Khai thác lời giải Hình học

Với vai trò là môn công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện giáo dục học sinh nhận thức vơn lên tìm tòi và sáng tạo, giúp các em say mê học toán, khi đó một bài toán không phải là

Phòng giáo dục huyện vĩnh bảo Trờng thcs nguyễn bỉnh khiêm

==========&=========

Đề tàI : Hớng dẫn tìm tòi, khai thác lời giải

từ một bài toán hình học 7

===&==

Tác giả: Lê Thị Hồng Vân Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị : Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm

Năm học: 2008 - 2009

Phần I - Đặt vấn đề

Toán học là môn khoa học có ứng dụng hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống, chính

vì vậy Toán học có vai trò rất quan trọng đối với cuộc sống thực tiễn, với các ngành khoa học và đối với học sinh Toán học giúp học sinh đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực

và có ý chí vợt khó Với vai trò là môn công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện giáo dục học sinh nhận thức vơn lên tìm tòi và sáng tạo, giúp các em say mê học toán, khi đó một bài toán không phải là những con số khô khan mà một bài hát, một vần thơ, một bức tranh với nhiều cảnh đẹp

2 Mục đích nghiên cứu:

* Học sinh khối 7 mới đợc làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong hình học Song việc cần thiết làm cho học tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng , biết vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để biết cách chứng minh hình học, giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau

3 Đối tợng phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:

*Đối với lớp 7: Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, chúng tôi thấy việc cần

thiết là làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải từ một bài toán đồng thời cho học sinh nhìn một bài toán dới nhiều góc độ khác nhau để thấy đợc sự phong phú của toán học và thêm yêu thích bộ môn

4 Kết quả đạt đợc:

Với mục tiêu trên, cùng với quá trình giảng dạy tôi xin trình bày một kinh nghiệm của bản thân về việc "Hớng dẫn cho học sinh cách khai thác và tìm tòi lời giải

từ một bài toán" dành cho đối tợng học sinh lớp 7 bớc đầu có hiệu quả cao Tôi viết

với mục đích mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến thức phong phú , đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK Qua đó chúng ta có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn về toán học, giúp các em học sinh hình thành tốt các

kỹ năng giải toán, và thêm yêu thích bộ môn

Phần II - Nội dung đề tài

Toán học mang lại cho con ngời biết bao sự đam mê, lí thú và nó mang lại cho con ngời rất nhiều lợi ích thiết thực

Khi thấy hiểu một vấn đề nào đó, thấy đợc sự đa dạng phong phú của một vấn

đề nào đó thì các em cảm thấy yêu thích hơn, đi sâu nghiên cứu hơn và sẽ giải Giáo viên dạy tốt, nâng cao đợc chuyên đề nào đó, học sinh thấy đợc vai trò của ngời thầy, thấy “ cái tài” của ngời thầy, sẽ kích thích thúc đẩy để học sinh học tốt hơn Rèn luyện kỹ năng cho học sinh vận dụng kiến thức, giúp các em có sự t duy sâu săc hơn, rèn tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt cho học sinh

2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Qua những năm giảng dạy toán THCS, đặc biệt là những năm dạy hình học lớp 7 , đây là bộ môn vừa lạ, và khó với học sinh Hơn nữa theo yêu cầu của bộ môn, chỉ khi nào học sinh nắm đợc một cách bản chất , hệ thống khái niệm, tính chất , định lí và các hệ quả SGK đồng thời có có kĩ năng, phân tích, tổng hợp trên hình vẽ mới có khả năng đạt đợc yêu cầu chung của chơng trình Chính vì vậy, học sinh chẳng những bỡ ngỡ, vận dụng kiến thức đã học cha tốt mà còn hiểu vấn đề lẽ tự nhiên, cứng nhắc Đa

số học sinh nh bắt gặp một điều mới lạ, lo sợ, rất ngại khi học môn này, một số học sinh say mê làm bài song đôi lúc còn lúng túng Từ ý thức nh vậy , nên học sinh hay bị hổng kiến thức, dẫn đến mất đà cho các năm học sau

Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học sinh trong khi học hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác bài toán nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dới nhiều góc độ cho một bài toán hình học

3 Mô tả giải pháp.

A

Bài toán:

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Kẻ AH⊥BC (H∈BC), Từ B, C kẻ các đờng thẳng song song với AH chúng cắt đờng thẳng thẳng đi qua A lần lợt tại M và N CMR: AM= AN

Tóm tắt bài toán

Nhìn nhận của giáo viên:

Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình thang do BM//CN(vì cùng song song với AH)

và H là trung điểm BC nên AH là đờng trung bình của hình thang BMNC Song việc khai thác chứng minh A là trung điểm của MN đối với học sinh lớp 7 khi cha học vê tính chất hình thang thì quả là một điều không dễ và rất thú vị

Dới đây là cách nhìn nhận, hớng dẫn học sinh giải quyết bài toán này:

AM=AN

có AB=AC AHBC (HBC) BM//AN; CN//AH KL

GT

<1> Định hớng giải quyết bài toán theo phơng pháp tạo ra hai tam giác chứa hai

đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.

a, Một cách nhìn nhận trực tiếp:

Cách1:

Cách 2:

Hạ ME⊥AH ( E∈AH)

AF⊥CN (F∈CN)

Ta có ME=BH ; AF=HC

Mà BH=HC ⇒ME= AF

Lại có AF// ME ⇒ ∠NAF= ∠AME

MAF ANF = ∆

∆

⇒ ⇒ AM=AN

Cách 3:

Cách 4:

* Hạ ME⊥AH (E∈AH) ;

NF ⊥AH (F∈AH)

Từ đó chứng minh cho 2 tam giác vuông NAF và MAE bằng nhau suy

ra MA= NA

Qua A kẻ EF//BC dẫn đến

∆ AME=∆ ANF ⇒ AM=AN

b, Một cách nhìn nhận gián tiếp:

Cách 1:

Cách 2:

Kẻ AE⊥BM (E∈BM);

NF⊥AH( F∈AH);

Suy ra ∆AEM=∆NFA( g.c.g)

suy ra AM=AN( 2 cạnh tơng ứng)

Kẻ BE// MN; HF// MN

Dễ dàng chứng minh đợc : BE= MA ; HF = AN(1)

Ta chứng minh:

∆BEH= ∆HFC(g.c.g)

⇒BE=HF(2).

Từ (1) và (2) có AM=AN

Cách 3:

Cách 4:

Qua H kẻ EF //MN ( E∈BM; F∈CN).

Dễ chứng minh đợc EH=AM ; HF = AN(1)

có ∆ BEH= ∆CFH( g.c.g)

⇒ HE=HF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN

Kẻ BE // MN( E∈AH)

CF//MN( F∈AH)

Dễ chứng minh đợc:

BE=AM; CF= AN( tính chất đoạn chắn) (1)

Ta chứng minh:

∆ BEH= ∆CFH( g.c.g)

⇒ HE=HF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN

<2> Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh sử dụng định lí " đờng thẳng đi qua

trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung

điểm của cạnh thứ ba" thì bài toán có thể giải quyết theo hớng sau

Chứng minh định lí:

a, Một cách nhìn trực tiếp

Cách 1:

Kẻ HE//MN( E∈BM)

CF // MN( F∈AH)

⇒ HE=MA; CF= AN(1)

Ta chứng minh đợc:

∆ BEH=∆HFC( g.c.g)

⇒HE=HF(2).

Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN

H ớng dẫn:

Từ C kẻ CE// AB cắt MN tại E Vì MN//BC

CE//AB ⇒ CE= MB

Mà MA=MB nên CE= AM

⇒ ∆MAN= ∆ECN(g.c.g)

⇒AN=NC( 2 cạnh tơng ứng)

C¸ch 2:

b, C¸ch nh×n nhËn gi¸n tiÕp:

C¸ch 1:

H íng dÉn: KÎ MD// BC c¾t AH t¹i I

Ta cã MI= BH; ID= HC

⇒I lµ trung ®iÓm MD

XÐt ∆MDN cã MI=ID

AI// ND ⇒ AM=AN

KÎ ND //BC c¾t AH t¹i I

Ta cã DI= BH; NI= HC

Mµ BH=HC nªn ID= IN Suy ra I lµ trung ®iÓm cña ND

XÐt tam gi¸c NDM cã : NI= ID

IA// DM ⇒ AM=AN

Cách 2:

H ớng dẫn :

Kẻ BD // MN cắt AH tại I Xét ∆BCD có BH=HC; IH//DC

⇒ BI= ID

dễ chứng minh đợc BI= AM; ID= AN nên AM=AN

Từ C kẻ CD//MN cắt AH tại I Xét ∆BCD có BH = HC, HI//BD suy ra DI= IC

Dễ dàng chứng minhđợc

DI = MA; IC = AN nên AM= AN

C¸ch 4:

<3> NÕu khai th¸c bµi to¸n theo khÝa c¹nh kÕt hîp gi÷a ph¬ng ph¸p 1 vµ ph¬ng ph¸p 2th× ta cã thÓ cã nh÷ng c¸ch sau:

C¸ch 1

Nèi M víi C c¾t AH t¹i I

XÐt ∆ BMC cã BH=HC ; HI// BN

⇒ MI=IC

XÐt ∆MNC cã:

MI=IC IA//NC ⇒ AM=AN

Nèi B víi N

- lµm t¬ng tù nh c¸ch 3

C¸ch 2:

Nèi B víi A c¾t CN t¹i D XÐt ∆BCD cã:

BH=HC AH//DC ⇒ AB= AD

XÐt ∆AMB= ∆AND (g.c.g)

⇒ AM=AN.

Chú ý : Có các cách giải sẽ là tơng tự của nhau, nhng tôi vẫn đa ra để giúp học sinh

khai thác bài toán một cách triệt để

B Bài tập tham khảo

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ CH⊥AB(H∈AB)

CMR: ∠BCH= ∠BAC

2 1

H

ớng dẫn:

Cách 1: Nối A với trung điểm M của BC sau đó chứng minh ∠BCH và ∠MAC là hai góc có cặp cạnh tơng ứng vuông góc và cùng nhọn

Cách 2: Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HB= HD sau đó chứng minh ∠

BCD= ∠ BAC

Cách 3: Từ B kẻ Bx //CH sau đó chứng minh ∠ CBx = ∠BAC

2

1

Cách 4: Từ H kẻ HN// BC sau đó chứng minh ∠NHC= ∠BAC

2

1

Nối AC cắt BM tại D Xét∆BDC có BH =HC; AH//BD

⇒ CA=AD

Dễ chứng minh ∆ADM=∆

ACN((g.c.g)

⇒AM=AN

Cách 5:Từ A kẻ Ax//HC Tính cụ thể ∠BCH và ∠ BAC rồi so sánh

Cách 6: Từ B kẻ Bx⊥AB ( chứng minh tơng tự cách 3)

Bài 2: Cho ∆ABC; AB=AC ; M∈AB; N∈ tia đối của tia CA sao cho MB=CN; MN cắt BC tại I Chứng minh: IM=IN

H

ớng dẫn :

Cách 1: Kẻ Mx // AC cắt BC tại D

∆MDI=∆NIC(g.c.g)

Cách 2: Từ N kẻ Nx // AB ắt tia đối của tia CB tại E; ∆MBI=∆ INE(g.c.g)

Cách 3: Từ M kẻ Mx // BC cắt AC tại D ; My// AC cắt BC tại E

∆NDM có CD=CN ; CI//MD ⇒ IM=IN

Cách 4: Từ N kẻ Nx//BC cắt tia đối của tia BA tại E; từ B kẻ By //AC cắt Nx tại D Cách 5: Từ M kẻ MH⊥BC ; NK⊥BC

Bài 3 Cho ∆ABC, đờng cao AH, BK cắt nhau tại E ; O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR: a, Khoảng cách từ O tới AC bằng nửa khoảng cách từ E tới B

b, Khoảng cách từ O tới BC bằng nửa khoang cách từ E tới A

H

ớng dẫn:

Cách 1: Lấy I,J lần lợt là trung điểm EA và EB

Cách 2: Lấy R, S sao cho R, S lần lợt là điểm đối xứng của O qua AC và BC

Cách 3: KẻBx//AE và Ay//BE , Bx cắt Ay tại Q( hoặc lấy Q sao cho Q là điểm đối xứng của C qua O)

Cách 4: Lấy D là trung điểm của EC

Bài 4: Cho ∆ABC; AB> AC; ∠ A=α , trên AB lấy D sao cho AC=BD lấy E là trung

điểm của BC ; F là trung điểm của AD Tính ∠DEF?

H

ớng dẫn:

Cách 1: Nối AE , lấy A' sao cho E là trung điểm AA'

Cách 2: Lấy D' sao cho E là trung điểm của DD'

Cách 3: Nối D với C , lấy I là trung điểm của DC

Cách 5: Lấy K là trung điểm AB

4 Kết quả thực nghiệm

III Kết quả thực hiện.

Trong quá trình dạy hình học 7 tôi áp dụng chuyên đề không chỉ dạy và bồi d-ỡng cho học sinh giỏi mà còn cho cả học sinh đại trà Đặc biệt đối với học sinh khối 7, chứng minh hình học bớc đầu đối với các em còn mới lạ, tơng đối khó, đòi hỏi t duy cao nên lúc đầu nhiều em còn rất ngại học hình, hầu nh học sinh chỉ có ý thức làm bài

đợc một cách đã thoả mãn với chính mình, rất ngại khó khi suy nghĩ cách khác hoặc tiếp thu cách của bạn Các em cha thấy đợc tác dụng mạnh của việc nhìn bài toán dới nhiều góc độ sẽ củng cố đợc kiến thức của mình, rèn luyện đợc tính t duy sáng tao, tính kiên trì trong khi học toán

Song qua một thời gian kiên trì áp dụng chuyên đề và dạy học sinh theo ý tởng trên đến nay hầu hết các em đã tham gia, hởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khi làm thành thạo một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó Do đó trong giờ học đợc các em hởng ứng nhiệt tình, có nhiều phát hiện cách giải độc đáo

Thực tế tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho lớp 7B, 7D năm học 2008-2009 thì kết quả cho thấy đều có ý thức thi đua nhau, rất hào hứng phát biểu các cách làm của mình Còn đối với bồi dỡng học sinh giỏi thì 90% học sinh có thể tìm đợc 2 cách trở lên

Và một điều quan trọng hơn cả là sau khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy tinh thần học tập, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em đợc phát huy một cách tích cực không những nắm vững kiến thức trong SGK các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán khó sách nâng cao, báo toán học

Qua thực tế tôi thấy , việc khai thác bài toán giúp cho học sinh định hớng tìm ra lời giải 1 bài táon hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu đợc trong khi giảng dạy moon hình học lớp 7 Chính vì vậy tôi cũng xin mạnh dạn có những khuyến nghị mong PGD tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề cụm liên trờng, các chuyên đề, để giáo viên đợc trao đổi và học hỏi kinh nghiệm, tạo hiệu quả giảng dạy-học tập cao nhất

Hiện nay SGD không tổ chức thi HSG các môn cho khối 6-7-8 song tôi cũng mong muốn PGD tổ chức thi HSG huyện các môn cho các khối này, không chỉ tạo động lực cho các em học sinh say mê học môn mà mình yêu thích mà còn là động lực cho giáo viên có cơ hội, ý thức tự học, tự nghiên cứu trang bị cho kiến thức của mình sâu rộng hơn

III kết luận

Sau một thời gian nghiêm túc thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp tôi đã hoàn thành chuyên đề: " Hớng dẫn tìm tòi, khai thác lời giải từ một bài toán" với mong muốn tạo cho học sinảìen cho học sinh tính kiên trì và có khả năng sáng tạo khi làm bài và thấy đợc sự phong phú, đa dạng của toán học Do thời gian không cho phép , kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên chuyên đề không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Rất mong đợc sự chỉ bảo, góp ý của đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh bảo-Ngày 6 tháng 2 năm 2009

Ngời viết:

Lê Thị Hồng Vân

1- Một số vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học môn toán môn toán ở trờng THCS- Bộ giáo dục

và đào tạo

2- Sách giáo khoa toán 7 - sách bài tập toán 7 - Tập1

2 Tuyển chọn 400 bài tập toán 7- Nguễn Anh Dũng

4- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán- Bùi Văn Tuyên

5- Nâng cao và phát triển toán 6- Vũ Hữu Bình

6 Giúp em học giỏi toán cấp II- Lê Hải Châu

Mục lục

Trang

B PhÇn néi dung 2

I C¬ së lÝ luËn 2

II C¬ së thùc tiÔn 2

III C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn 3

PhÇnA Bµi to¸n 3

PhÇn B Mét sè bµi tËp 12

III KÕt qu¶ thùc hiÖn 14