Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai Giải phơng trình tìm t thoả mãn rồi tìm x... Ta có t+abt+cd=e Giải phơng trình tìm t rồi tìm x... 2 nhân cả hai vế của phơng trình với 2
Trang 1Chuyên đề Tam thức bậc hai
A.Phơng trình bậc hai
I Định nghĩa:
Cho hàm số y= f(x) và y= g(x) có tập xác định lần lợt là Df , Dg Khi đó mệnh đề chứabiến f(x) = g(x) đợc gọi là phơng trình một biến x
Trong đó: D= D f ∩D g đợc gọi là tập xác định của phơng trình.
x0∈D: f(x0) = g(x0) là đẳng thức đúng thì x0 đợc gọi là một nghiệm của phơng
Nghiệm đúng với mọi x thuộc D (x+ 1 ) 2 =x2 + 2x+ 1
Định nghĩa này dễ dàng mở rộng cho khái niệm phơng trình nhiều biến
II Các định lý về phép biến đổi tơng đơng
⇔
=
2
2 ( ) )
(
0 ) ( ) ( )
( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
0 ) ( )
( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
( ) (
x g x
f
x g x f x
g x f
x h x g x h x f
x h x
g x f
x h x g x h x f
nghia co x h x
g x f
Khi sử dụng các định lý về phép biến đổi tơng đơng học sinh thờng mắc phải những
Sai lầm do không nắm đợc điều kiện dùng định lý
Ví dụ 1 : Giải phơng trình
2 2
2 1
x x
x x
Có học sinh giải nh sau: Điều kiện
0 1
2
2
x x
x x
Với điều kiện trên phơng trình đã cho tơng đơng với
x x
x
x x
x x
2 2
2 1
−
− +
) 2 2 (
2 2 )
2 ( )
1 (
1 ) 1 (
2
2 2
⇔
x x x
x x x x x
x x
x x x
1 ( 2
0 )
2 2 (
2 )
1 (
1
2 2 2
x x
x x x x
Lời giải trên là sai lầm rõ ràng x=0 là một nghiệm của phơng trình
Nguyên nhân sai lầm vì học sinh thực hiện phép biến đổi không tơng đơng nghĩa là
khi cộng vào hai vế của phơng trình với biểu thức không hoàn toàn xác định trên D
Trang 2⇔
−
= +
−
2 1
0 2 3
1 2
1 2 2
x x
x x
x x x
Lời giải trên có sai lầm vì nhận thấy x=2 không là nghiệm của phơng trình
Nguyên nhân sai lầm là do học sinh không chú ý đến điều kiện để bình phơng hai vế của
a
b
2 1,22
, 1
b
x= − = −
∆ < 0 (∆’ < 0 ) phơng trình vô nghiệm
IV Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Giải phơng trình tìm t ( thoả mãn ) rồi tìm x
Mối quan hệ giữa nghiệm của phơng trình trùng phơng và nghiệm của phơng trình bậc hai
) 2 ( 2 1
S
p t
0 0 0 0
0
0 2 1
2 1
a b
S P t
t
t t
Trang 3
0 0 0
0 2 1
2 1
a b
P t
t
t t
0
S
P t
0
0 1 2
S
P t
0
1
x NÕu ph¬ng tr×nh ax4 +bx3 +cx2 −bx+a= 0 (a ≠ 0 ) cã mét nghiÖm lµ x0 th× cã nghiÖm thø hai lµ -
4 ) 2
0 1 4
) 1
2 3
4
2 3 4
= + + +
+
= + +
− +
x x
x x
x x x x
0 3 ) 5 3 ( 2 ) ( ) 5
0 1 ) 13 14 5 )(
2 ( ) 2 ( ) 4
0 6 25 12
25 6
) 3
2 2
2 4
2 3 4
−
− +
−
= +
− +
+
x x x x
x x x
x
x x
x x
Trang 413 2
5 3
2 )
6
14 ) 4 3 )(
4 2 (
)
5
0 4 10 8 5 )
4
0 50 105 74
21 2
)
3
)
4 3
( 3
10 48 3 )
2
4 8 7
1 4
)
1
2 2
2 2
2
2 3 4
2 3
4 2 2 2 2
= + +
+ + +
= + + +
−
= +
− +
−
= +
− +
−
−
= +
+
= + +
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
x
x x
10 )
16 9 (
2
x
x x
13 2
5 3
+ +
+ + +
x
x x
x
x+2 =
3
*, Phơng trình bậc 4 có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a+b = c+d
Phơng pháp giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với
[x2 + (a+b)x+ab][x2 + (c+d)x+cd]=e
đặt x2 + (a+b)x =t Ta có (t+ab)(t+cd)=e
Giải phơng trình tìm t rồi tìm x
Trang 5Ví dụ: Giải các phơng trình sau
6 ) 1 )(
4 3 ( ) 7 6 (
)
5
24 ) 12 7 )(
2 3 (
)
4
34 ) 3 )(
6 )(
2 )(
1 (
)
3
9 ) 3 2 )(
3 )(
1 )(
1 2 (
)
2
0 16 ) 5 )(
3 )(
1 (
)
1
2
2 2
2
= + + +
= + + +
+
=
−
− +
−
−
= +
−
−
−
= + + +
−
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x
*) Phơng trình bậc 4 có dạng (x+a) 4 + (x+b) 4 =c
Phơng pháp giải: đặt
2
b a x
b a t a x
−
−
= +
− +
= +
Phơng trình đã cho có dạng t+a−b + t−a−b =c ⇔ t + a−b t + a−b =c
8
) ( ) ( 3 2 )
2 ( ) 2 (
4 2
2 4
4 4
Giải phơng trình trùng phơng tìm t rồi tìm x
Ví dụ: Giải các phơng trình sau
2 ) 5 ( ) 3 ( )
3
17 ) 2 ( ) 5 ( )
2
2 ) 6 ( ) 4 (
)
1
4 4
4 4
4 4
= + + +
=
− +
−
= + + +
x x
x x
x x
b) Ngoài các phơng trình bậc 4 biết cách giải nói trên ta còn gặp những phơng trình bậc 4 mà để giải nó ta phải đa về phơng trình tích hoặc phơng trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải các phơng trình sau
( )
0 1 2 3 4
)
8
11 ) 5 (
25
)
7
0 5 3
4
)
6
0 5 ) 1 (
6 ) 1
(
)
5
) 1 ( 1 )
1 (
2
)
4
0 4 4 5
)
3
0 1 4 2 4
)
2
0 3 3 11 11
6
)
1
2 3
4
2
2 2
4
4 2 2
2 4 2
2 3
2 2
2 3
4
2 3
4
2 3
4
=
−
− +
+
= +
− +
+
−
+
= + + +
−
= + +
−
−
= + +
−
x x x
x x x
x
x x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
4) Chia cả hai vế của phơng trình cho (x + 1) 2
5) Chia cả hai vế của phơng trình cho x4
6) phơng trình (6)⇔ (x2 + 1 ) 2 = 2 (x+ 3 ) 2
Trang 67) biến đổi phơng trình về dạng 11 0
5 10 ) 5 ( 11 5
5 2 ) 5
5 (
2 2
2
+
+ +
⇔
= +
+ +
−
x
x x
x x
x x x
x x
0 ) (
0 ) (
0 ) ( )
( ) ( ) (
) ( ) (
0 ) ( )
( ) (
) ( ) (
0 ) ( 0 ) ( )
( )
(
2
x g x f x h x g x f
x h
x g
x f x
h x g x f
x g x f
x g x
g x f
x g x f
x g x
f x
g x f
)
10
4 3
4 3 )
9
4 9
3 2
)
8
3 4 2
1 2
3 )
7
11 2 3 2 3 4
)
6
1 2
5 1
)
5
1 2 3 2 3
)
4
2 ) 1 ( ) 1 3
(
)
3
2 2 5 2 2 5
2 3 2 )
2
5 1 6 8 1
4 3
2
2
= +
+
= + + +
−
−
= +
+ + +
= + +
+
=
− + + +
+
=
− +
=
−
−
− +
− +
+
=
−
− + +
− + +
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
Hớng dẫn:
1) phân tích biểu thức dới căn là các hằng đẳng thức từ đó đa phơng trình về dạng chức dấu giá trị tuyệt đối
2) nhân cả hai vế của phơng trình với 2 rồi giải nh phơng trình (1)
3) Giải phơng trình dựa tren miền xác định
4) Quy đồng rồi đa về phơng trình tích
Trang 7−
x x
10) Biến đổi phơng trình có dạng
2
1 2004 (
) 2
1 ( 4
1 2004 2004
4
1
− +
= +
⇔ + +
− +
= +
−
= + + +
+
x x
x x
x x
−
= + +
+
x x x x
−
= +
− +
+
x x
x x
x x
+
3 1
3 1 0
2 2 1
x x
x x
x
Thử lại ta có hai nghiệm đều thoả mãn
Qua lời giải trên ta có nhận xét
Nếu phơng trình f(x) + g(x) = h(x) + k(x) mà có f(x) h(x)= g(x) k(x) thì ta biến đổi phơng trình về dạng f(x) − h(x) = k(x) − g(x) sau đó bình phơng rồi giải phơng trình hệ quả
Trang 83 Trục căn thức
3.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a Phơng pháp: Một số phơng trình vô tỷ có thể nhẩm đợc nghiệm x0 nh vậy phơng trình luôn đa đợc về dạng tích (x-x0)A(x)=0 Ta có thể giải phơng trình A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm
b Ví dụ: Giải các phơng trình sau
1 1
)
5
5 3
5 12 )
4
4 3 )
1 (
3 2 1
5 3
)
3
4
4 6 2
2 4 2
)
2
6 2 3
2 2
2 2
2
−
= +
−
+ +
= + +
x x x
x x x
x x
x x
x
x x x
x x x
Hớng dẫn:
1) Nhân liên hợp vào vế trấi của phơng trình ta có phơng trình đã cho tơng đơng với
3 0
) 2 3
2
1 )(
3 ( ) 3 ( 2 3
−
−
x x
x x
x x
=
−
⇔ +
−
=
− +
+
−
4 2
2 4 2
0 4 6 4
4 6 2
x x x
x
3) Trục căn thức hai vế của phơng trình ta có
4 3 2
6 3 1
5 3
4 2
2 2
−
= +
−
+
−
x x x
x x
x x
Có x=2 là nghiệm duy nhất của phơng trình
4) Phơng trình đã cho có dạng
2 3
5
4 )
2 ( 3 4 12
4 3
5 6
3 4
+ +
− +
−
= + +
−
⇔
− + +
x
x x
x x
5) Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phơng trình nên ta biến đổi
5 2
) 9 3 )(
3 ( ) 4 1 2
) 1 (
3 1
)(
2 ( 5 2 3
−
= +
−
−
−
+ +
−
−
x
x x x x
x
x x
x x
k B A
C B A
b, Ví dụ: Giải các phơng trình sau
x x
x x
x
x x
x x
x
3 1 1
2 2
4 1
2 9 2
)
1
2 2
2 2
= +
− + + +
+
= +
− +
+ +
Hớng dẫn: 1) Ta thấy x = - 4 không là nghiệm của phơng trình Trục căn thức ta có
Trang 92 1 2
9 2
4 1
2 9
= + +
− +
+ +
= +
−
− + +
7 8
0 6
9 2
2 4 1
2 9 2
2 1 2
9
2 2
2 2
x
x x
x x x
x x x
x
x x x
x
Thử lại phơng trình ta có hai nghiệm đều thoả mãn
2) Chia cả hai vế của phơng trình cho x ta đợc 2 +1+ 12 + 1 −1 + 12 = 3
x x x
1 2 2
+
−
− + +
+
t t t
3
1 2 1 2
3 1 2
2 2
2
2 2
+ +
= + +
−
− + +
= +
− + +
t t t
t t t
t
t t t
1
t t
2 2
2 2
2 2
3 2
3
3 2
3 2
2 2
3 1
3 6 )
10
8 2
3 15 )
9
4 2 1 18
16 2 )
8
2 3
2 2 2 3 1
2 )
7
0 4 4 3 21 11 2
)
6
2 3 2 3 1 )
5
3 2 1 4
)
4
) 10 )(
2 ( )
5 )(
2 ( 2
)
3
2 3
10 3 4 )
2
1 )
3 ( 1 3 )
1
x x x
x x
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
− +
−
= +
+
=
− + + +
+
− + + +
=
−
− +
−
=
−
− +
−
−
=
− +
−
− +
−
= +
−
− +
= + +
Hớng dẫn:
1) đa về phơng trình tích⇔ (x− x2 + 1 )( x2 + 1 − 3 ) = 0
2) Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phơng trình Phơng trình đã cho có dạng
3 3
1 3 10 3 4
) 3 ( 9 3
1 3 10 3 4
) 3 10 1 ( 3 3
1 3
x
x x
x
3) Nhận thấy x =1 là nghiệm của phơng trình do đó phơng trình có nhân tử x – 1Phơng trình đã cho có dạng
Trang 10
1
3 20 12
) 11 )(
1 ( 1 2
10 7
) 6 )(
1 ( 2
3 20 12
11 12 1
2 10 7
) 6 7 ( 2
3 20 12 1
4 10 7 2
2 2
2
2
2 2
2 2
=
⇔
+ +
−
−
− +
−
= + +
−
+
− +
−
= + +
− +
−
=
− +
−
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
4) Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình Phơng trình có dạng
2 )
2 ( 2 1 1
2 4
4 2
) 4 (
) 2 )(
2 ( 4
2 1 1 2
4
3 2 2
x
x x x
x x
5) Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình Phơng trình đã cho có dạng
1 )
1 ( 3 1 2 3
) 1 ( 3 1 3
3 1 2 3
1
2
3
3 2 3
+
−
− +
x
x x
x x
x
7)
2 3 2
4 2 3
2 2 1
2
) 4 2 (
2 3 2
3 2 2 1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
−
− + +
−
+
= + + +
−
= + +
−
−
x x x
x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
8) Nhận thấy x=1 là nghiệm của phơng trình, phơng trình có dạng
) 1 ( 2 1 6
18 16 2
18 16 2
2 2 1 6
+ + +
− +
⇔
−
=
− +
− +
x x
x x
x x
x
x
9)Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình, phơng trình đã cho có dạng
1 3
8
1 )
1 ( 3 4 15
1 3
8 3
3 4
+ +
− +
−
= + +
−
⇔
− + +
x
x x
x x
10) Trục căn thức ở mẫu ta có
1 2
) 1 )(
3 6 (
x x x
x x
x x
x x
−
− +
−
4.Ph ơng trình biến đổi về tích:
Ví dụ : Giải các phơng trình sau
x x
x x
x x x x
x x
x x x x x
x x x
x
x x x x
x
4 3
4 3
)
5
3 4 2
1 2
2 1
)
2
1 2 2
3 2
3
3 2 3
3
2 2
= + +
+
+ + +
= + +
+
+ +
= +
+
+ + +
= + +
+
+ +
−
= +
−
Hớng dẫn:
1) ⇔ ( 2x− 1 − 1 )( 2x+ 1 − x) = 0
2)⇔ ( 3 x+ 1 − 1 )( 3 x+ 2 − 1 ) = 0
Trang 113) chia cả hai vế của phơng trình cho 3 x ⇔ (3 +1− 1 )( 3 x− 1 ) = 0
x x
4)⇔ ( x+ 3 − 2x)( x+ 1 − 1 ) = 0
5) Chia cả hai vế của phơng trình cho x+ 3phơng trình tơng đơng với
0 )
Dạng 1: Sử dụng ẩn phụ để đa về phơng trình đại số
Phơng pháp: Biến đổi phơng trình đã cho về phần chứa x giống nhau
Đặt f(x) = t đa phơng trình đã cho về phơng trình đại số ẩn t
f( ) = ⇒ ( ) = Nếu bài toán có chứa f(x) ± g(x) ; f(x)g(x) và f(x) + g(x) = k Khi đó có thể đặt
2 ) ( ) ( )
(
)
(
2 k t x g x f t x
10
1 1 )
9
1 2 )
8
1 3
1 2
)
7
) 1 1 )(
2004 ( )
6
2 1 1
)
5
7 9 7
2 ) 7 2
(
)
4
2 4
2 2
)
3
1 1 3
1 3 2
)
2
2 7 7 2
18 21 3
)
1
2 2
2
3 4 2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
= + +
= + +
+
=
− +
+
=
− +
−
− +
=
=
− + +
−
−
+ +
= + +
=
− + + +
+ +
x x
x x
x x x x
x x x x x
x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
x
x
x x
x
x x x
Trang 12Đặt (x− 2x+ 7 ) =t
5, Đặt x− x2 −1 =t thì phơng trình có dạng +1= 2
t t
6, đặt 1 − x = y Phơng trình đã cho có dạng 2 ( 1 −y) 2 (y2 + y− 1002 ) = 0
7, Chia cả hai vế của phơng trình cho x ta đợc
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
168 ) 18 9
)(
2 3
(
)
6
2 5 3 2 9 4 1 2
3
)
5
9 17
17
)
4
2 2 1 ) 2 )(
) 2 )(
2 2
2 2
= + + + +
+
− +
−
=
− +
−
=
− +
− +
− +
=
− +
+
=
− +
Dạng 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến
Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến có dạng x2 +axy+by2 = 0
Cách giải: Chia cả hai vế của phơng trình cho y2 đa phơng trình đã cho về phơng trình bậc hai có ẩn là y x
Các trờng hợp sau đa về đợc dạng trên
2 2
) ( ) ( )
( ) (
nv mu v
u
x B x A c x B b x A a
+
= +
= +
) ( ).
( ) (
x B b x A a x Q
x B x A x P
Trang 13Ví dụ: Giải các phơng trình
1 4
2 2 4
)
8
1 3
3 1
3
)
7
1 7
1 5 2
)
6
28 ) 12 )(
4 ( ) 3
(
)
5
1 )
3 ( 1 3
)
4
1 2 3 1 )
3
8 5
) 8 (
2
)
2
1 5
) 2 (
2
)
1
4 2
2 4 2
3 2
2 2
3 2
3 2
+
= +
−
+ +
−
= +
−
−
=
− +
−
= +
− +
+ +
= + +
−
=
− +
+
= +
+
= +
x x
x
x x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x u
2
2 x x v
x u
v x
u x
= +
v x
u x
−
= +
v x x
u x
) 12 )(
x u
Ta đợc phơng trình 3u2 + 2v2 = 7uv Để tìm hệ số a, b ta có ờng dùng phơng pháp hệ số bất định Cụ thể 2x2 + 5x− 1 =a(x− 1 ) +b(x2 +x+ 1 )
−
= + +
v x
x
u x
x
1
1 2
= +
−
v x
x
u x
x
1 2
1 2 2
2
Ta đợc phơng trình 3u2 +v2 =uv
Trang 14Thông qua các ví dụ trên ta thấy có thể sử dụng một số hằng đẳng thức nh
) 1 2 2 )((
1 2 2 ( 1 4
) 1 2 )(
1 2 (
1
) 1 )(
1 (
1
) )(
(
) )(
(
2 2
4
2 2
4
2 2
2 4
2 2
3 3
2 2
3 3
+ + +
−
= +
+ + +
−
= +
+
− +
+
= + +
+ +
= +
x x x
x x
x x
x x
x
x x x x x
x
b ab a b a b a
b ab a b a b a
Ta có thể tạo ra những phơng trình vô tỷ dạng trên Để có một phơng trình đẹp ta cần chọn hệ sốa, b, c sao cho phơng trình bậc hai at2 +bt+c= 0 giải nghiệm đẹp
14 5
)
3
1 4 3 1 2 2 )
2
1 1
3 )
1
2 2
2 2
2 4 2
−
+ +
=
− + +
+
−
=
− +
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
2
x v
v x
u x x
1 2
2 2
v x
x
u x
5 4
4
2 ta đợc phơng trình 2v2 + 3u2 = 5uv
Với định hớng này ta có thể tự sáng tạo đợc những phơng trình vô tỷ đẹp
Dạng 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Trong một số trờng hợp ta có thể giả phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ, nhng sau khi biến đổi ta đựoc phơng trình vẫn còn cả hai biến t và x, tuy nhiên ta tìm đợc mối liên hệ giữa t và x bằng cách coi đây là phơng trình ẩn t còn x coi nh là hẳng số
Trang 15Ví dụ: Giải các phơng trình sau
16 9 2
4 4 2
2
)
7
1 1
2 3 1 1 4
)
6
1 3
2 )
1 ) 2 3
(
)
4
0 5 6 6 ) 1 4 ( 5 10 6
)
3
1 4 1 2 2
)
2
1 2 2 1 )
2 2
2
2 2
2
2 2
+
=
− + +
− +
− +
=
− +
+
= +
− +
+ +
= +
− +
= +
−
−
− +
−
+
= + +
+ +
= +
−
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x x
0 ) 1 ( 2 ) 1 ( 0
) 1 ( 2 ) 1 (
Ta phải tách 9x2 =a2 ( 4 −x2 ) + ( 9 + 2a)x2 − 8a = 0 làm sao cho ∆t là số chính phơng
Thông thờng ta chỉ cần nhóm sao cho hết số hạng tự do thì sẽ đạt đợc mục đích
Dạng 4: Đặt nhiều ẩn phụ đa về tích
Ví dụ: Giải các phơng trình
3 3
3 2
3 2
2
3 2 3
3 3
3 3
4 2
3
2 2
2 2
2 2
2 2
2002 2003
6 2002 7
3 2001 3
)
7
2 1 8 8
1 1
)
4
3 9 1 2
1 5
4
)
3
2 3
2 2 2 3 1
2
)
2
3 2 2
3 2
−
− +
−
=
−
− +
−
−
− +
=
−
−
− +
− + +
− +
= + + + +
−
−
= +
−
− + +
+
− + + +
=
−
− +
−
− + +
−
= + + +
−
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x
Trang 16⇒ +
d c b a x
x c x x b x a
Đối với các ví dụ 5, 6, 7 ta thấy có sự đặc biệt là sau khi đặt ẩn phụ ta đều đa đợc về
ph-ơng trình tích Tất cả các phph-ơng trình này đều xuất phát từ một hằng đẳng thức quan trọng là (a+b+c) 3 =a3 +b3 +c3 + 3 (a+b)(b+c)(c+a)
Ta có a3 +b3 +c3 = (a+b+c) 3 ⇔ (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Bằng cách chọn a, b, c sao cho
3 3
3
3 b c (a b c)
a + + = + + ta đợc phơng trình vô tỷ chứa căn bậc bai
Dạng 5: Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình
Dạng 1: Đặt ẩn phụ đa về hệ thông thờng
Phơng pháp: Đặt u = α (x),v= β (x)và tìm mối liên hệ giữa α (x), β (x)độc lập đối với x, từ
α
bc e
ac d
−
= +
+
= +
β
b ax e
dy x
e dx
c
e
dy
b ax
(
Ví dụ1: Giải phơng trình
5 13 4 1
3
)
2
5 4 1
−
=
+
+ +
=
+
x x x
x x
−
+
= +
= +
+
= +
(
) 2 ( 1 )
2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2
) 2 ( 1 1
) 2 (
2
2
2 2
2
y x
y x
x y
y x
) 3 2 ( 1 3 4 )
3 2 ( 3
2
3 2 1
3
2 2
2
y x
x x
y
y x
Trang 17Dạng 3:Dạng phơng trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba
Phơng pháp: Biến đổi phơng trình về dạng 3 ax+b =c(dx+e) 3 + α +x βvới
α
bc e
ac d
= +
+
= +
β
αx e dx c e dy
b ax e dy
3
3
) (
Ví dụ : Giải các phơng trình sau
1000 8000
1 1000 )
11
5 4 1 6
2
)
9
1 2 2 2
)
8
3
8 5
2 6 5
)
6
5 5 )
5
1 2 2
1
)
4
30 ) 35 (
35
)
3
3 1 18
)
2
8 5 6 3 2
4 4
3
= +
−
=
−
= +
+ +
−
−
=
− +
+
= +
−
=
− +
−
=
− +
−
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
8 3 2 5
6
2 3
2 3
3
v u
v u v
x
u x
= +
18
4 4 4
4
v u
v u v
x
u x
= +
v u uv v
= +
v u
v x
u
x
2 1
2 1 1
5
5 5
2
2
x a
a x a x
b a x
b
x a
Trang 18v u x v
x u
4 2 4 2
10 5
5
2 2
2 2
Các phơng trình 8, 9, 10,11 cách giải đều đợc xây dựng xuất phát từ hệ phơng trình
+
= +
b ax y
b ay x
2
2
) (
) (
β α
β α
−
=
− +
+
= +
α
β α
α
β α
β α
β α
b ax y
b ax y
b ax y
b ax y
1 1
−
= +
− + +
= +
α
β α
β α
α
β α
β α
a b b ax
a x
a b b ax
a x
2
2
) (
) (
) 1 ( 2 2 2
2
x y y
y x x
+
= +
2
3 2 ) 1 (
2
3 2 ) 1 ( 2
2
x y
y x
5 4 ) 3 2 (
2
2
x y
y x
1 2 (
1 8000 )
1 2 (
2
2
x y
y x
+
= +
b ax y
b ay x
3
3
) (
) (
β α
β α
thì bằng cách tơng tự ta xây dựng đợc phơng trình
α
β α
β
αx+ ) 3 = a3 ax+b+b−a
(
Bằng cách xét các hệ đối xứng khác ta có thể tự xây dựng thêm một số dạng phơng trình Qua đó ta sẽ tạo ra đợc rất nhiều đề toán hay
Trang 19Bài tập tơng tự
25 53 36
8 5
3
)
5
) 1 1 30060 (
2004 )
4 30
6
)
3
2 3
4 2 8
81
)
2
0 1 3 5 13
4
)
1
2 3
3
2
3 3
2 3 3
2
− +
−
=
−
+ +
−
=
−
= + + +
−
x x
x x
x x
x
x x x
x x x x
x x
x
Phơng pháp 3: Phơng pháp đánh giá
Dạng 1: Đánh giá hai vế của phơng trình
Một số phơng trình đợc tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức
m A
m A
) (
x f B
x f A
) (
x f B
x f A B
A
Ví dụ : Giải các phơng trình sau
16 9
13
)
6
9 1
2
)
4
1 4 3 1 2 2
)
3
1 2
3 1
)
2
14 12 3 2 5 3
2
)
1
4 2 4
2
2
2 2
2 2
= + +
−
+
= +
−
+ +
=
− + +
+
=
− +
−
x x x
x
x x x
x x x x
x x x
x
x
x x
x
x
x x x x
Đối với phơng trình (2) : áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có VT ≤ 2 x2 + 1
Phơng trình (2) xảy ra khi dấu ‘==’ của bất đẳng thức Bunhia xảy ra
Đối với phơng trình (3) ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có VT ≤ 3x2 +4x+1
Ph-ơng trình (3) xẩy ra khi dấu ‘= ‘ của bất đẳng thức Bunhia xảy ra
Phơng trình (4) cách giải nh phơng trình (1)
1
1 1
1 2 2 1
2
+ + + +
= +
x x
1 1
2
+
Trang 20Dạng 2: Tìm một nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất
Ví dụ: giải phơng trình
6
2
8 3
2
8
; 2 3
6 2
3
6 4
2
8
; 2 3
6 2
x x
VT x
x x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bớc 3: Xét sự biến thiên của hàm số y= f(x)
Bớc 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận số nghiệm của phơng trình f(x) = k