a, Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn v
Trang 1UBND huyện Vĩnh Bảo Hải phòng
trờng THCS Nguyễn bỉnh khiêm đề kiểm tra học sinh giỏi
năm học 2010- 2011
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(2 điểm)
a, Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + 2011x2 +2010x+ 2011
b, Cho đa thức f(x)= ax3+ bx2+ cx+ d Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lợt cho các nhị thức (x-1); (x-2); (x-3) đều có số d là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị -18
Câu 2 (2 điểm).
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
1 2 2
6 8 2 3
x x
x x
xy x y yz y z zx z x
Bài 3 (2 điểm).
a, Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chớnh phương
b, Chứng minh rằng với mọi nN thì n5 và n luôn có chũ số tận cùng giống nhau
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác cân ABC đỉnh A, O là trung điểm của đờng cao AH Đờng thẳng BO gặp AC ở E, đờng thẳng CO gặp AB ở F Biết diện tích tứ giác AEOF là S
a, Tính diện tích của tam giác ABC theo S
b, Đờng thẳng song song với BC kẻ qua O cắt AB ở M và cắt AC ở N Tính diện tích của hình ENMF
Bài 5(1,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M, hai đờng thẳng DM và CB cắt
nhau tại K, CM cắt AK tại N Chứng minh rằng BN DK
UBND huyện Vĩnh Bảo Hải phòng
trờng THCS Nguyễn bỉnh khiêm Biểu điểm kiểm tra học sinh giỏi
năm học 2010- 2011
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài1
(2
điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, x4 + 2011x2 +2010x+ 2011
= x4 +x2+ 1+2010x2 +2010x+ 2010
1
Trang 2=[(x2+1)2-x2] + 2010(x2 +x+ 1)
=(x2+ x+1) ( x2-x+2011)
Ta cã f(x) -6 chia hÕt cho x-1; x-2; x-3
V× ®a thøc bËc 3 nªn cã d¹ng f(x)-6= m(x-1)(x-2)(x-3) m lµ h»ng sè
L¹i cã f(-1) =-18=> -18-6=m(-2)(-3)(-4)<=> m=1
VËy f(x)-6= (x-2)(x-3)(x-4)=> f(x)= x3-6x2+11x
1
2
a, A =
1 2 2
6 8 2 3
x x
x x
=
2 ) 1 (
1 1
2 3
2 ) 1 (
1 ) 1 ( 2 ) 1 2 2 (
3
x x
x
x x
x
§Æt y =
1
1
x => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2
=> min A = 2 => y = 1 1
1
1
x => x = 2
VËy min A = 2 khi x = 2
(1/2
®iÓm)
(1/2
xy x y yz y z zx z x
1
1
VËy A= 3
Bµi 3 Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a , b , c , d 9 , a 0
Víi k, m N, 31<k<m<100
Ta có: 2
k abcd ( a 1 )( b 3 )( c 5 )( d 3 ) m 2
abcd k 2
2
m 1353 abcd
Do đó: m2–k2 = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123 hoÆc m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k=56
k=4
(lo¹i)
Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 ( vì n(n – 1)
là tích của hai số nguyên liên tiếp)
- Chứng minh: n5 – n 5
Trang 3n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau
Bài 4
Bài 5
(1,5
điểm)
a, Kẻ HD//BO Ta thấy OE,HD là đờng trung bình của các tam giác AHD, CBE Suy ra AE=ED=DC
Từ đó suy ra AE/AC=1/3 nên SAOE=1/3 SAOC=1/3 SCOH Do đó
SAOE=1/6 SAHC=> SABC=6S
b, EN=1/2 AE=> SOEN=1/2SOAE;
SOEK=1/3 SOEA => SONEK=( 1 1 5
2 3 S OEA 6S OEA
SMNEF =2SONEK= 5
6(SOEA+SOEA)=
5
6S
Trên tia đối tia AB lấy điểm E sao cho AE= BK CE cắt KA kéo dài tại H, Nối CH, DE, EK
Ta có BCE=CDK=> CE DK (1)
ABCD là hình vuông => CKEB (2)
Ta có ADE= BAK=> DEAK (3)
=> M là trực tâm tam giác CEK=> CMEK
Từ 1 và 3 => H là trực tâm ADE => DHEK
Từ 2 và 4 => CM//DH=> NK/HK=MK/DK
AB//CD=> MK/DK=BK/CK
=> NK/HK=BK/CK=> CE//BN kết hợp với 1 có BNDK