Kẻ thêm đường phụ để giải một số BT hình học 7

- Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếukhông vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc.. - Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung n

PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lí luận

- Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tínhtích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho nguời học năng lực

tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’

- Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lốidạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúphọc sinh :

 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khảnăng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;

 Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trìnhkiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tựhình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất

 Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí Chútrọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và

kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học

- Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ?

Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề đó người giáo viên cầnphải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phốihợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đốitượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyếtđược điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phươngpháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thứccác môn học

II Cơ sở thực tế

- Trong các môn học trong trường THCS thì môn Toán là một trong những mônquan trọng nhất nhưng có thể nói là khó nhất Ở trường THCS, học sinh được học ba phânmôn của toán học, đó là Số học, Đại số và Hình học Trong ba phân môn đó thì học sinhthường gặp khó khăn trong việc giải các bài toán Hình học

- Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếukhông vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sựliên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí

có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thếnào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp

- Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽthêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm cácyếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọnchứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuântheo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên

đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vìsao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽđường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêmnhư vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũngphải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ đượccách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tốphụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt kháclại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất

ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương phápthường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêmyếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cáchgiải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn

- Đã có nhiều tài liệu, chuyên đề, sáng kiến viết về việc kẻ thêm đường phụ tronghình học 7, nhưng những tác giả đó mới chỉ nêu được một số cách hoặc nêu được nhưngchưa đầy đủ và không chỉ rõ khi nào thì kẻ thêm đường phụ ấy Vì vậy, tôi viết sáng kiến

“Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7” nhằm giải quyết các vấn đề đặt ra.

PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I THỰC TRẠNG

- Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán Hình học lớp 7, tôi thấy học sinhthường gặp một số khó khăn sau đây :

 Khó khăn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ

 Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ

 Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giảibài toán

 Sau khi đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải của bàitoán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đường phụ như vậy

- Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằngnhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giácbằng nhau Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) tathường làm theo một cách gồm các bước sau:

 Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc)thuộc hai tam giác nào?

 Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

 Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứngbằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng đượccho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giáccần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thểnhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học

7 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản vàthiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ

1 Vẽ giao điểm của hai đường thẳng

a) Mục đích

Vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng nhằm làm xuất hiện tam giác mới có mối liên

hệ về góc và cạnh với các tam giác đã có trong hình vẽ

b) Sử dụng khi nào?

Ta thường dùng cách vẽ này khi giữa hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đườngthẳng, tam giác, … ) thường chưa hoặc ít có mối liên hệ về độ dài, về góc

Ví dụ 1 Cho ∆ABC có  0

A>90 ,AB < AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,

vẽ tia Bx vuông góc với BC; trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng

bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vuông góc với BA; trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA.Chứng minh rằng DA⊥ EC

minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

900 Như vậy cần phải vẽ thêm giao

điểm của hai đường thẳng này Kéo dài

- Để chứng minh HKC= HBD ta có thể so sánh các cặp góc của hai tam giác là

∆HBD và ∆HKC Rõ ràng hai tam giác này đã có hai cặp góc bằng nhau nên ta dễ dàng tìm

ra lời giải của bài toán

1 3

1 2

Hình 1

H K

Rõ ràng nếu ta không vẽ thêm giao điểm thì rất khó tìm ra lời giải của bài toán Việc vẽthêm giao điểm của các đường thẳng làm xuất hiện mối liên hệ giữa các góc của hai tam giác

và việc chứng minh bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 2 Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Gọi C là một điểm thuộc tia Ax Đườngvuông góc với OC tại O cắt tia By ở D Chứng minh rằng CD = AC + BD

Phân tích :

- Để chứng minh CD = AC + BD (H 2a) ta cần tìm ra một đoạn thẳng trung gian để

so sánh Từ đây ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết :

Một là, trên CD lấy một điểm I sao cho CI = CA (H 2b) Như vậy ta cần phải chứngminh DI = DB Nhưng để chứng minh được điều này lại không hề đơn giản

x

y x

2 1

Hai là, kéo dài CO cắt DB tại E (H 2c) Dễ dàng chứng minh AC = BE và CD = DE

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Vậy CD = AC + BD.

Nhận xét :

Nhờ vẽ thêm giao điểm ta đã làm xuất hiện các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra cácđoạn thẳng bằng nhau Hơn nữa, sự xuất hiện một đoạn thẳng trung gian là DE làm cho việcchứng minh trở nên đơn giản hơn rất nhiều

 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng cách nối hai điểm đã có trong hình vẽ

Ví dụ 3 Cho hình vẽ 1, trong đó AB // CD, AD // BC Chứng minh rằng : AB = CD,

AD = BC

Phân tích :

- Để chứng minh AB = CD,

AC = BD ta cần tìm ra hai tam giác

chứa các cạnh này bằng nhau Nhưng

trên hình vẽ lại không có hai tam giác

(H 3a) Như vậy, ta cần tạo ra hai tam

giác chứa các cặp cạnh trên

- Đường phụ cần vẽ là đoạn thẳng nối A với C hoặc nối B với D (H 3b)

D

nhau ( A1=C1, A2 =C2) và một cạnh chung AC Từ đó ta có hai tam giác bằng nhau và suy

ra các cạnh tương ứng bằng nhau

- Đây là một bài toán không khó nhưng nếu học sinh suy luận không tốt thì cũng khótìm ra đường phụ để giải bài toán

 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác

Chúng ta thường dùng một trong các cách như sau :

- Lấy trung điểm của một đoạn thẳng ;

- Dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã có trên hình vẽ

Ví dụ 4 Cho ∆ABC Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC CMR :

a) DE // BC ; b) DE 1BC

2

=

Phân tích :

- Để chứng minh DE // BC ta cần chứng minh một cặp góc đồng vị hoặc một cặp góc

so le trong bằng nhau Ta có thể nghĩ đến việc chứng minh D1= Bvì cặp góc này ở vị tríđồng vị (H 4a)

c)

1 1

Hình 4

1

F E

D E

D

I

E D

C

A

B B

ta có thể nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng DE

- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng DE, ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia ED saocho DE = EF (H 4c) Kết hợp giả thiết EA = EC, ta thấy ngay hai tam giác EAF và ECDbằng nhau (c.g.c) Từ đó ta có thể tìm ra lời giải của bài toán

nên ∆EAF = ∆ECD (c.g.c)⇒AF = CD, A1 =C1.

Hai góc A1 và C1 ở vị trí so le trong bằng nhau nên AF // CD

a) Hai góc D1 và B ở vị trí đồng vị bằng nhau nên DE // BC

b) Ta có DF = 2DE (cách dựng), BC = DF (chứng minh trên) nên DE 1BC

- Ta vẽ thêm đoạn thẳng EF bằng DE trên tia đối của tia ED (hoặc DE) Câu hỏi đặt

ra là tại sao lại phải vẽ như vậy mà không vẽ theo kiểu khác Vì vẽ như vậy thì chúng ta mới

sử dụng được giả thiết là DA = DB và EA = EC Rõ ràng việc làm này rất có lợi hơn khi vẽtheo kiểu khác

Ví dụ 5 Giải lại Ví dụ 2 bằng cách tại ra hai đoạn thẳng bằng nhau.

- Để chứng minh AB = AC, ta phải

chứng minh hai tam giác chứa hai cặp cạnh

này bằng nhau Nhưng trên hình vẽ không có

hai tam giác bằng nhau (H 6a) Như vậy, ta

có thể nghĩ đến việc tạo ra hai tam giác có

chứa hai cạnh AB và AC bằng nhau

- Đường phụ cần vẽ là tia phân giác

của góc A (H 6b)

Giải : (H 6)

Kẻ phân giác của góc A, cắt BC tại M

∆AMB và ∆AMC có B=C (gt), A1= A2 (cách dựng) nên AMB=AMC.

AMB=AMC (chứng minh trên)

nên ∆AMB = ∆AMC (g.c.g) ⇒AB = AC

Nhận xét :

- Vẽ tia phân giác AM là ta đã tạo ra một cặp góc bằng nhau ( A1= A2) và một cạnhchung (AM) của hai tam giác (∆AMB và ∆AMC) Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm ra lờigiải của bài toán

- Có hai cách vẽ khác : dựng AM⊥BC hoặc dựng M là trung điểm của BC

Hình 6

2 1

M

A A

Ví dụ 7 Cho ∆ABC có A= 600 Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giáccủa góc C cắt AB ở E Chứng minh rằng BC = BE + CD.

Phân tích :

- Gọi I là giao điểm của BD và CE (H 7a), ta dễ dàng tính được :

BIC=120 , BIE= CID= 60

- Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết như sau :+ Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BE = BM (H 7b) Từ đó cần chứng minh

1 2 2

4 3

Hình 7

3 4 1

2 1 1

BIC=180 −(B + C )= 60 và I 1= =I4 600 (tính chất của góc ngoài tam giác).

Kẻ tia phân giác của góc BIC, cắt BC ở D Suy ra I2 = =I3 600.

Xét ∆BIE và ∆BID có :

1 2

B = B (gt), BI là cạnh chung, I 1= =I2 600

Do đó ∆BIE = ∆BIM (g.c.g), suy ra BE = BM (1)

Chứng minh tương tự, ∆CID = ∆CIM (g.c.g) Suy ra CD = CM (2)

4 Kẻ thêm đường thẳng song song

a) Mục đích

Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện hai góc so le trong bằng nhau, hai gócđồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau và đặc biệt là hai tam giác bằng nhau

b) Sử dụng khi nào?

Ta thường dùng cách này khi đã có các đường thẳng song song trong hình vẽ

Ví dụ 8 Cho hình 8a, trong đó ACB= +A B Chứng minh rằng Ax // By.

Phân tích :

- Để chứng minh Ax // By, ta phải tìm ra một cặp góc so le trong, một cặp góc đồng

vị hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau Nhưng trên hình vẽ ta thấy không có các cặp gócnhư vậy (H 8a) Ta có thể nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ

- Từ giả thiết ACB= +A B, ta có thể kẻ Cz // Ax (H 8b) Từ đó tìm ra lời giải củabài toán

x z

- Việc kẻ tia Cz // Ax, ta đã làm xuất hiện các cặp góc so le trong bằng nhau

- Ta có thể kẻ tia Cz cùng hướng với tia Ax (và By) (H 8c), nhưng lời giải phức tạphơn

- Ta cũng có thể kéo dài AC cắt tia By tại D (H 8d) rồi áp dụng định lí tổng ba góc

và góc ngoài của tam giác

Ví dụ 9 Cho ∆ABC Gọi D là trung điểm của AB Kẻ DE // BC (E ∈ AC) Chứngminh rằng EA = EC

Phân tích :

- Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm ra hai tam giác có chứa hai cạnh đó bằngnhau Nhìn trên hình vẽ ta thấy không thể tìm ra hai tam giác như vậy (H 9a) Ta có thể nghĩđến việc kẻ thêm đường phụ Nhưng kẻ thêm đường như thế nào cho hợp lí ?

1

1 1 2

3 2 1

2 1

2 1

Hình 9

F

E D

E D

A

A

C B

A

- Căn cứ vào giả thiết, DE // BC, DA = DB, ta kẻ thêm DF // AC (F ∈ BC) (H 9b)

Dễ chứng minh ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒AE = DF

- Ta cần chứng minh DE = CE Theo giả thiết và theo cách dựng ta có DE // FC,

DF // EC Do đó DF = FC (xem Ví dụ 1) Từ đó ta có điều phải chứng minh.

- Có thể kẻ EF // AB hoặc kẻ đường thẳng đi qua B và song song với AC, cắt DE tại

F Hoặc trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho DE = DF Từ đó ta cũng tìm ra lời giải củabài toán

5 Kẻ thêm đường vuông góc

a) Mục đích

Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc tạo ra hai tam giác vuông bằngnhau

b) Sử dụng khi nào?

Ta thường vẽ đường vuông góc khi hình vẽ có các góc với số đo cụ thể (chẳng hạn góc

300, 600, 450, …), hoặc có đường phân giác, …

Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra nửa tam giác đều

Ta thường dùng cách này khi bài toán cho một góc có số đo là 30 0 , 60 0 , 120 0 , 150 0

(H 10a) nên ta nghĩ đến việc kẻ

đường vuông góc với AC nhằm

tạo ra “nửa tam giác đều”

- Kẻ BH ⊥ Ax (H 10b),

∆ABH vuông tại H có BAH= 600nên AH = AB:2 = 5 (cm) Từ đó ta dễ dàng tìm ra lời giải

Giải : (H 10b)

Kẻ BH ⊥AC Vì BAC>900 nên A nằm giữa H và C

Ta có BAH=1800 −1200 =600 Tam giác vuông AHC (vuông tại H) có BAH=600nên AH AB 10 5

b) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông cân

Ta thường dùng cách này khi bài toán cho một góc có số đo là 45 0 , 135 0

- Kẻ AH ⊥ BC, ta thấy ∆AHB vuông cân tại H Từ đó ta

dễ dàng tìm ra lời giải

Giải : (H 11)

Kẻ AH ⊥ BC ∆AHB vuông tại H có  0

B=45 nên là tamgiác vuông cân tại H ⇒HA = HB

Áp dụng định lí Pitago cho các tam giác vuông AHB và AHC, ta có :

c) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông

Ví dụ 12 Cho hình 12a Biết AB = 5

cm, AD = 8 cm, CD = 11 cm Tính BC

Phân tích:

- Rõ ràng theo hình 12a không thể tính

được BC nếu ta không vẽ đường phụ Nhưng

vẽ như thế nào và xuất phất từ đâu?

- Căn cứ vào giả thiết, thì

A=BHD=90 , BD chung, ABD = BDH (so le trong, AB // DH)

nên ∆ABD = ∆HAD (cạnh huyền – góc nhọn)

H