Chứng minh : OM là phân giác góc xOy O, M, N thẳng hàng c/MN là đường trung trực của AB Bài 3.. Chứng minh IMN∆ = ∆IPQ Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy OI là tia đường trung t
Trang 1CD là đường trung trực của AB
Kết quả trên còn đúng không nếu C, D cùng phía AB
Bài 2 Cho góc xOy Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy B sao cho OA = OB Lấy M, N đều thuộc miền trong của góc sao cho MA = MB, NA = NB Chứng minh :
OM là phân giác góc xOy
O, M, N thẳng hàng
c/MN là đường trung trực của AB
Bài 3 Cho tam giác ABC có µ 0
A 90= Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB Trên tia đối củatia MB lấy K sao cho MK = MB Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho
NI = NC
Tính ·ACK
Chứng minh IB//AC, AK//BC
Chứng minh A là trung điểm của IK
Bài 4 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC Vẽ F sao cho E là trung điểm của DF Chứng minh :
c Gọi I là giao điểm của MQ và PN Chứng minh IMN∆ = ∆IPQ
Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy
OI là tia đường trung trực của MP,
Trang 2Tam giác ABC có điều kiện gì thì ADB= ADC∆ ∆
Tam giác ABC có điều kiện gì thì DE⊥AC
Bài 10 Cho tam giác ABC có $ 0
B 60 ; AB 7cm ; BC 15cm= = = Trên cạnh BC lấy D sao cho ·BAD 60= 0.
Gọi H là trung điểm BD
Tính HD
Tính AC
Tam giác ABC có là tam giác vuông không, vì sao ?
Bài 11 Cho tam giác cân ABC có µA 120= 0; đường phân giác AD ( D thuộc BC ) Vẽ
DE⊥AB; DF⊥AC
Chứng minh tam giác DEF đều
Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M Chứng minh tam giác AMC đều
Chứng minh MC ⊥BC
d/ Tính DF và BD biết AD = 4cm
Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH⊥BC H BC ,M BC( ∈ ) ∈ sao cho CM = CA, N AB∈ saocho AN=AH Chứng minh :
a CMA vµ MAN phụ nhau· ·
b AM là tia phân giác của góc BAH
c MN⊥AB
d Cho C 60 ; ACµ = 0 =4cm Tính các cạnh của ANH∆
Bài 13 Cho tam giác ABC đều cạnh 5cm BH⊥AC H AC( ∈ ) Trên tia BH lấy K sao cho BK = 5cmTính BH
Tính góc AKC
Nếu K thuộc tia đối của tia BH thì các KQ trên thay đổi như thế nào ?
Bài 14 Tam giác ABC vuông tại A Từ K trên BC kẻ KH⊥AC Trên tia đối của tia HK lấy I sao cho HI
Trang 3Chứng minh AIB∆ = ∆AIC
Kẻ IH⊥AB; IK⊥AC Chứng minh tam giác AHK là tam giác cân
c/ Chứng minh HK//BC
Bài 18 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho
BD = CE Vẽ DH và EK cùng vuơng gĩc với BC Chứng minh :
e/ I là giao điểm của DC và EB, chứng minh AI⊥DE
Bài 19 Cho tam giác ABC cân tại A (µ 0
A 90< ) Kẻ BD⊥AC, CE⊥AB BD và CE cắt nhau tại I Chứng minh BDC∆ = ∆CEB
Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE
Chứng minh ∆ AED cân
Chứng minh AH là đường trung trực của ED
Trên tia đối của tia DB lấy K sao cho DK = DB Chứng minh ECB DKC· =·
Trang 4Chứng minh OE là phân giác của góc xOy
Chứng minh tam giác ECD cân
Tia OE cắt CD tại H Chứng minh
Bài 26 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH⊥BC Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE =
PH Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH
Chứng minh APE∆ = ∆APH, AQH∆ = ∆AQF
Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF
Trang 5
Chứng minh MAB∆ = ∆MDC Suy ra ACD∆ vuông
Gọi K là trung điểm AC Chứng minh KB = KD
Gọi I là giao điểm của KD và BC, N là giao điểm của KB và AD Chứng minh tam giác KNI cân
Chứng minh AM 1(AB AC)
2
< +
Điều này còn đúng không nếu tam giác ABC không là tam giác vuông
Bài 30 Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm
Tam giác ABC là tam giác gì ?
Vẽ trung tuyến AM Kẻ MH⊥AC Trên tia đối của tia MH lấy K sao cho MK = MH
Chứng minh MHC∆ = ∆MKB Suy ra BK//AC
BH cắt AM tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
b/ Kẻ phân giác AH của tam giác cân Chứng minh BE, CD, AH đồng quy
Bài 33 Cho tam giác ABC Trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh :
Trang 6Giao điểm của EM và FN là K Chứng minh KE = KF
Chứng minh DK là phân giác của góc EDF
Chứng minh EM, FN, AH đồng quy
Tính AH
Bài 37 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên AM lấy I, K sao cho AI = IK = KM Gọi N, P lần lượt
là trung điểm của AC và AB
c/So sánh BAH vµ CAH· ·
Bài 39 Cho tam giác ABC vuông tại B Trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy E sao cho ME =
Xác định trực tâm tam giác MCD
c/ Nếu M thuộc phân giác góc xOy thì tam giác OCD là tam giác gì ? Vẽ hình minh họa
Bài 41 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F
Trang 7
Bài 43 Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 5cm, BC = 13cm Ba đờng trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O
Tính AM, BN, CE
Tính diƯn tích tam giác BOC
Bài 44.Cho tam giác đỊu AOB, trên tia đi cđa tia OA, OB ly theo th t các điĨm C và D sao cho OC = OD.T B kỴ BM vuông gc với AC, CN vuông gc với BD Gi P là trung điĨm cđa BC.Chng minh:
a.Tam giác COD là tam giác đỊu
b.AD = BC
c.Tam giác MNP là tam giác đỊu
Bài 45 Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đng cao AH KỴ HE vuông gc với AC Gi O là trung điĨm cđa EH, I là trung điĨm cđa EC Chng minh:
IO vuông gc vơi AH
AO vuông gc với BE
Bài 46.Cho tam giác nhn ABC VỊ phía ngoài cđa tam giác v các tam giác vuông cân ABE và ACF B
và C.Trên tia đi cđa tia AH ly điĨm I sao cho
AI = BC Chng minh:
Tam giác ABI bằng tam giác BEC
BI = CE và BI vuông gc với CE
Ba đng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại mt điĨm
Bài 47: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Kẻ AH vuụng gúc với BC
Chứng minh rằng: AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Trờn cạnh AB lấy điểm E (E≠B), trờn cạnh AC lấy điểm F (F≠C) Chứng minh EF < BC.
Bài 50: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú BC = 10cm; AB = 12cm Từ A kẻ AH vuụng gúc với BC Tớnh
độ dài đoạn thẳng AH
Bài 51: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AC = 5cm; AB = 12cm Từ trung điểm M của cạnh huyền BC kẻđường vuụng gúc với BC, cắt cạnh gúc vuụng ở N Biết MN=2,7cm Tớnh NB
Bài 52: Chứng minh rằng diện tớch của tam giỏc đều cú cạnh a là S = 4
3
2
a
Hóy tớnh diện tớch của tam giỏc đều với cạnh a bằng: 5cm; 1,2cm; 2 2 cm
Bài 53: Tớnh độ dài đoạn thẳng vuụng gúc kẻ từ đỉnh gúc vuụng đến cạnh huyền của một tam giỏc vuụng
cú cạnh gúc vuụng là a, b Áp dụng tớnh:
a = 5; b = 12
Trang 8
a = 12, b = 16
Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26cm, AB : AC = 5 : 12 Tính các độ dài AB, AC
Bài 55: Vẽ về một phía của đoạn thẳng AB = 5cm các tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 5cm Trên tia By lấy điểm E sao cho BE = 1cm Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho AC = 2cm Góc DEC có là góc vuông không?
Bài 56: Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm, góc B bằng 600 Độ dài BC=?
Bài 57: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A bằng 300 , BC = 2cm Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc CBD bằng 600 Tính độ dài AD
Bài 58: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia BA lấy BE = AC (B nằm giữa A và E) Kẻ CFvuông góc với CB tại C và CF = CB (A và F khác phía đối với BC) Nối với CE và AF cắt nhau tại O Nối FE Chứng minh rằng:
OA2 + OE2 + OC2 + OF2 = 2
1(CE2 + EF2 + FC2)
Bài 59: Cho tam giác ABC, biết AB : AC : BC = 6 : 8 : 10 và chu vi của tam giác bằng 120m
Tính độ dài các cạnh của tam giác
Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?
Bài 60: Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vuông góc với BC Cho biết AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC =
3
CD
71200
x
x
Trang 9
Bài 64: Tam giác ABC có góc A tù, Cˆ = 300; AB = 29, AC = 40 Vẽ đường cao AH, tính BH
Bài 65: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24 Tính BC
Bài 66: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51cm Tính
độ dài hai cạnh góc vuông
Bài 67: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D Trên tia đối của tia HA lấymột điểm E sao cho HE = AD Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F Chứng minh rằng EB
⊥ EF
Bài 68: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác
a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân
b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC
Bài 69: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau
a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là 2
3a
, tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó
Bài70: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC Chứngminh rằng tam giác OBC cân
Bài 71: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 800 Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho góc OBC =300; góc OCB = 100 Chứng minh rằng ∆ COA cân
Bài 72: Cho ∆ ABC cân tại A, Â = 1000 Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao chogóc CBO = 300 Tính góc CAO
Bài 73: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 300 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx ⊥ BA.Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA Tính góc BCN
Bài 74: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 1000 Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC Tính góc CBD.Bài 75: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 1080 Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao choCBO = 120 Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng
b/ Tam giác AOB cân
Bài 76: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 800 Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI = 500; trên cạnh AClấy điểm K sao cho góc ABK = 300 Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H Chứng minh rằng ∆ HIKcân
Bài 77: Cho tam giác đều ABC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM
= CN Gọi O là giao điểm của CM và BN Chứng minh rằng:
a/ CM = BN
Trang 10
b/ Số đo của góc BOC không đổi khi M và N di động trên hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện
AM = CN
Bài 78: Cho ∆ABC vuông cân ở A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD và CE cùng vuông góc với
d (D, E ∈ d) Chứng minh rằng tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi
Bài 79: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho góc EMF = 900.Chứng minh rằng AE= CF
Bài 80: Tam giác ABC có AB = 1 cm; Â = 750, Bˆ = 600 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia
Bx sao cho CBx = 150 Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB, cắt Bx tại D
a/ Chứng minh rằng: DC ⊥ BC
b/ Tính tổng BC2 + CD2
Bài 81: Cho ∆ ABC cân tại A (AB > BC) Trên tia BC lấy điểm M sao cho
MA = MB Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB) Trên tia Bx lấyđiểm N sao cho BN = CM Chứng minh rằng:
AC AB
BE = −
Bˆ B Cˆ A E
M ˆ
Bài 83: Cho tam giác ABC, Â≥ 900 Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N không trùng với các đỉnh của tam giác Chứng minh rằng BC > MN
Bài 84: Cho ∆ ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại O
a/ Trong ∆ BOC, cạnh nào lớn nhất?
b/ Giả sử OB < OC hãy so sánh AB với AC
Bài 85: Cho ∆ABC, trung tuyến AM Biết BMA > CAM hãy so sánh Bˆ và Cˆ
Bài 86: Cho tam giác đều ABC Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 3BC
1
BM=
Chứng minh rằng góc BAM < 200
Bài 87: Tam giác ABC có AB < AC Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi M
là trung điểm của BC So sánh MD với ME
Trang 11b/ Xác định vị trí của M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất
Bài 92: Cho ∆ ABC vuông tại B, phân giác AD Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AD tại E Chứng minh rằng chu vi ∆ ECD lớn hơn chu vi ∆ ABD
Bài 93: Cho ∆ABC cân tại A, trên hai cạnh AB và SC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN Chứng minh rằng:
a/ Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau
MN BC
BN > +
Bài 94: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O; AB = 6, CD = 4 Chứng minh rằng trong 4 đoạn thẳng AC, CD, BD, DA tồn tại hai đoạn thẳng nhỏ hơn 5
Bài 95: Chu vi một tam giác cân là 21cm Biết một cạnh dài 4cm, cạnh đó là cạnh bên hay cạnh đáy?
Bài 96: Chu vi một tam giác cân là 15cm, cạnh đáy bằng a Biết độ dài mỗi cạnh là một số tự nhiên (cm) Tìm các giá trị của a
Bài 97: Tam giác ABC có AB > AC, phân giác AD Lấy một điểm M thuộc AD (M không trùng với A) Chứng minh rằng AB - AC > MB – MC
Bài 98: Cho ∆ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng 5 và hai điểm M, N bất kì Chứng minh rằng trên các cạnh của ABC tồn tại một điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến M và N lớn hơn 7
Bài 99: Cho ∆ ABC Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = BE Trên cạnh AC lấy điểm F và H sao cho AF = CH Chứng minh rằng các tam giác BFH và CDE có cùng một trọng tâm
Bài 100: Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G Gọi D là trung điểm của
BC Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm A, G, D thẳng hàng
b/ BE < CF
c/ AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Bài 101: Cho ∆ ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G Chứng minh rằng:
Trang 12
AC AB
AD < +
2
3 CF
BE + >
c/ 4
3
chu vi ∆ ABC < AD + BE + CF < chu vi ∆ ABC
Bài 102: Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD = HA Trên tia đối của tia CBlấy điểm E sao cho CE = CB
a/ Chứng minh rằng C là trọng tâm của ∆ ADE
b/ Tia AC cắt DE tại M Chứng minh rằng AE// HM
Bài 103: Cho ∆ ABC, O là một điểm nằm trong tam giác Vẽ BH và CK vuông góc đường thẳng AO Chobiết các tam giác AOB, BOC, COA có diện tích bằng nhau, chứng minh rằng:
a/ BH = CK
b/ O là trọng tâm của ∆ ABC
Bài 104: Cho ∆ ABC, Â = 1200, phân giác AD, BE, CF Tính chu vi ∆DEF biết DE = 21, DF = 20
Bài 105: Cho góc xOy Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy Vẽ các tia phân giác của các góc BAx
và ABy cắt nhau tại M Từ M vẽ một đường thẳng vuông góc với OM, cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D Chứng minh rằng ∆ ACD cân
Bài 106: Cho ∆ABC, Bˆ=1200, phân giác BD, CE Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của
∆ ABC cắt đường thẳng BC tại F Chứng minh rằng:
b/ Ch ng minh r ng khi M và N di ng trên hai c nh AB và AC nh ng v n có AM + ứ ằ độ ạ ư ẫ
AN = AB tbì đườ ng trung tr c c a MN luôn i qua m t i m c nh ự ủ đ ộ đ ể ố đị
Bài 111: Cho góc xOy = a0, A là một điểm di động ở góc trong góc đó Vẽ các điểm M và N sao cho đường Ox là đường trung trực của AM, đường thẳng Oy là đường trung trực của AN
Trang 13
a/ Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định
b/ Tính giá trị của a để O là trung điểm của MN
Bài 112: Cho góc vuông xOy và A là một điểm cố định ở trong góc đó Một góc vuông đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng M luôn di động trên một đường thẳng cố định
Bài 113: Cho ∆ ABC không vuông Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng
BC theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác của góc MAN
Bài 114: Cho ∆ ABC Trên tia BA lấy một điểm M, trên tia CA lấy một điẻm N sao cho BM + CN = BC Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 115: Cho ∆ ABC vuông cân tại B Trên cạnh AB lấy một điểm H sao cho 3ACˆB
1HCˆ
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BH Tính góc AKH
Bài 116: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE gặp nhau tại H Vẽ điểm K sao cho AB là trungtrực của HK Chứng minh rằng góc KAB = góc KCB
Bài 117: Tam giác ABC có cạnh BC là cạnh lớn nhất Trên cạnh Bc lấy các điểm D và E sao cho BD =
BA và CE = CA Tia phân giác của góc B cắt AE tại M; tia phân giác của góc C cắt AD tại N Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC vuông góc với MN
Bài 118: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 300; BC = 2 Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 2
a/ AM = AN
b/ ∆ MON là tam giác đều
Bài 121: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên Đường trung trực của AC cắt đường thẳng
BC tạiM Trên tia đói của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC
b/ Chứng minh rằng CM = CN
c/ Muốn cho CM ⊥ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì?
Bài 122 Cho đường thẳng AB và điểm O trên đường thẳng đó TRên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia OC và OD sao cho ·AOC BOD=· =500.
a) Hai góc AOC và BOD có phải là 2 góc đối đỉnh không? Vì sao?
b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia OD, vẽ tia OE sao cho tia OA là tia phân giác của góc COE Chứng minh 2 góc BOD và AOE là 2 góc đối đỉnh
