b/ Tìm các giá trị của a để Q đạt giá trị nguyên.. M là điểm tùy ý trên đường chéo BD .Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.. c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giá
Trang 1TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU
****************
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2)
MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2007-2008
Bài 1: (2đ)
a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c
Chứng minh a3 + 2c = 3ab
b/ Với giá trị nào của x thì phân thức sau bằng 0
P =
1 2
1
2 3 4
3 4
x x x x
x x x
Bài 2: (1,5đ)
Cho biểu thức: Q =
4 12 9 2
4 10 4
2 3 2
a a a
a a
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm các giá trị của a để Q đạt giá trị nguyên
Bài 3: (1,5đ)
Giải phương trình:
5 2012
4 2011
3 2010
2 2009
1
x
Bài 4: (2đ)
Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H
' ' '
'
CC
HC BB
HB AA HA
Bài 5: (3đ)
Cho hình vuông ABCD M là điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD
a/ Chứng minh DE = CF, DE vuông góc với CF
b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy
c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
******************************
ĐÁP ÁN TOÁN 8
Trang 2j H
C'
B'
B
A
Bài 1: (2đ)
a/ (0,75đ) a3 + 2c = (x + y)3 + 2(x3 + y3)
= 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25)
3ab = 3(x + y)(x2 + y2)
= 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25)
b/ (1,25đ)
Biến đổi được P = ( ( 1) 1)( ( 1) 1) (( 2 1)1)(( 2 11))
2 2 2
2 2 3
x x x
x x x
x x x
x x
(0,5)
Lý luận được mẫu thức > o với mọi x (0,25)
P = 0 (x +1)2(x2 - x + 1) = 0 (0,25)
(x +1) = 0
x = -1 (0,25)
Bài 2: (1,5đ)
a/ Biến đổi Q = (2( 2)22)((22 11))
a a
a a
= 22
a (a -2; a -21 ) (1đ) Thiếu điều kiện trừ 0,25đ
b/ Q nguyên a + 2 là ước của 2
a+2 1 ; 1 ; 2 ; 2 (0,25)
a 1 ; 3 ; 0 ; 4 (0,25)
Bài 3: (1,5đ)
2012
4 2011
3 2010
2 2009
1
x
2012
4 ( ) 1 2011
3 ( ) 1 2010
2 ( ) 1 2009
1 ( ) 1
2008
( x x x x x (0,25)
2012
1 2011
1 2010
1 2009
1 2008
1
2012
1 2011
1 2010
1 2009
1 2008
1
Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ
ABC HAB
HAC HBC S S S
ABC
HAB ABC
HAC ABC
HBC
S
S S
S S
S
(0,5)
'.
'.
'.
'.
'.
'.
AB CC
AB HC AC
BB
AC HB BC
AA
BC HA
(0,5)
'
' '
' '
'
CC
HC BB
HB AA
HA
(0,25)
Trang 3F
E
B A
Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ
a/ (1đ) C/m AEMF là hình chữ nhật suy ra MF = AE
C/m ∆MFO vuông cân tại F suy ra MF = FD Suy ra AE = FD (0,25)
C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy ra DE = CF (0,25)
ADE+ EDC = 900
DCF+ EDC = 900 (0,25)
b/ (0,75đ)
C/m tương tự ta có EC = FB và EC FB
C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB)
∆CEFcó CM,DE,BF là các đường cao nên chúng đồng qui (0,25)
c/ (1đ)
MO là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD
PHÒNG GD-ĐT TP TAM KỲ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU MÔN : TOÁN - LỚP 8 (VÒNG 2)
**************** NĂM HỌC: 2008 - 2009
THỜI GIAN : 90 PHÚT
Trang 4Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – 5x3 + 4x
b/ Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức: A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c 0, a + b + c =1 và a1 b11c = 0
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1
b/ Giải phương trình:
1994
15 1993
16 1992
17 1991
18
x
Bài 3: (2đ)
Cho biểu thức: M = (x y x)(21 y) (x y y)(21 x) (1 x x2)(y12 y)
a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M
b/ Rút gọn biểu thức M
c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3
Bài 4: (3đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC
b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương diện tích tam giác BOC
-Hết -ĐÁP ÁN TOÁN 8:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x5 – 5x3 + 4x = x(x4 -5x2 + 4) (0,25)
= x[x 2 ( x 2 -1)-4(x 2 -1)] (0,5)
= x( x2-1)(x2-4) (0,25)
Trang 5= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5)
b/ (1đ) A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
= 2(a3+b3)-3(a2+b2) (0,25)
= 2(a+b)(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (0,25)
= 2(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (vì a+b=1) (0,25)
= -2ab-a2-b2 = -(a+b)2 = -1 (0,25)
Bài 2: (2,5đ)
a/ (1đ) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25)
c
b
a
1
1
1
= 0
abc
bc ac
ab
= 0 (0,25) ab + ac + bc = 0 (0,25)
2ab + 2ac + 2bc = 0 a2 + b2 + c2 = 1 (0,25)
1994
15 1993
16 1992
17 1991
18
x
1994
2009 1993
2009 1992
2009 1991
2009
(0,5)
1994
1 1993
1 1992
1 1991
1 ( (0,25) (x+2009) = 0 (vì 0 )
1994
1 1993
1 1992
1 1991
1
x =-2009 (0,25)
Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x -1, y 1, x y (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ)
b/ (1đ) M = (x y x)(21 y) (x y y)(21 x) (1 x x2)(y12 y)
= x2(1 x()x y y2)((11 y y))(1x2x y)2(x y)
(0,25)
) 1 )(
1 )(
(
) 1 ( ) 1 ( ) 1 )(
1
x y y x
x y y x y x
(0,25) = (1 x)((1x y y)()(1x y y)()(1x x y) xy)
(0,25) = x – y + xy (0,25)
c/ (0,5đ) M = 3 x – y + xy = 3
(x –1) (y+1) = 2 (0,25)
1 2 2
1 1 1
y x y
x
(loại) Hoặc
3 0 2
1 1 1
y x y
x
(thỏa) Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25)
Bài 4: (3đ)
Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25))
Trang 6a/ (1,25đ) A B
M O
N
H K
Vẽ AHDC, BKDC (H,KDC)
) 25 , 0 (
) 25 , 0 (
) 25 , 0 )(
(
) 25 , 0 (
2
1
) 25 , 0 (
2
1
BOC
AOD
DOC BOC
DOC
AOD
BDC
ADC
BDC
ADC
S
S
S S
S
S
BK doAH S
S
DC BK
S
DC AH
S
b/ (1,25đ)
Vẽ DMAC (MAC), BNAC (NAC)
AO OC BN
AO BN S
S
BOC
AOB
2 1
2 1
(0,25)
OC
AO OC
DN
AO DN S
S
DOC
AOD
2 1
2 1
(0,25)
COD
AOD BOC
AOB
S
S S
S
(0,25)
BOC AOD COD
AOB S S S
(0,25)
) (
) (.
BOC AOD
BOC COD
AOB S S doS S
TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU
****************
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2) MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2009-2010
Bài 1: (2,5đ)
a) Xác định a để cho đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
b) Tìm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Trang 7Bài 2: (2,5đ)
a) Cho biểu thức: P =
2 2 3
1
2 3 4
3 4
x x x x
x x x
Rút gọn rồi chứng minh P không âm với mọi giá trị cuả x
b) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
Bài 3: (2đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
b) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì A > 0
Bài 4: (3đ)
Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc A,B,C,D của hình bình hành lần lượt cắt nhau tại E,F,G,H
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề một đỉnh của hình bình hành ABCD
c) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để EFGH là hình vuông?
*************************
HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài 1: (2,5đ)
a) (1,25đ) x3 - 3x + a = (x2 - 2x +1)(x +2) + a - 2(0,75)
(x3 - 3x + a) chia hết cho (x - 1)2 a-2 = 0 a = 2 (0,5)
b) (1,25đ) x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
x(x-1)(x-2) = 0 (0,5)
Bài 2: (2,5đ)
a) (1,25đ) P =
2 2 3
1
2 3 4
3 4
x x x x
x x x
=
2
) 1 (
2 2
x
Trang 8Vì x2 0 với mọi x, nên x2 + 2 > 0
Và (x - 1)2 0 với mọi x (0,5) Suy ra
2
) 1 (
2 2
x
x
0 với mọi x, hay P 0 (0,25)
b) (1,25đ) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2ac-2bc = 0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 (0,5)
0 0
c b
c a
b a
(0,25) a = b = c (0,5)
Bài 3: (2đ)
a) (1đ) A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
= 4a2b2 - ( a4 + 2a2b2 + b4) + (2b2c2 + 2a2c2) - c4 (0,5)
= (2ab)2- [(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4]
= (2ab)2-[(a2+b2) - c2]2 (0,25)
= (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2+c2)
= (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) (0,25)
b) (1đ) Nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì a >0, b >0, c >0 (0,25)
và các nhân tử của biểu thức trên đều dương (theo bất đẳng thức tam giác) (0,5) Nên A >0 (0,25)
Bài 4: (3đ) Hình vẽ 0.25đ
a) (1đ)
Tam giác AHD có: HAD + HDA = 1/2( A+ D) =900.Nên AHD=900 (0,5) Tương tự: BFC=900 , AEB=900 (0,25)
Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật (0,25)
N
M H
G F
E
D
C B
A
b) (1đ) C/m tam giác ABM cân tại B, do đó E là trung điểm của AM (0,25)
C/m tương tự G là trung điểm của CN
Nên BG là đường trung bình của hình bình hành AMCN
nên EG = 1/2(MC+AN)=MC (o,25)
Suy ra MC=CB-BM= CB-BA (o,25)
Vậy EG=FH=CB-AB (0,25)
Trang 9c) (0,75đ)
C/m EG//AD , FH//AB (0,25)
Hình chữ nhật EFGH là hình vuông
EG FH AD AB A =900 ABCD là hình chữ nhật (0,5) ( Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
**********************
