Câu 3 1 điểm: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh m, cạnh SA = 2m và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD.. Tìm thể tích khối chóp S.ABCD theo m.. Xác định tâm và tính bá
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo thanh hóa
Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút
I Phần chung cho tất cả thí sinh (6 điểm).
Câu 1 (3 điểm): Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 +1 có đồ thị là ( C).
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b Viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( 3: 1)
Câu 2 ( 2 điểm):
a Tính tích phân: 2
0 ( 1)sin
π
b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 2x– 2 +1 trên đoạn [0; 2].
Câu 3 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh m, cạnh SA = 2m và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy ABCD
a Tìm thể tích khối chóp S.ABCD theo m
b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo m
II Phần riêng ( 4 điểm).
Thí sinh chỉ đợc làm theo ban mình học.
1 Theo chơng trình chuẩn.
Câu 4 (3 điểm):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đờng thẳng
2
3 2
= +
= − +
và mặt phẳng (P): x + y z + 5 = 0.–
a Tìm tọa độ giao điểm của đờng thẳng (∆) và mặt phẳng (P)
b Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (∆) trên mp (P)
Câu 5 (1 điểm):
Tìm mô đun của số phức z = (2 3i)(1+i) -3i–
2 theo chơng trình nâng cao.
Câu 6 ( 3 điểm):
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 4; 2), đờng thẳng ( ) : 1
x y z
d = = −
và mặt phẳng ( ) : 4P x+2y z+ − =1 0
a Lập phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đờng thẳng ( d)
b Viết phơng trình đờng thẳng qua A, vuông góc với (d) và song song với mp (P)
Câu 7 ( 1 điểm):
Cho số phức z= +1 i 3 Tính 2 2
( )
z + z
Trang 2Sở giáo dục và đào tạo thanh hóa
Trờng thpt nh xuân đáp án đề thi học kì ii năm học 2010 2011–
Môn: Toán 12
1a
TXĐ: D = R
Chiều biến thiên:
y’ = -3x2 + 6x
2
x x
=
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và ( 2; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y +∞ 5
1 +∞
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điểm (1; 3)
làm tâm đối xứng
và đi qua điểm ( -1; 5), (3; 1)
0.25 0.25
0.5
0.5
0.5
1b Hệ số góc của tiếp tuyến: k = y’(3) = - 9Phơng trình tiếp tuyến: y – 1 = - 9(x – 3) hay y = -9x + 28. 0.50.5 2a
2
0
( 1) cos 2 cos
0
π
π
1 sin 2
0
x
π
= +
= 1 + 1 = 2
0.25
0.25 0.25 0.25
y
x
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
Trang 3Ta có y’ = 4x3 – 4x,
0
1( )
x
x loai
=
= −
Ta lại có:
y( 0) = 1; y(1) = 0; y(2) = 1
Vậy:
[0;2]
[0;2]
max (0) (1) 1
y y
0.5
0.25 0.25 3a
3b
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3 ABCD
V = S SA
SABCD = a2
Vậy
3 2
a
V = a a= dvtt
Vì BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), AC ⊥ SA nên
các tam giác SBC, SBC, SAC vuông Từ đó suy ra trung
điểm K của SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Ta có AC = a 2
Suy ra bán kính r của mặt cầu là:
a
r= SC =
0.5
0.5
4a Tọa độ giao điểm của ( )∆ và (P) là nghiệm của hệ phơng trình:
2
1 2
3 2
– 5 0
x y z
= +
= − −
= − +
5 7 3
x
y
z
=
=
Vậy tọa độ giao điểm là: M(5; -7; 3)
0.5
0.5
0.5 4b Lấy N(2; -1; -3) thuộc ( )∆ Gọi N’ là hình chiếu của N trên (P) Ta có N’(-7; -10; -12)
Hình chiếu của ( )∆ trên (P) là đờng thẳng MN’:
x− = y+ = z− ⇔ x− = y+ = z−
0.5 0.5 0.5
5 Ta có z = (2 3i)(1+i) -3i = 5 4i– –
25 16 41
z = + =
0.5 0.5 6a Đờng thẳng (d) có vecto chỉ phơng
d
uuur=(1; 2; 3) Lấy B(0; 0; 1) thuộc (d) Khi đó bán kính R mặt cầu cần tìm là khoảng cách từ A đến (d)
14
d
R= uuur uurAB u = =
Vậy phơng trình mặt cầu là: (x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 8
hay x2 + y2 + z2 – 6x – 8y – 4z + 17 = 0
0.5 0.5
0.5 6b Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
P
nuur= (4; 2; 1) Vì đờng thẳng cần tìm vuông góc với 0.5
K
A
D S
Trang 4(d) và song song với mp (P) nên có vecto chỉ phơng là
,
d P
u n
uur uur
=(-4; 11; -6) Suy ra phơng trình đờng thẳng cần tìm là: 3 4 2
x− = y− = z−
0.5 0.5
7 số phức z= +1 i 3 Tính z2+( )z 2
Ta có: z2 = 2 2 3− + i , z2 = − −2 2 3i
Suy ra: 2 2
( )
z + z = -4
0.5 0.5
