơn nữa do X ≠ A nên X/A có nhiều hơn một phần tử

Mặt khác, ∀ x∈X sao cho x + A ≠ A tức là x∉A Gọi I = A + xX, thế thì I là iđêan của X chứa A thực sự Vì A là iđêan tối đại nên I = X Suy ra 1∈I Do I

= A + xX nên tồn tại a∈A, x/∈X sao cho 1 = a + xx/

Suy ra: 1 + A = a + xx/ + A = xx/ + A

= (x + A) (x/ + A )

x

⇒ / + A là phần tử nghịch đảo của x + A Vậy X/A là trường

Ngược lại, X/A là trường thì A là iđêan tối đại Thật vậy, vì X/A là trường nên X/A có từ hai phần tử trở lên nên A ≠ X Ta gọi I là một iđêan bất

kỳ của X chứa A thực sự Khi đó tồn tại x∈I nhưng x∉A tức là x+A ≠A, do X/A là trường nên tồn tại x/ +A≠A sao cho (x+A)(x/ +A) = xx/ +A=1+A Do I là iđêan của X nên xx/ ∈I, suy ra xx/ =1+a ∈I ⇒1= xx/ -a I⇒ I=X Vậy A là iđêan tối đại

∈

Cách 2:

A là iđêan tối đại của X thì X/A là trường cũng như cách 1 ta luôn có X/A là vành giao hoán, có đơn vị và có nhiều hơn một phần tử

Gọi B là iđêan của X/A thế thì q-1(B) là iđêan của X (Trong đó q: X→X/A

là một toàn cầu chính tắc) Khi đó ∀ x∈A

⇒ x+A = q(x) = A∈B⇒q-1(x+A)∈q-1(B)⇒A q⊂ -1(B) Do A là iđêan tối đại của

X nên suy ra q-1(B)=A hoặc q-1(B)=X

Nếu q-1(B)=A, ∀ x+A∈B⇒ x∈q-1(B)=A x+A = A B={0+A} (iđêan

0 của vành X/A)

Nếu q-1(B)=X,⇒1∈q-1(B)=1+A∈B B = X/A Rõ ràng với mọi iđêan

B của X/A thì B là iđêan 0 hoặc chính là X/A nên X/A là trường

⇒

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 6

Chiều ngược lại, nếu X/A là trường ta cũng có X≠A Gọi B là iđêan của

X sao cho A B X⊂ ⊂ ⇒B/A là iđêan của X/A Thật vậy, ∀x+A∈X/A, b+A∈B/A Ta có (x+A)(b+A)=(b+A)(x+A)=xb+A

B/A ={0+A} hoặc B/A = X/A

Nếu B/A ={0+A} ⇒ B=A

Nếu B/A = X/A ⇒ B=X

Vậy A là iđêan tối đại của X

2 X là vành giao hoán có đơn vị thế thì mọi iđêan tối đại của X cũng là iđêan nguyên tố của X

Giải

A là iđêan tối đại⇔ X/A là trường⇒ X/A là miền nguyên A là iđêan nguyên tố

⇔

3 Nếu f : X→Y là đồng cấu vành P là iđêan nguyên tố của Y thì f –1(P)

là iđêan nguyên tố của X

f (xy) = f(xy) + P = f(x)f(y) + P = (f(x) + P)(f(y) + P) = f (x) f (y)

f (x+y) = f(x+y) + P = (f(x) + P)+(f(y) + P) = f (x)+ f (y)

Ker f = { x∈X : f (x) = f(x)+P = P }

= { x∈X : f(x) = f(x)∈P } = f –1(P) Theo tính chất của đồng cấu vành ta có X / Ker f ≅ Im f = f (X)⊂Y/P

mà Y/P là miền nguyên (do P là iđêan nguyên tố) → X / Ker f = X / f –1(P) là miền nguyên, nên f –1(P) là iđêan nguyên tố của X

4 Nếu f : X→ Y là đồng cấu vành và A là iđêan tối đại của Y thì f –1(A)

là iđêan tối đại của X

Chứng minh tương tự tính chất 3

III Một số bài tập liên quan:

1 Giả sử X là vành có đơn vị sao cho x2=x với x∈X, chứng minh

a) X là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại

b) Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm hai phần tử {0,1}

Giải a) ∀x∈X ta có x = x2 = (-x)2 = -x

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 7

Suy ra a,b∈X ta có (a+b)∀ 2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab +ba + b = a + b ⇔ ab + ba = 0 ⇔ ab = -ba = ba

Vậy X là vành giao hoán

Gọi A là iđêan nguyên tố của X và B là iđêan của X chứa A thật sự Khi

đó tồn tại x∈B nhưng x∉A, ta có x2 – x = 0∈A (do x2=x)

⇒ x(x-1)∈A ⇒x-1∈A⇒ x-1∈B⇒ 1= x-(x-1)∈B⇒ B=X vậy A là iđêan tối đại

b) Nếu X là miền nguyên thì ∀ x∈X ta có x2-x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 x=0 hoặc x=1 Vậy X={0,1} là một trường Vành có tính chất trên là vành Boole

⇒

2 Cho X là vành giao hoán có đơn vị∀ x∈X tồn tại n∈N* sao cho xn=x chứng minh mọi iđêan nguyên tố của X đều tối đại (chứng minh tương tự bài tập 1a)

3 Giả sử X là tập hợp khác rỗng℘(X) là tập các tập con của X Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau

A+B = (A\B)∪(B\A)

Vậy ℘(X) là vành Boole Áp dụng bài 1a) ta có điều phải chứng minh

*4 Iđêan tối đại không chứa phần tử khả nghịch Thật vậy, giả sử I là iđêan tối đại của X, khi đó I≠X nên 1∉I Gỉa sử tồn tại x∈X khả nghịch thoả x∈I Khi đó xx/ = 1∈I vô lý Vậy I không chứa phần tử khả nghịch của X Từ kết quả trên ta có (bài tập 5)

5 Cho I là iđêan tối đại của X, khi đó tồn tại phần tử không khả nghịch thuộc I Thật vậy, giả sử∀ x không khả nghịch thoả x∉I khi đó∀ y khả nghịch thì y∉I Suy ra I rỗng vô lý Vậy ∃ x∈I

Giải

Vì phép nhân (*) là phép nhân không nên hiển nhiên G không có đơn vị Giả sử A là Iđêan tối đại của G khi đó G/A là trường Do G là vành không có

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 8

đơn vị nên G/A không có đơn vị nên G/A không phải là trường, mâu thuẩn với đều giả thiết A là iđêan tối đại Vậy G không có iđêan tối đại

Từ chứng minh trên ta cũng thấy G không có iđêan nguyên tố

7 Cho A1, A2 là các vành giao hoán có đơn vị và X = A1 x A2 Chứng minh a) P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi P có dạng P = P1 x A2 hoặc

P = A1 x P2 với P1, P2 là iđêan nguyên tố của A1, A2

b) M là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi M có dạng M = M1 x A2 hoặc

M = A1 x M2 với M1, M2 là iđêan tối đại của A1, A2

Giải a) Gọi P1 là iđêan nguyên tố của A1 Thế thì P1 x A2 là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2

Thật vậy, ∀a1, b1∈A1 sao cho a1b1∈P1 Tức là ∀ (a1,a2)(b1,b2)∈ X sao cho (a1,a2)(b1,b2)∈ P = P1 x A2

Do P1 là iđêan nguyên tố nên hoặc a1∈P1 hoặc b1∈P1 điều này có nghĩa là (a1,a2)∈ P hoặc (b1,b2)∈ P Vậy P là iđêan nguyên tố của X

Tương tự, nếu P2 là iđêan nguyên tố của A2 thì P = A1 x P2 là iđêan nguyên

tố của X = A1 x A2

Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2 Ta chứng minh

P = P1 x A2 hoặc P = A1 x P2 với P1 là iđêan nguyên tố của A1, P2 là iđêan nguyên tố của A2

Vậy P2 là iđêan nguyên tố của A2 Ta cần chứng minh thêm P = A1 x P2

∀ (a1,a2)∈ A1 x P2⇒ (a1,a2) = (a1,0) + (0,a2)∈ P (do (a1,0)∈ P , (0,a2)∈ P )

∀ (a1,a2)∈ P do (a1,0)∈ P ⇒ (0,a ) = (a2 1,a2) - (a1,0)∈ P

⇒ a2∈ P2⇒ (a1,a2)∈ A1 x P2

Vậy nếu (1,0)∈ P thì P = A1 x P2 với P2 là iđêan nguyên tố của A2

Tương tự nếu (0,1)∈ P ta sẽ chứng minh được P có dạng P = P1 x A2 với

P1 là iđêan nguyên tố của A1

Kết luận P là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2 khi và chỉ khi P có dạng

P = A1 x P2 hoặc P = P1 x A2 với P1 là iđêan nguyên tố của A1, P2 là iđêan nguyên tố của A2

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 9

b) Nếu M1 là iđêan tối đại của A1thì M1 x A2 là iđêan tối đại của X = A1 x

A2 Thật vậy, nếu M1 x A2 = M không phải là iđêan tối đại của X thì tồn tại iđêan B của X, B = B1 x A2 sao cho M B X

Mặt khác vì B = B1 x A2 là iđêan của X thì B1 là iđêan của A1 Vậy M1

không phải là iđêan tối đại của A1 vô lý

Tương tự nếu M2 là iđêan tối đại của A2 thì A1 x M2 là iđêan tối đại của X Ngược lại, nếu M là là iđêan tối đại của X thì M là iđêan nguyên tố của X

do đó theo a) M có dạng M = M1 x A2 hoặc M = A1 x M2 Trong đó M1, M2 là iđêan nguyên tố lần lượt của A1, A2 Gỉa sử M1 không phải là iđêan tối đại của A1 thì tồn tại iđêan B1 sao cho M1

là phần tử nguyên tố nên nó cũng là phần tử bất khả quy nên <p> =P là iđêan tối đại

⇒

9 Giả sử X là vành chính và A là iđêan của vành X Chứng minh

a) Mọi iđêan của vành X/A đều là iđêan chính

b) Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là iđêan nguyên tố

Giải a) Giả sử B là iđêan của vành X/A thế thì P (B) là iđêan của X − 1

(p:X→X/A là toàn cấu chính tắc) Vì X là vành chính nên P (B) = <b> Suy − 1

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 10

10 Trong vành Ơclit mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại Thật vậy, vì vành Ơclit là vành chính nên lọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại

11 Giả sử X là vành Ơclit và A là iđêan của X Chứng minh vành thương X/A là vành Ơclit ⇔ A là iđêan nguyên tố

Giải X/A là vành Ơclit thì X/A là miền nguyên Khi đó A là iđêan nguyên tố của

0

)0()

<x> là iđêan nguyên tố⇔ A là miền nguyên

<x> là iđêan tối đại⇔ A là trường

13 Cho A là vành giao hoán có đơn vị chứng minh các khẳng định sao tương đương:

a)A là trường

b) A[x] là vành Ơclit

c) A[x] là vành chính

Giải Hiển nhiên ta có a) ⇒ b) c) TA cần chứng minh: c)⇒ a) Ta có thể chứng minh theo hai cách:

⇒

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 11

Cách 1: Giả sử A[x] là vành chính Khi đó A[x]/<x> A là miền nguyên

do đó <x> là iđêan nguyên tố của A[x] Do A[x] là vành chính nên <x> là iđêan tối đại Suy ra A[x]/<x>

≅

≅ A là trường

Cách 2: Giả sử a∈A, a≠0, iđêan <x,a> là một iđêan chính nên <x,a>=

<d> với d ∈A[x] Vì d/x, d/a nên d khả nghịch, do đó <x,a> = A[x] tức là 1∈<x,a>

Suy ra 1 = xf (x) + ag (x) với x = 0 ta có 1 = ag(0) Vậy a khả nghịch

(

0

∀i = 0,1, , n}là một iđêan của vành đa thức A[x]

b)A[x]/I[x] (A/I)[x] ≅

c) I là iđêan nguyên tố của A ⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x]

d) I là iđêan tối đại của A thì I[x] có là iđêan tối đại của A[x] không ?

Giải a) Dễ thấy tổng hai đa thức thuộc I[x] là một đa thức thuộc I[x]

0

x I x a x

i x c x

Trong đó c a b i I

l k i k

/ ( ] [ : A x → A I x

θ

i n i i i

n i

a x

)()

i

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 12

0 0

n i

a x

n i

a x

f

0

x I I a x A x a x

Theo định lý toàn cấu vành ta có:

A[x]/I[x] = A[x]/kerθ ≅ (A/I)[x]

c) I là iđêan nguyên tố trong A⇔ A/I là miền nguyên (A/I)[x] là miền nguyên A[x]/I[x] là miền nguyên

⇔

⇔ ⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x]

d) Nếu I là iđêan tối đại thì I[x] không là iđêan tối đại của A[x] vì A[x]/I[x] (A/I)[x] không là trường

≅

*15 Trong vành giao hoán có đơn vị luôn tồn tại iđêan tối đại

Giải Gọi T(A) là tập hợp tất cả các iđêan A của X khác X chỉ số hoá tất cả các phần tử A của T(A) Ta có:

*16 Cho X là vành giao hoán, có đơn vị Bất kỳ một phần tử không khả nghịch của X đều thuộc một iđêan tối đại nào đó

Giải Với x là một phần tử không khả nghịch bất kỳ của x Ta có <x> ≠X Thật vậy, nếu <x> = X thì 1 ∈<x> Khi đó tồn tại x/ ∈X sao cho 1 = xx/ ∈<x> nghĩa là x khả nghịch vô lý

Vì <x> ≠X nên <x> chứa trong một iđêan tối đại nào đó Nên x thuộc một iđêan tối đại nào đó

*17 Cho A là iđêan của X, A ≠ X Nếu với mọi b ∉A đều khả nghịch thì A

là iđêan tối đại duy nhất của X

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 13

Giải Thật vậy, giả sử B là iđêan của X , B ≠ X Sao cho A ⊂ B Khi đó

vì trái lại

B

∀ ⇒b ∈ A b ∉ A ⇒ b khả nghịch do đó tồn tại b/ ∈ X

Sao cho bb/ =1 ∈ B ⇒ B = X vô lý Vậy B ⊂ A hay A = B Vậy A là iđêan

tối đại của X Giả sử X còn có iđêan tối đại A/ nào đó thì thì a

/=A Vậy A là iđêan tối đại duy nhất

18 Cho a là một phần tử của vành giao hoán có đơn vị X hý hiệu :

{ / 0}

)(a = x∈X xa=

Ann

a) Chứng minh Ann (a)là iđêan của X

b) Tìm Ann(4) trong vành Z32

Giải a) ∀x,y∈Ann(a) Ta có xa = ya = 0 ⇒(x−y)a=0⇒x+y∈Ann(a)

∀ ∈X ta có ( x)a = (xa) = 0 = 0 ⇒ x ∈Ann (a)

Vậy Ann (a) là iđêan của X

b) Giả sử k∈ Ann(4) ⇔ k 4 = 0 ⇔4kM32(0≤k<32)⇔ kM8(0≤k<32)

Vậy Ann(4)= { 0 , 8 , 16 , 24}

*19 Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, có một iđêan tối đại duy nhất

Chứng minh rằng mọi phần tử không khả nghịch của X đều thuộc iđêan tối

đại đó

Giải Giả sử X có iđêan tối đại duy nhất A ∀x∈X , x không khả nghịch Ta có :

X

x ≠ , thật vậy vì nếu x = X thì tồn tại x/∈Xsao cho xx/ = 1∈ x ⇒ x khả

nghịch, vô lý Vì x ≠ X mà A là iđêan tối đại duy nhất của X nên x∈ x ⊂ A

ta có điều phải chứng minh

*20 Chứng minh Ann (a) là iđêan nguyên tố của X

Giải

Từ bài 18 ta có Ann (a) là iđêan của X ∀ ,x y∈X sao cho

0)(0)()

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 14

Phần Thứ Hai

PHẦN TỬ LUỸ LINH VÀ NIL-CĂN TRONG VÀNH

I ĐỊNH NGHĨA :

1 Phần tử luỹ linh

Trong vành giao hoán có đơn vị X, phần tử x gọi là luỹ linh nếu tồn tại số

tự nhiên n>0 sao cho xn = 0

2 Nil-căn trong vành

Tập hợp R(X) gồm tất cả các phần tử luỹ linh của X là nil-căn của vành

X

II TÍNH CHẤT :

1 Tính chất của phần tử luỹ linh

a) Cho x∈X , x luỹ linh và x≠0thì x là ước của 0

Thật vậy, giả sử x≠0và x luỹ linh khi đó tồn tại số tự nhiên n bé nhất thoả xn = 0 mà x n−1 ≠0 thế thì xn = xn-1.x = 0 Suy ra xn-1 và x là ước của không

b) Nếu x luỹ linh thì 1+x khả nghịch, 1-x khả nghịch

Thật vậy , vì x luỹ linh nên tồn tại n∈N*sao cho xn = 0 Suy ra

1 = 1 + x2n+1 = (1+x) [1+x+ + x2n] Vậy 1+x khả nghịch

Tương tự 1-x khả nghịch

c) Nếu x luỹ linh và khả nghịch thì + x khả nghịch Chứng minh u u

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 15

Trước hết ta thấy rằng nếu x luỹ linh thì vx luỹ linh Do đó, 1+ khả nghịch Giả sử

2 Tính chất của nil-căn trong vành

a) Nil-căn R(X) là một iđêan của X

∑n i m n i i

i n

m x y C

Do một trong hai số i và m+n-i có một số lớn hơn m và n

Nên x+ y∈R ( X), (−x)n =(−1)n x n =0⇒−x∈R(X)

Mặt khác, ∀x∈R (x) và ∀x∈X ta luôn có xα=αx∈R (X)

Vậy R(X) là iđêan của X

b) X / R(X) không có phần tử luỹ linh khác không

Thật vậy, giả sử x = x + R(X) luỹ linh trong R(X) Thế thì tồn tại n sao

cho x n = 0 ⇒x n∈R(x)⇒x∈R(x)⇒x= 0

c) X là vành giao hoán có đơn vị thế thì nil-căn R(x) của X là giao của tất

cả các iđêan nguyên tố trong X

Chứng minh Gọi R/ là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của X Ta chứng minh

R/ = R(x) Nếu vậy ta cần chứng minh rằng∀a∈R ( X) thì và nếu

thì

/

R

a∈)

R

a∈ ⇒ n = ∈

∀ (Do R/ là giao của tất cả các iđêan nguyên

tố của X nên cũng là iđêan nguyên tố của X) ⇒a∈R/

)

(x R

a∉

∀ ta chứng minh a∉R/ Vì a∈R(X)⇒a n ≠0∀n∈N

Gọi A là một iđêan của X có tính chất a n∉A , ∀n∈N

Gọi T(A) là tập hợp tất cả các iđêan A có tính chất trên ta có ∅ vì { } Giả sử

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 16

Vì P∈T (A)nên a m∉P ∀m>0 suy ra a∈P⇒a∉R/ ⊂P vậy R/=R(x) d) X là vành giao hoán có đơn vị R(X) là nil-căn của X Khi đó các khẳng định sau đây tương đương :

i) X có một iđêan nguyên tố duy nhất

ii) ∀a∈X thì a luỹ linh hoặc a khả nghịch

iii) X / R(X) là trường

Chứng minh i) ii) Vì X là vành giao hoán có đơn vị nên tồn tại iđêan tối đại A và

A cũng là iđêan nguyên tố Vì X có một iđêan nguyên tố duy nhất nên nó cũng là iđêan tối đại A

ii) ⇒iii) Giả sử a∈X /R(X), a ≠ khi đó 0 không luỹ linh

a X R

a∉ ( )⇒

⇒ a khả nghịch ⇒ a khả nghịch ⇒ X / R(x) là trường

iii) ⇒i) Vì X / R(x) là trường ⇔ R(X) là iđêan tối đại của X Mặt khác R(x) là giao của các iđêan nguyên tố của X nên với P là iđêan nguyên tố của X Nhưng do R(X) là iđêan tối đại nên R(x) = P Vậy X có một iđêan nguyên tố duy nhất

P x

(

0

x A x

a x

a) f khả nghịch trong A[x] khi và chỉ khi ao khả nghịch trong A và a1, a2,

…an luỹ linh

b) f luỹ linh trong A[x] khi và chỉ khi ao, a1, a2, …an luỹ linh

c) f là ước của không khi và chỉ khi tồn tại phần tử khác không a ∈ A sao cho af =0

Giải