Chuyên đề 4 ôn TN THPT

Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm sốnày thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm... Tính tích

A NGUYÊN HÀM Nguyên hàm :

1.1 Định nghĩa

Hàm số F x( ) gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trên K nếu F x′( ) = f x( );∀ ∈x K.

1.2 Định lý :

Nếu F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( )trên K thì mọi hàm số có dạng F x( ) +Ccũng

là nguyên hàm của f x( ) trên K và chỉ những hàm số có dạng F x( )+Cmới là nguyên hàm của f x( ) trên K

Ta gọi F x( )+Clà họ nguyên hàm của f x( ) trên Kvà ký hiệu là ∫ f x dx( )

Vậy :

f x dx F x= +C

1.3 Tính chất :

1.3.1 Tính chất 1 : ∫kf x dx k f x dx k( ) = ∫ ( ) ( ≠ 0).

1.3.2 Tính chất 2 : ∫f x( )±g x dx( ) =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( ) .

1.4 Nguyên hàm của những hàm số thường gặp : (m n, ∈¡ ;m≠0)

dx x C= +

1

1 1

x x

α

α

+

+

1

mx n

m

α α

α α

+

+

+

∫

ln

dx

x C

+

∫

e dx e= +C

m

∫

ln

x

a

+

∫

sinxdx= cosx C+

m

∫

cosxdx= − sinx C+

m

∫

2 tan cos

dx

x C

1 tan cos

dx

+

∫

2 cot sin

dx

x C

1 cot sin

dx

+

∫

Photocopy – Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang30

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Chuyên đề 4 :

Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số

này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên

hàm

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :

1.5 Định lý :

Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u u x= ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :

f u x u x dx F u x  ′ =  +C

1.6 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :

(sin )cos

(cos )sin

( )ln 1

x

1

tan

cos

x

1

cot

sin

x

( )k k 1

f x x dx−

( )x x

f e e dx

Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn ( )n

thì thường ta đặt :

n

t=

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

1.7 Công thức :

udv uv= − vdu

1.8 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :

1.8.1 Dạng 1 :

( ) ( )

p x q x dx

∫ (trong đó p x( ) là hs đa thức; q x( )là hàm số sinα( )x hoặc cosα( )x hoặc ( )x

eα ) Trong trường hợp này ta đặt : ( )

( )

u p x

dv q x dx

=



 =



1.8.2 Dạng 2 :

( ) ( )

p x q x dx

∫ (trong đó p x( ) là hs đa thức; q x( ) là hàm số logarit)

Trong trường hợp này ta đặt : ( )

( )

dv p x dx



 =



Bài tập :

1.9 Bài 1 :

Chứng minh rằng hàm số F x( ) =e x x( 2 + 1) là nguyên hàm của hàm số ( ) ( )2

1

x

f x =e x+

1.10 Bài 2 :

Chứng minh rằng hàm số F x( ) =x x xln − +3 là nguyên hàm của hàm số f x( ) =lnx.

1.11 Bài 3 :

Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) =cosx(2 3tan− x) .

1.12 Bài 4 :

Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 1 2x2

x

+

= thỏa mãn điều kiện F( )− =1 3.

1.13 Bài 5 :

Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) =cosx−3sinx thỏa mãn điều kiện F( )π =0.

1.14 Bài 6 : Tính :

2 2

x

 + 

3

x

x

e

cos

dx x

−

∫

1.15 Bài 7 : Tính :

3

cos sinx xdx

3sin 5

xdx

x+

cos

xdx x

cos

x dx x

+

2

cot 1

sin

x

dx x

+

3

x x

e dx

e +

ln

dx

x x

x

lnx 2

dx x

+

2

3

x dx

x +

3

xdx

x +

1.16 Bài 8 : Tính :

2 cosx xdx

∫ ; ∫ (x+ 3)e dx x ; ∫ (4x+ 1 sin) xdx; ∫3 lnx2 xdx; ∫ (3x2 + 2 lnx) xdx;

ln x+ 1 dx

∫ ; ∫ (1 +e xdx x) ;

B TÍCH PHÂN

Photocopy – Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang32

Tích phân :

1.17 Định nghĩa :

a a

f x dx=F x  =F b −F a

∫

1.18 Tính chất :

1.18.1 Tính chất 1 : b ( ) a ( )

f x dx= − f x dx

1.18.2 Tính chất 2 : b ( ) b ( )

kf x dx k f x dx=

1.18.3 Tính chất 3 : b ( ) ( ) b ( ) b ( )

f x ±g x dx= f x dx+ g x dx

1.18.4 Tính chất 4 : b ( ) c ( ) b ( )

f x dx= f x dx+ f x dx

Chú ý : Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân

thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

1.19 Công thức tổng quát :

a

f u x u x dx f t dt

β

α

1.20 Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :

Tương tự như trong phần nguyên hàm

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

1.21 Công thức tổng quát :

( )

b a

udv= uv − vdu

1.22 Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :

Tương tự như trong phần nguyên hàm

Bài tập :

1.23 Bài 1 : Tính các tích phân sau :

0

cos 2x−3sinx dx

0

2x 1

x

 − 

2

x −x dx

1 2x

dx

−

0

cos

xdx

x

π

+

2

3 6cosx 1sinxdx

π

π

+

1 ln 1

e

dx

4 1

ln

x

1

0

3x+1dx

19

3 2

xdx

x +

0 cos

x

x

π

4 0

π

+

0

1 cos x sinxdx

π

−

2 1

1 ln

e

x dx x

+

1.25Bài 3 : Tính các tích phân sau đây :

2

3

0

4sin xcosx 1 dx

π

+

0

sin

2

1 cos

x

x dx x

π

0

4 1

x− x+ dx

1

3ln 1

1

e

x

dx x

∫

1.26 Bài 4 : Tính các tích phân sau đây :

2

2

0

2x + −1 3x xdx

3 1

ln

dx x

+

2 0

4sin xcosx 1 sinxdx

π

+

3 0

cos

dx x

π

+

∫

1.27 Bài 5 : Tính các tích phân sau đây :

5

0

4

x+ xdx

0

sin cos

1 cos

x

π

+

ln

ln 3

e

xdx

x+ x

0

sin cos

x

π

+

2 2 3 2

x dx

x +

∫

1.28Bài 6 : Tính các tích phân sau :

0

2 sinx xdx

π

π

−

−

0

4x+1 e dx x

1 ln

e

2

1

2x+1 lnxdx

1

3x −2 lnx xdx

∫

1.29 Bài 7 : Tính các tích phân sau :

( )

0

1

1 e xdx x

−

−

1

1 ln

e

x dx

+

0

2 cos x xdx

π

+

0 sinx 2x xdx

π

−

0

sinx cosx xdx

π

+

0 sin

x

π

−

∫

1.30Bài 8 : Tính các tích phân sau :

1

1 ln

e

x x dx

+

0

3

x

xe + dx

0 cos 2

π

−

0 sin cos

π

−

1.31 Bài 9 : Tính các tích phân sau :

2

1

ln 1

dx x

+

1

ln 2

e

x x x+ dx

1

0

2

x

x

e

 + 

0

π

−

∫

C ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Photocopy – Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang34

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C1 :y= f x( ) ( ); C2 :y g x x a x b a b= ( ); = ; = ( < )

(trong đó hai đường thẳng x a x b= ; = có thể thiếu một hoặc cả hai)

1.32 Công thức :

( ) ( )

b

a

f x −g x dx

∫

1.33 Các bước thực hiện :

Bước 1 : Giải phương trình hoành độ giao điểm của ( ) ( )C1 & C2 để tìm các nghiệm thuộc

( )a b; Giả sử được các nghiệm là : x x1, , ,2 K x n và a x< <1 x2 < <L x n <b

Bước 2 : Áp dụng công thức :

( ) ( )

b

a

n

1

n

= ∫ −  + +L ∫ − 

1.34 Chú ý :

Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình

( ) ( )

f x =g x tương ứng là a và b.

Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình f x( ) =g x( ) ta chỉ nhận những

nghiệm thuộc ( )a b; (nếu có) Những nghiệm không thuộc đoạn [ ]a b; phải loại bỏ

Thể tích của khối tròn xoay.

1.35 Công thức :

Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi : ( )C :y= f x Ox x a x b a b( ); ; = ; = ( < ) (trong đó hai đường x a= &x b= có thể thiếu một hoặc cả hai) Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox.

Khi đó thể tích của khối tròn xoay được sinh ra là :

( ) 2

b

a

V =π∫f x  dx

1.36 Các bước thực hiện :

Bước 1 : Nếu hai đường x a= &x b= đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương

trình f x( ) =0(phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục Ox) để tìm

Bước 2 : Áp dụng công thức

1.37 Chú ý :

Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả a và b thì không cần giải phương trình f x( ) =0.

Nếu để bài không cho a và b thì giải phương trình f x( ) =0 để tìm Phương trình này có

thể có nhiều hơn hai nghiệm Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất

là b, các nghiệm còn lại không cần chèn vào trong quá trình tính tích phân.

Bài 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y e Ox Oy x= x; ; ; =2.

Bài 2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y x= − +3 3x 1&( )d :y=2.

Bài 3 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( ) 4 2

C y x= −x Ox.

Bài 4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y e= x;( )d :y e Oy= ;

Bài 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( ): x 1; , 2

C y e= − Ox x= . Bài 6 Cho đường cong ( )C :y x= −3 x Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành

Bài 7 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y e= −x e−x;Ox x; =1

Bài 8 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y=ln ;x Ox x e; = .

Bài 9 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y=ln ;x d( ):y=1;x=1.

Bài 10 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C :y x x Ox x= ; ; =4

Bài 11 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau : ( )C :y= −1 e Ox x x; ; =1 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 12 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau : ( )C :y e= −x;Ox x; = −1;Oy Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 13 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau : ( )C y: 1 1;Ox x; 2

x

= − = Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 14 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau : ( ): x x; ; 1

C y e= −e− Ox x= Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 15 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau : ( ): 2 ; ; ; 1

x

thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

Photocopy – Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang36