Tài liệu Ôn tập môn Đo Lường Laser

biên độ phức của 2 sóng phẳng là Chúng ta có thể coi rằng công thức 3.20 như là sự thể hiện 1 sóng phẳng với phương lan truyền nằm trong mặt phẳng xz tạo 1 góc với trục x như được mô tả

Ôn tập môn Đo Lường Laser

1 Đại cương về hiện tượng giao thoa ánh sáng [1, pp.37-38]

3.2 GENERAL DESCRIPTION

Giao thoa có thể xuất hiện khi 2 hay nhiều sóng overlap với nhau trong ko gian

Giả sử 2 sóng được mô tả bởi

Overlap với nhau

Lí thuyết sóng điện từ nói rằng trường tổng hợp (result field) là tổng:

Cường độ sẽ là:

Như có thể thấy, cường độ tổng hợp ko bằng tổng thuần túy của các cường độ (I1+I2) của 2 sóng thành phần người ta nói rằng 2 sóng kết hợp và được gọi là thành phần giao thoa Chúng ta cũng có thể

ngược pha có nghĩa là chúng giao thoa hủy

Khi 2 sóng cùng cường độ I1=I2=I0, công thức 3.3 trở thành

(3.5)Khi đó cường độ thay đổi từ 0 đến 4 I0

2 Tính chất kết hợp, độ tương phản, độ kết hợp, độ rộng phổ [1, pp.38-40]

3.3 COHERENCE

Detection of light là 1 quá trình tính trung bình theo thời gian và ko gian Trong công thức khai triển 3.3 ta ko tính

trung bình vì ta giả sử độ lệc pha là hằng số theo thời gian Điều đó có nghĩa là ta giả sử u1 và u2 có 1 tần

số duy nhất giống nhau 1 cách lí tưởng, 1 sóng ánh sáng với 1 tần số duy nhất phải có chiều vô cực 1 cách toánhọc, thậm chí 1 sóng sin thuần túy có chiều dài hữu hạn sẽ có độ mở rộng tần số theo lí thuyết Fourier (phụ lục B) do đó nguồn phát ra ánh sáng đơn tần số ko tồn tại thực tế

1 cách minh họa ánh sáng được phát ra từ nguồn thực là vẽ nó như là 1 đoàn sóng hình sin với chiều dài vô hữu hạn với các độ lệch pha giữa các đoàn sóng cá nhân được phân bố 1 cách ngẫu nhiên

Giả sử rằng ta sử dụng 1 nguồn như vậy trong 1 thí nghiệm giao thoa, vd: giao thoa kế michelson ở đây ánh sáng bị chia thành 2 sóng thành phần có cường độ bằng nhau bằng 1 beamsplitter sau đó 2 sóng lại kết hợp lại sau khi đi những quang lộ khác nhau

Trong hình 3.1 có phác họa 2 đoàn sóng liên tiếp của các sóng thành phần 2 đoàn sóng có cường biên độ bằng nhau và dài Lc, với 1 độ lệch pha tùy í Trong hình 3.1(a) thể hiện trường hợp 2 sóng thành phần có các chiều dài quang lộ bằng nhau ta thấy ràng mặc dù pha của sóng ban đầu thăng ráng ngẫu nhiên nhưng độ lệch pha giữa các sóng thành phần1 và 2 vẫn là hằng số theo thời gian Do đó Biên độ tổng hợp cho bởi phương trình 3.3 hinh 3.1(c) thể hiện trường hợp khi sóng thành phần thứ 2 có quang lộ Lc dài hơn sóng thành phần thứ 1 Đoạn đầu

của các đoàn sóng trong sóng thứ 2 thì trùng với đuôi của những đoàn sóng tương ứng trong sóng thứ 1 cường

độ sóng tổng hợp tức thời vẫn được cho bởi công thức 3.3, nhưng bây giờ độ lệch pha thăng ráng ngẫu nhiên như là các đoàn sóng liên tiếp đi qua

Như là 1 hệ quả, thay đổi ngẫu nhiên giữa 1 và -1 khi tính trung bình cho nhiều đoàn sóng thì bằng =

và kết quả là cường độ quan sát được sẽ là

I = I1 +I2 (3.6)Hình 3.1(b) thế hiện 1 trường hợp trung gian, ở đó sóng thứ 2

có quang lộ l dài hơn sóng 1, 0< l < Lc tính trung bình cho nhiều đoàn sóng thì độ lệch pha bây giờ thay đổi 1 cách ngẫu nhiên theo chu kì tỉ lệ với và vẫn là hằng số chu kì thời

chúng ta vẫn quan sát được 1 vân giao thoa theo công thức 3.3,nhưng với độ tương phản bị giảm để giải thích cho sự giảm độ tương phản này, công thức 3.3 được viết thành

Trong đó là trị tuyệt đối của

Để thấy rõ mối liên hệ giữa đại lượng này với sự tương phản của hệ vân ta làm quen với hệ số tương phản (hoặc visibility)

Trong đó Imax và Imin là cận cực đại và cực tiểu của của hệ vân giao thoa được xác định bằng công thức 3.7 vì

thay đổi giữa +1 và -1 ta có:

Thay vào công thức 3.8 ta có

Khi 2 sóng có cường độ bằng nhau, I1 = I2, và công thức 3.10 thành

trong trường hợp này bằng với độ tương phản (hay khả năng nhìn thấy - visibility) được gọi là complex degree của sự kết hợp và đo khả năng giao thoa của 2 trường sóng Từ các thảo luận trước đó ta phải có:

Trong đó công thức 3.12a và 3.12b thể thiện 2 trường hợp giới hạn của sự kết hợp hoàn toàn và ko kết hợp tương ứng, trong khi 3.12c thể hiện sự kết hợp 1 phần.

Quan tâm hơn là cần biết giá trị của , tức là tại đó độ lệch quang lộ Trong chương 5.4.9 chúng ta thấy rằng trong trường hợp laze 2 tần số điều này sẽ xảy ra khi

Trong đó là độ biến thiên giữa 2 tần số người ta có thể chỉ ra rằng mối quan hệ này áp dụng cho bất kì

nguồn sáng nào với sự phân bố tần số có bề rộng là Lc được định nghĩa là độ dài kết hợp và là thời gian kết hợp

Ta thấy rằng công thức 3.13 là phù hợp với thảo luận trước đây về các nguồn có bề rộng phổ xác

định(hữu hạn) sẽ phát ra các đoàn sóng có chiều dài hữu hạn được thể hiện qua

Công thức này có thể được rút ra từ 1.2

Như được cho trong chương 1.2 vùng phổ nhìn thấy từ 4.3 đến 7.5x1014Hz sẽ cho 1 bề rộng phổ bằng khoảng

Từ công thức 3.13, thời gian kết hợp của ánh sáng trắng sẽ là 3x10-15s, cái mà đáp ứng với độ dài kết hợp cỡ 1micromet Do đó Trong phổ kế ánh sáng trắng khó mà quan sát được nhiều hơn 2 hoặc 3 viền giao thoa Điều kiện này có thể được cải thiện bằng cách đặt vào các tấm lọc màu at the cost of decreasing the intensity

Các Đèn phóng thông thường có độ rộng phổ tương ứng với các độ dài kết hợp của bậc của 1 μm trong khi các đường quang phổ phát ra từ đèn isotope áp suất thấp có độ dài kết hợp cỡ mm

Bởi đến nay nguồn sáng kết hợp nhất là laser Một laser đơn tần số có thể có các độ dài kết hợp cỡ vài trăm mét Điều này sẽ được phân tích chi tiết hơn trong mục 5.4.9

Cho đến nay chúng ta đã thảo luận về sự kết hợp giữa hai trường sóng tại một điểm trong không gian Hiện tượng này được gọi là sự kết thời gian hoặc theo chiều dọc Nó cũng có thể để đo sự kết hợp của một trường sóng tại hai điểm trong không gian Hiện tượng này được gọi là kết hợp không gian hoặc kết hợp ngang

và có thể được phân tích bằng thí nghiệm 2 khe (hoặc pinhole) Young cổ điển (xem mục 3.6.1)

Ở đây, trường sóng tại hai điểm P1 và P2 được phân tích bằng cách truyền ánh sáng qua hai lỗ nhỏ trên một mànS1 tại P1 và P2 và quan sát các vân giao thoa kết quả trên một màn S2 (xem hình 3.13 (a)) Trong cùng một cách khi mức độ thời gian kết hợp γ (τ) là một thước đo của sự tương phản rìa như là một hàm của độ lệch thời gain τ ,mức độ kết hợp không gian γ12 là một thước đo của sự tương phản rìa của vân giao thoa trên màn S2 như 1 hàm của độ lệch ko gian D giữa P1 và P2 Lưu ý rằng vì γ12 là mức độ kết hợp không gian khi τ = 0, nó là sự tương phản của rìa trung tâm trên S2 mà đã được đo

Để đo sự gắn kết không gian của các nguồn chính nó, màn S1 đã được đặt trong liên hệ với nguồn rõ ràng rằng đối với một nguồn ánh sáng nhiệt mở rộng , | γ12 | = 0 trừ khi P1 = P2, trong đó cung cấp | γ11 | = 1 Mặt khác, nếu chúng ta di chuyển S1 đi xa nguồn này, chúng ta thấy rằng | γ12 | có thể khác không, điều đó cho thấy rằng một trường sóng làm tăng sự kết hợp không gian của mình bằng cách lan truyền đơn thuần Chúng tôi cũng quan sát thấy | γ12 | tăng bằng cách stopping down nguồn, ví dụ, khẩu độ đến | γ12 | = 1 đối với một lỗ kim Các khoảng cách Dc giữa P1 và P2 mà | γ12 | = 0 được gọi là độ dài kết hợp không gian Nó có thể được chỉ ra

rằng Dc tỉ lệ nghịch với đường kính của khẩu độ trong sự tương đồng với thời gian kết hợp, đó là tỉ lệ nghịch với

bề rộng phổ Hơn nữa, nó có thể được chỉ ra rằng | γ12 | là biến đổi Fourier của các phân bố cường độ của nguồn

và rằng | γ (τ) | là biến đổi Fourier của sự phân bố quang phổ của nguồn (xem Phần 3.7)

`1 số thí nghiệm sử dụng kĩ thuật này như holography, moire, speckle và photoelastic cả lí thuyết và thực nghiệmngười ta thường giả sử đô kết hợp là1 hoặc 0 tuy nhiên người ta nên làm quen với các thực trạng cơ bản:

1.Ánh sáng từ 2 nguồn riêng biệt thì ko giao thoa

2.Sự kết hợp thời gian và ko gian của ánh sáng từ 1 nguồn nhiệt mở rộng bị tăng bằng cách stopping down nó và sử dụng các tấm lọc tương ứng

3.Hàm tương phản của laze nhiều mode thể hiện tối đa ở bội sô nguyên của 2 lần chiều dài buồng cộng hưởng (The visibility function of a multimode laser exhibits maxima at an integral multiple of twice the cavity length(see Section 5.4.9).)

3 Giao thoa giữa hai sóng phẳng [1, pp.41-45].

3.4 INTERFERENCE BETWEEN TWO PLANE WAVES

Hình 3.2(a) cho thấy 2 sóng phẳng u1 và u2 với các hướng lan truyền là

n1, n2 nằm trong mặt phẳng xz tạo thành góc với trục z các

đại lượng (hình 3.2b): = góc giữa n1, n2, = góc giữa đường chia đôi

góc và trục z biên độ phức của 2 sóng phẳng là

Chúng ta có thể coi rằng công thức 3.20 như là sự thể hiện 1 sóng phẳng với

phương lan truyền nằm trong mặt phẳng xz tạo 1 góc với trục x như

được mô tả trong hình 3.3

Và với wavelength bằng

Điều này cũng được thấy rõ từ hình 3.2 Từ công thức 3.21 chúng ta thấy

rằng khoảng cách giữa các viền giao thoa (wavelength là d) thì chỉ phụ thuộc

vào góc giữa n1 và n2 bằng cách so sánh hình 3.2 và 3.4 ta thấy d giảm như

thế nào khi tăng Đồ thị trong hình 3.5 cho thấy mối quan hệ giữa d và

và f=1/d và theo công thức 3.21

Sự phân bố cường độ theo mặt phẳng xy được tìm bằng cách cho z=0 vào

vào công thức 3.19

Từ cực đại hoặc cực tiểu của công thức này ta tìm được khoảng cách bên trong viền được đo dọc theo trục x là:

Biến đổi lượng giác (với các góc trong hình 3.2b) biểu thức trên ta có:

Chúng ta cũng định nghĩa tần số tức thời của cách tử hình sin với pha tại x0:

Sự phân bố cường độ cho bởi công thức 3.22 được biểu diễn trên hình 3.6 ta thấy rằng nó biến thiên giữa

Khi công thức 3.26 và 3.27 được cho vào biểu thức 3.8 ta có

V bằng biên độ của sự phân bố chia cho giá trị trung bình và biến thiên giữa 0 và 1 ta thấy rằng

4 Laser Doppler Velocimetry [1, pp.45-46]

3.4.1 Laser Doppler Velocimetry (LDV) (đo vận tốc dòng chảy)

Như là tên gọi (hoặc còn dc gọi là đo gió bằng hiệu ứng dople dùng laser - LDA) ám chỉ rằng phương pháp này dùng để đo vận tốc của vật dịch chuyển hoặc các hạt di chuyển nó dựa vào hiệu ứng dople, cái mà giải thích thật

sự rằng ánh sáng dịch chuyển tần số của nó (bước sóng) khi được đo bằng 1 máy thu đứng yên sau khi được

Cái này tương tự với ví dụ cổ điển đối với sóng âm khi mà còi từ tàu hỏa thay đổi từ tone cao xuống thấp khi tàu

đi qua

ở đây ta cho 1 sự mô tả khác Xem hình 3.7 ở đó 1 hạt đang chuyển động trong 1 vùng kiểm tra nơi mà 2 sóng phẳng giao thoa với 1 góc Trong phần 3.4 người ta thấy rằng 2 sóng này sẽ hình thành các mặt phẳng giao thoa cái mà song song với phân giác của góc và bị chia ra bởi các khoảng cách bằng

Khi hạt di chuyển qua vùng kiểm tra, nó sẽ tán xạ (scatter) ánh sáng khi nó đi qua 1 viền giao thoa sáng (vân giao thoa sáng) và tán xạ ko ánh sáng khi nó đi qua vân tối Các xung ánh sáng thu được sẽ được ghi lại bằng máy thu đặt như trong hình 3.7

Đối với 1 hạt di chuyển theo hướng pháp tuyến với mặt phẳng giao

thoa với vận tốc v, khoảng thời gian giữa các xung kế tiếp là:

Và do đó tần số là:

Nếu có nhiều hạt với nhiều vận tốc khác nhau, người ta sẽ có nhiều tần số khác nhau Chúng có thể được ghi lại trên 1 máy phân tích tần số và phổ tần số kết quả sẽ cho ta biết các hạt được phân bố giữa các vận tốc khác nhau như thế nào

Phương pháp này ko phân biệt chuyển động của các hạt theo các hướng ngược nhau (tức là ko xác định được chiều chuyển động của các hạt) Nếu chiều của dịch chuyển ko biết, ngwòi ta có thể điều biến pha của 1 trong cácmặt sóng (ví dụ: bằng công cụ điều biến quang âm) do đó tạo các mặt phẳng giao thoa di chuyển song song với chính chúng với 1 vận tốc đã biết Vận tốc này sau đó sẽ bị trừ đi khi các hạt dịch chuyển theo cùng hướng và cộng vào khi dịch chuyển trên hướng ngược lại

Trong hình 3.7 các hạt đi qua giữa nguồn sáng máy thu Nếu các hạt tán xạ đủ ánh sáng, máy thu cũng sẽđược đặt trên cùng 1 phía của vùng kiểm tra như nguồn sáng (lase) Nhiều hệ thống của nguồn sáng và máy thu được miêu tả trong lí thuyết Ví dụ 1 trong 2 sóng có thể đến trực tiếp máy thu, hoặc nó có thể có 1 sóng đơn và nhiều máy thu

Đo vận tốc dòng chảy LDV có thể được áp dụng cho việc đo vận tốc của mặt phẳng chuyển động, sự chảy rối trong các chất lỏng, khí V.v trong 1 vài trương hợp, khí hoặc chất lỏng phải được rải vào các hạt Ví dụ đo vận tốc dòng quanh các chong chóng (chân vịt) của tàu, các sự phân bố vận tốc của oil drops trong các động cơ đốt

và động cơ diesel

5 Cho biết về sự khác nhau giữa giao thoa chia mặt sóng và giao thoa chia biên độ

- Sóng phát ra từ 1 nguồn được tách một cách hình học

thành 2 hay nhiều thành phần Những thành phần sóng

này sẽ đi theo những lộ trình khác nhau, và khi gặp nhau

tạo ra hình ảnh giao thoa

- Ánh sáng phát ra từ 1 nguồn sẽ được tách tại các mặt phân cách thành 2 phần có cường độ khác nhau, sau đógặp nhau và giao thoa

được gọi là sự chi mặt đầu sóng.

- Miền cắt nhau của các chùm tia xuất phát từ hệ quang

1 và hệ quang 2 trong không gian được gọi là trường

giao thoa

- Các loại giao thoa 2 khe Young, lưỡng lăng kính

Fresnel, gương Lloyd,

- Các giao thoa ở bản mỏng, giao thoa kế Michelson, vân tròn Newton,

- Không định xứ:nơi nào có sự gặp nhau của 2 sóng thì

nơi đó có giao thoa

- Định xứ: chỉ thu được hệ vân trên một mặt cố định

- Nguồn hẹp: Kích thước nguồn phải nhỏ để thoả mãn

tính kết hợp không gian

- Cho phép sử dụng nguồn sáng rộng mà vẫn cho độ tương phản cao

6 Heterodyne Detection [1, pp.55-56]

3.6.4 Heterodyne (Homodyne) Detection

Giao thoa kế Michelson 2 tần số là 1 ví dụ của cái được gọi là heterodyne detection Kĩ thuật này là nguyên lí nổi tiếng trong vô tuyến viễn thông và kết nối quang học ở đây, tín hiệu quang được pha trộn với tín hiệu máy dao động cục bộ ở máy thu Nếu chúng ta bỏ qua điều kiện ko gian (cái mà là

ko đổi trong máy thu), các điện trường của tín hiệu quang và của máy dao động cục bộ

là:

trong đó là tần số mang và chứa tần số đièu biến mang tín hiệu thông tin Tần số của máy dao động cục bộ là bù đắp (offset) từ tần số mang bởi tần số trung gian Trong kết nối quang học là trong phạm vi tần số radio từ vài chục đến vài trăm Mhz

hệ thống homodyne detection dẫn tới nếu ko có sự bù đắp, tức là

Cường dộ ở máy thu trở thành:

Tín hiệu Id từ máy thu có thể được giải điều (demodulated) bởi giải điều đồng bộ (synchronous

demodulation) cái mà chứa cái đầu tiên sẽ tách nó thành 2 và nhiều ……

(The signal Id from the detector can be demodulated by so-called synchronous demodulation

Ta thấy rằng cả 2 sự mở rộng này chứa 2 thành phần tần số cao bằng cách qua tấm lọc thấp, các tín hiệu này sẽ có 1 cái bị giữ lại với :

Từ đó, hàm điều biến được cho bởi:

Nguyên lí này được sử dụng trong các máy nhận radio superheterodyne (máy thu đổi tần) trong

sau nầy rằng nguyên lí heterodyne được sử dụng cả trong giao thoa, moirre và cá tần số tín hiệu đó

có thể trong miền kết hợp ko gian hơn là kết hợp thời gian

4.1 Giới thiệu

Khi ánh sáng đi qua một biên, nó sẽ đi chệch khỏi sự lan truyền thẳng Hiện tượng này ( cái là một hệ quả

tự nhiên của bản chất sóng của ánh sáng) được gọi là sự nhiễu xạ và đóng một vai trò quan trọng trong quang học Các nhiễu xạ giới hạn đã được định nghĩa thuận tiện bởi Sommerfeld là "bất kỳ sự sai lệch từ những đường thẳng mà không thể được giải thích như là sự phản xạ hoặc khúc xạ Một lý thuyết chặt chẽ của nhiễu xạ là khá phức tạp Ở đây chúng tôi phát triển những biểu thức cho trường nhiễu xạ dựa trên nguyên lý Huygens "của những sóng cầu thứ cấp Đó là một sự trùng hợp rất may mắn cái khẩu độ và các trường nhiễu xạ xa được kết nối bởi một mối quan hệ Fourier biến đổi Do đó, quang học và kỹ thuật điện tử có một thời gian dài chia sẻ một nguồn chung của các lý thuyết toán học

Như một hệ quả của sự nhiễu xạ, một nguồn điểm không thể được ảnh như một điểm Do đó một hệ thống hình ảnh không có những quang sai được cho là nhiễu xạ giới hạn

4.2 Nhiễu xạ từ một khe đơn

Hình 4.1 cho thấy một làn sóng phẳng cái bị chặn một phần bởi

một màn chắn S1 trước khi rơi vào một màn chắn S2 Theo quang hình

học, một biên sắc nét được tạo thành bởi bóng tại điểm A Tuy nhiên,

bằng kiểm tra chặt chẽ hơn, phát hiện ra rằng điều này là không chính

xác Các phân bố ánh sáng không phải là ranh giới rõ ràng, nhưng tạo

thành một hình ảnh trong một khu vực nhỏ xung quanh A Điều này phải

phụ thuộc một sự uốn cong của ánh sáng xung quanh các biên của S1

Sự uốn này được gọi là nhiễu xạ và hình ảnh ánh sáng nhìn thấy trên S2

là một kết quả của sự giao thoa giữa những sóng ánh sáng bị uốn cong

được gọi là một hình ảnh nhiễu xạ

Hình 4.2Một ví dụ khác của hiện tượng này có

thể được quan sát bằng cách cho ánh sáng

qua một lỗ nhỏ Nếu lỗ này được làm đủ nhỏ,

ánh sáng sẽ không lan truyền như là một

chùm tia hẹp nhưng như một sóng cầu từ

trung tâm của lỗ (xem hình 4.2) Đây là bằng

chứng của nguyên lý Huygens cái nói rằng

mỗi điểm trên mặt sóng có thể được coi như

một nguồn của những sóng cầu thứ cấp

Bằng cách thêm vào các sóng cấu thứ cấp

này và tính toán phân bố cường độ trên một

mặt phẳng cho trước, phát hiện những hình ảnh nhiễu xạ trong mặt phẳng đó Nguyên lý đơn giản này đã được chứng minh là rất hiệu quả và là nền tảng của lý thuyết nhiễu xạ cổ điển

Hình 4.3Với giả thuyết đơn giản này, chúng tôi sẽ cố gắng tính toán hình ảnh nhiễu xạ từ một khe dài, hẹp (xem hình 4.3) Chiều rộng khe a theo hướng-x nhỏ hơn nhiều so với chiều dài khe theo hướng-0 y Do đó chúng tôi 0xem xét vấn đề theo một chiều Từ bên trái, một sóng phẳng với biên độ đơn vị đang rơi bình thường vào khe Theo nguyên lý Huygens, các đóng góp ∆ u x ( ) vào trường tại một điểm x từ một điểm x bất kỳ bên trong khe 0

thì bằng trường của một sóng hình cầu với trung tâm của nó tại x : 0

( ) eikr

u x

r

∆ = (4.1)

Để tính toán trường tổng hợp tại điểm x, chúng tôi phải tổng hợp các sóng cầu thứ cấp của Huygens từ tất

cả các điểm bên trong khe Tổng này biến thành tích phân

Hình 4.1

ax z

π λ π λ

z x a

λ

∆ = (4.6)Chúng tôi thấy rằng ∆ x là tỉ lệ nghịch với chiều rộng khe Nó dễ dàng được chỉ ra rằng hình ảnh nhiễu xạ

từ một dải mờ đục sẽ giống như từ một khe của cùng chiều rộng

Hình 4.4: Hình ảnh nhiễu xạ từ một khe đơn của bề rộng a

Nó có thể được đề cập đến rằng theo một thuyết nhiễu xạ chặt chẽ hơn, trường tại một điểm P bên cạnh màn chắn nhiễu xạ được cho bởi

1

cos

ikre

để có nhiễu xạ thì kích thước vâôt cản cỡ bước sóng, nhưng nếu quá nhỏ thì ko còn nhiễu xạ

Mún chụp Xquang phải dùng tia

X, vì khoảng cáh giữa các ng tử

cỡ amstrong

Trong đó Σchỉ khẩu độ mở của màn chắn, ds là diện tích vi phân, u P ( )0 là trường tới trên màn chắn và Ωlà góc giữa những tia tới và tia bị nhiễu xạ tại điểm P0 Phương trình (4.7) được biết như đẳng thức nhiễu xạ Rayleigh-

Sommerfeld Khi đặt u P ( )0 = 1 (thường sóng mặt phẳng tới của biên độ đơn vị) và Ω = 0, đẳng thức này trở nên

trùng với phương trình (4.2) ngoại trừ hệ số 1 iλcái trở nên không quan trọng với mục đích của chúng tôi, khi chúng tôi hầu hết sẽ đề cập đến các biên độ trường tương đối

8 Nhiễu xạ của sóng phẳng qua cách tử, phổ không gian [1, pp.70-75]

4.3 DIFFRACTION FROM A GRATING

4.3.1 The Grating Equation Amplitude Transmittance

Hình 4.5 cho thấy 1 sóng phẳng tới bình thường trên 1 cách tử

với chu kì là d các đường cách tử hẹp đến nỗi ta có thể coi như

ánh sáng từ mỗi khe như là nguồn thứ cấp phát sóng trụ Trong

hình 4.5b, ta vẽ 3 trong các khe này A,B,C, mỗi cái với 5 vòng tròn

đồng tâm cách nhau thể hiện cho các sóng trụ Tiếp tuyến

với đường tròn số 5 đối với các khe sẽ thể hiện sự lan truyền của

sóng phẳng theo phương z

Đường tiếp tuyến với mặt sóng thứ 5 của nguồn A, mặt sóng thứ

4 của nguồn B, mặt sóng thứ 3 của nguồn C thể hiện sóng phẳng

lan truyền theo phương tạo với trục Z 1 góc , từ hình vẽ ta

thấy”

Còn tiếp tuyến với vòng tròn thứ 5 từ nguồn A, vòng tròn 3 từ B và vòng tròn thứ 1 từ C sẽ thể hiện sóng phẳng

lan truyền theo hướng tạo góc với trục Z cho bởi

Tương tự ta có thể thiết lập sóng phẳng thứ n tạo góc với trục Z là

Công thức 4.8 gọi là công thức cách tử cũng tương tự ta có thể vẽ tiếp tuyến với vòng tròn số 5 từ nguồn C, vòngtròn 4 từ nguồn B và vòng số 3 từ nguồn A và tiếp tục… do đó n trong công thức 4.8 là số nguyên giữa

Cách tử trong hình 4.5 có thể được thể hiện bằng hàm t(x) trong hình 4.6 Đó là 1 hàm sóng vuông, biếnthiên ko liên tục giữa 0 và 1 nếu sóng tới cách tử được thể hiện là ui, sóng sau cách tử sẽ là:

Do đó, sau mặt phẳng cách tử u u = u i trong đó t(x)=1, tức là ánh sáng được truyền qua, và uu = 0 nghĩa là t(x)=0,tức là ánh sáng bị chặn lại

Hàm t(x) được gọi là hàm truyền qua biên độ phức của cách tử ta thấy rằng cách tử như vậy sẽ nhiễu xạcác sóng phẳng theo các phương cho bởi công thức 4.8 nếu ta quay phương lan truyền đi 1 góc 180 độ quangnhững sóng này, nó sẽ ko khó để tưởng tượng rằng chúng sẽ giao thoa, tạo nên 1 hệ vân giao thoa với sự phân

bố cường ánh sáng cho bởi hàm t(x) trong hình 4.6 Tương tự ta thấy rằng 1 cách tử hình sin (cái mà có thể đượctạo trên phim photographic bằng cách cho 2 sóng phẳng giao thoa) sẽ nhiễu xạ 2 sóng phẳng lan truyền đối xứngquanh trục z khi được chiếu sáng bởi 1 sóng phẳng giống như cách tử sóng vuông trong hình 4.5 sự nhiễu xạ từcách tử hình sin có thể được miêu tả bởi công thức 4.8, nhưng bây giờ n sẽ chỉ nhận các giá trị -1,0,1

Hơn nữa lập luận tương tự cho ta rằng 1 hệ vân zone-plate hình thành (ví dụ trên phim ảnh) bằng cáchgiao thoa giữa 1 sóng phẳng và 1 sóng cầu (coi hình 4.7a), sẽ nhiễu xạ sóng cầu 1 trong số chúng sẽ sóng cầuphân kì với tâm tại P và cái kia sẽ hội tụ tại P’ cách zone-plate 1 khoảng a giống như điểm P (coi hình 4.7b).những lập luận này có lẽ khó chấp nhận, nhưng vẫn chính xác

4.3.2 The Spatial Frequency Spectrum(phổ tần số ko gian.)

Giả sử rằng đặt 1 thấu kính dương sau cách tử trong hình 4.5 như là trong hình 4.8 trong mục 1.10 (công thức1.20) ta đã chứng minh rằng 1 sóng phẳng trong mặt phẳng xz với phương truyền tạo 1 góc têta với trục quanghọc (trục z) sẽ tập trung tại 1 điểm trên mặt phẳng tiêu của thấu kính tại khoảng cách xf từ trục z cho bởi:

(têta phải nhỏ  tần số của têta cũng ko dc bé  tần số của cách tử cỡ 1000m-1)

Trong đó f là tiêu cựl

Thay vào công thức 4.8 ta có:

ở đây ta sử dụng xấp xỉ sintêta=tantêta và thay tần số cách tử Nếu ta thể hiện sự phân bốcường độ trong 1 tiêu điểm bằng 1 mũi tên thì sự phân bố cường độ trong 1 mặt phẳng tiêu trong hình Nếu ta thểhiện sự phân bố cường độ trong 1 tiêu điểm bằng 1 mũi tên thì sự phân bố cường độ trong 1 mặt phẳng tiêu tronghình 4.8 sẽ giống như cái trong hình 4.9a bằng cách thay cách tử sóng vuông bằng cách tử hình sin, sự phân bốcường độ trong mặt phẳng tiêu sẽ giống hình 4.9b

Hình 4.10 là sản phẩm tái tạo lại của 1 phần hình 4.9 từviệc chia lại tỉ lệ của trục từ xf của chiều dài kích thước

(dimension) thành của chiều dàinghịch đảo của dimension, tức là tần số ko gian Bằngcách đó, ta có sự thể hiện trực tiếp của lượng (content) tần số hoặc lượng sóng phẳng của các cách tử Ta thấyrằng cách tử hình sin chứa các tần số +- f0 và 0, trong khi các tử sóng vuông chứa cả các bội số âm và dươngcủa f0 Biểu đồ hình 4.10 được gọi là phổ tần số ko gian

Nếu ta đặt liên tiếp set-up trong hình 4.8 các cách tử hình sin có các tần số f0, 2f0, 3f0,…, nf0, và nếu ta có thểcộng tất cả phổ thu được, ta sẽ thu được phổ giống như trong hình 4.10a điều nầy là minh chứng của sự thậtrằng 1 cách tử sóng vuông có thể được thể hiện lại bằng cách tổng của các cách tử hình sin của các tần số, cái

mà là bội số của tần số cơ bản f0, nói cách khác là 1 chuỗi Fourier Điều này được làm cụ thể hơn trong hình4.11, trong đó, trong hình 4.11e, ta thấy rằng sự xấp xỉ với 1 cách tử sóng vuông là khá tốt bằng cách cộng 4 sốhạng đầu tiên của chuỗi để chứng minh sự tái tạo của những biên của cách tử sóng vuông, người ta thêm vàocác số hạng bậc cao của chuỗi các biên nhọn trong 1 vật thể sẽ tái hiện các tần số cao

9 Sơ lược về Fourier Optics [1, pp.75-76]

Bằng việc đặt t(x) vàp tích phân của công thức 4.12 ta có thể cho giới hạn của tích phân mở rộng thành

ở đây K là yếu tố pha thuần túy (|K|2 = 1) cái này ko quan trọng khi tính toán cường độ Bằng yếu tố

ta mang công thức 4.17 vào theo lí thuyết nhiễu xạ Huyghen-fresnel

Như đã đề cập trong mục 4.2, những sự xấp xỉ dẫn đến công thức 4.4 và do đó công thức 4.17 được gọi

là xấp xỉ Fraunhofer Để hoàn thành cái này, mặt phẳng quan sát phải ở xa vật thể 1 cách thực tế hơn của việcthỏa mãn yêu cầu này là đặt mặt phẳng quan sát ở mặt phẳng tiêu của 1 thấu kính như trong hình 4.8 z trongcông thức 4.17 được thay thế bằng tiêu cự f các cách thực tế hơn được trình bày trong mục 4.5 ta cũng để írằng bằng cách đặt vật trước mặt phẳng tiêu (về phía bên trái thấu kính) trong hình 4.8, ta có K=1, và ta có sựbiến đổi Fourier trực tiếpl

Cách chúng ta có nguồn gốc công thức chung của phương trình (4,17) tất nhiên không có nghĩa là mộtbằng chứng nghiêm khắc của giá trị của nó Tuy nhiên Lý thuyết nhiễu xạ nghiêm ngặt bằng cách sử dụng cùngmột xấp xỉ cũng dẫn đến cùng kết quả Phương trình (4,17) là một công cụ mạnh mẽ trong việc tính toán các môhình nhiễu xạ và phân tích của các hệ thống quang học Một số hiệu quả của nó được trình bày rộng rãi hơn tạiPhụ lục B

Ví dụ, việc tính phổ tần số của cách tử hình sin được cho bởi:

Bây giờ trở nên đơn giản hơn, bằng cách sử dụng phương trình 4.15 ta có:

Phương trình cuối cùng theo định nghĩa của hàm delta được

cho trong công thức B.11 trong phụ lục B.2

Phương trình 4.19 chứng minh rằng phổ của cách tử hình sin

được ho bởi 3 hàm delta, tức là 3 tiêu điểm kok có những

bậc 0 ở fx = 0 và 2 bậc đối xứng kia ở

fx= +_ f0 (coi hình 4.10b)

10 Lọc quang học [1, pp.76-81]

4.5 SỰ LỌC QUANG HỌC

Hình 4.12 cho thấy một nguồn điểm (1) được đặt trong

mặt phẳng tiêu cự của một thấu kính (2) tạo ra một làn sóng

phẳng rơi vào một cách tử sóng vuông góc (3) nằm trong mặt

phẳng của vật thể Một thấu kính (4) được đặt một khoảng

cách a từ mặt phẳng của vật thể, những hình ảnh cách tử

sóng vuông góc trên mặt phẳng hình ảnh nơi mà sự phân bố

cường độ (5) của hình ảnh của cách tử có thể được quan sát

Mặc dù biểu đồ cho thấy rằng chỉ những bậc bên

1st

± được chấp nhận bởi thấu kính (4), chúng tôi sẽ theo giả

thuyết rằng tất cả các thành phần sóng phẳng nhiễu xạ từ

cách tử sẽ đi qua thấu kính Vì vậy chúng tôi có thể, trong

cùng một cách như trong hình 4.8, quan sát quang phổ của cách tử trong các mặt phẳng tiêu cự phía sau của thấu kính

Hình 4.12 Quá trình lọc quang học ( Từ Jurgen R Meyer-Arendt, Giới thiệu về Quang học cổ điển và hiện đại,

1972 , trang 393 In lại với sự cho phép của Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai trường hợp:

Trường hợp 1 Chúng tôi đặt một cách tử sóng vuông của tần số cơ bản f0

trong mặt phẳng của vật thể Khoảng cách giữa các tiêu điểm trong mặt phẳng

tiêu cự sau đó trở thành λff0 (xem phương trình (4.11) và Hình 4.9) Trong

mặt phẳng hình ảnh chúng ta sẽ thấy một cách tử sóng vuông của tần số cơ

bản f nơi i 1 fi = m ( ) 1 f0 và m b a= là độ phóng đại từ mặt phẳng của vật thể đến mặt phẳng hình ảnh

Trường hợp 2 Chúng tôi đặt một cách tử sóng vuông của tần số cơ bản 2 f trong các mặt phẳng của vật 0thể Khoảng cách giữa các tiêu điểm bây giờ trở thành 2 ffλ 0 và tần số cơ bản của cách tử hình ảnh sẽ là 2f i

Nếu trong trường hợp 1 chúng ta đặt trong mặt phẳng tiêu cự một màn chắn với các lỗ cách nhau bởi khoảng cách 2 ffλ 0 và điều chỉnh nó cho đến khi mọi tiêu điểm thứ hai trong quang phổ được cho qua, sau đó trạng thái trong trường hợp 2 sẽ được mô phỏng Nói cách khác, một cách tử của tần số cơ bản f trong mặt 0phẳng của vật thể sẽ có kết quả trong một cách tử của tần số cơ bản 2f trong mặt phẳng hình ảnh Như một i

thao tác của quang phổ được gọi là sự lọc quang học và mặt phẳng tiêu cự phía sau của thấu kính (4) được gọi làmặt phẳng lọc Những gì chúng tôi có ở đây được mô tả chỉ là một trong nhiều ví dụ về lọc quang học Các loại bộlọc có thể có nhiều biến thể và có thể khá phức tạp hơn một màn chắn có lỗ Chúng tôi tại mục 4.7 sẽ xem xét một loại lọc đặc biệt mà chúng ta sau này sẽ áp dụng trong những vấn đề thực tiễn

4.5.1 Những thiết lập bộ lọc thực tiễn

cách tử sóng vuông có tần số cơ sở là f0, sau khi phóng đại lên màn thì nó

có tần số cơ sở fi với đôô phóng đại là m=b/a

sin n

d θ =nλ (4.20)cái áp dụng tới vuông góc trên cách tử Phương trình này hàm ý rằng giai đoạn khác nhau giữa ánh sáng từ các

lỗ khác nhau trong cách tử phải là một số nguyên của các bước sóng Khi ánh sáng bị sự cố lệch trên cách tử ở

một góc θ i, tình trạng này định đầy đủ bởi phương trình cách tử chung:

( sin i sin n)

d θ + θ = n λ (4 21)Điều này được minh họa trong hình 4.13

Hình 4.14 cho thấy cùng một thiết lập như trong Hình 4.8 ngoài các cách tử được di chuyển tới phía bên

kia của thấu kính một khoảng cách s từ mặt phẳng tiêu cự phía sau Giả sử bậc nhánh đầu tiên từ một điểm bất

kỳ x trên cách tử bị nhiễu xạ tới các điểm x f Các phương trình cách tử (4.21) áp dụng cho phần ánh sáng này đưa ra:

( sin sin 1) ( tan tan 1) f

x x x

λ

= (4.23)trong mặt phẳng tiêu cự độc lập của x, i.e từ tất cả các điểm trên cách tử Sự phân phối cường độ trong mặt phẳng tiêu cự do đó sẽ trở thành như trong Hình 4.9 ngoại trừ các bậc nhiễu xạ ngay bây giờ được ngăn cách bởimột khoảng cách λs/ d

Những lập luận trên không giả định một sự cố sóng phẳng trên thấu kính Kết quả vẫn giữ nguyên khi một nguồn điểm được chụp bằng thấu kính trên với trục quang học như trong Hình 4.15

Câu hỏi tiếp theo của chúng tôi là: làm thế nào ánh sáng sẽ được phân phối trong mặt phẳng-x 0 với một

nguồn điểm tại xf = 0 trong các thiết lập của hình 4.15? Nó sẽ dễ dàng được chấp nhận rằng câu trả lời được đưa

ra bằng cách loại bỏ cách tử và đặt hai nguồn điểm tại các vị trí ±x f = ±λs d/

Hai bậc nhiễu xạ đầu tiên do đó được tìm thấy tại các điểm ± = ± x0 ( ) a b s d λ

Các kết luận của những xem xét trên đây được thu thập trong hình 4,16 Ở đây, Pi là điểm hình ảnh của nguồn điểm P0 trên trục quang học Chúng được phân cách bởi những khoảng cách cho bởi công thức thấu kính

a b + = f (4.24)

trong đó f = độ dài tiêu cự ống kính

Điểm quan trọng cần lưu ý là rằng sự độc lập của vị trí của cách tử (hoặc một đối tượng khác trong suốt) trong đường dẫn ánh sáng giữa P0 và Pi, phổ sẽ được tìm thấy trong mặt phẳng -xf Khoảng cách giữa các bậc nhiễu xạtrở thành: nếu chúng ta đặt cách tử

(1) bên phải của thấu kính ở một khoảng cách sb từ Pi

Trong đó ta là khoảng cách từ cách tử tới thấu kính

Những kết quả này có thể làm cho rất nhiều thiết lập bộ lọc khác nhau Hình 4.17 hiển thị đơn giản nhất của tất cả chúng Ở đây thấu kính hoạt động như cả việc chuyển đổi và thấu kính chụp ảnh Đối tượng trong mặt

phẳng-x được chụp ảnh tới mặt phẳng-xi trong khi mặt phẳng lọc đặt trong mặt phẳng-xf, mặt phẳng ảnh của nguồn điểmP0

Hình 4.18 cho thấy một thiết lập lọc thực tiễn thường được sử dụng cho lọc quang học của những ảnh

Moire và đốm Bộ phim được đặt ngay bên phải của thấu kính một khoảng cách sb từ mặt phẳng lọc Bằng chụp

hình ảnh thông qua một lỗ trong mặt phẳng lọc một khoảng cách xf từ trục quang học, một là lọc ra bậc nhánh đầu

f x b

x f s

11 Nhiễu xạ qua lỗ tròn [1, pp.81-83]

4.6 PHYSICAL OPTICS DESCRIPTION OF IMAGE FORMATION

Bây giờ ta nhìn hệ thấu kính gần hơn từ quan điểm của quang học vật lí Trong mục 4.5 ta đã chứng minh rằngbằng cách đặt 1 vật thể nhiễu xạ truyền qua ở bất kì đâu trên đường truyền ánh sáng giữa P0 và P1 trong hình4.16, ta thu được phổ (tức là biến đối Fourier) của vật thể trong mặt phẳng xf nhưng quan điểm này cũng áp dụngcho chính lỗ thấu kính tròn Sự biến đổi Fourier của lỗ mở tròn cho bởi công thức B.17 trong phụ lục B2

Trong đó D là đường kính của thấu kính, J1 là hàm Bessel bậc 1 và ta cũng làm đơn giản tương tự lí thuyết, côngthức B.2b, phụ lục B.1 Tần số trong trường hợp này bằng:

Trong đó b là khoảng cách tới ảnh và

Sự phân bố cường độ trong mặt phẳng xf, yf trong hình 4.16 với nguồn điểm ở P0 trở thành tỉ lệ với:

Sự phân bố cường độ này được đặt tên là hệ vân Airy Hình 4.19a cho thấy 1 cross-section và hình 4.19b cho

thấy 1 photograph của hệ vân Airy Cực tiểu đầu tiên của xuất hiện khi x=1.22 là bán kính của đĩaAiry

Điều này chứng tỏ rằng thậm chí đối với 1 hệ aberration-free(quang sai tự do), 1 điểm vật ko thu được ảnh là 1điểm ảnh như được dự đoán bởi quang hình học, nhưng có sự phân bố cường độ như công thức 4.32

1 hệ ảnh thường gồm nhiều thành phần, ko chỉ có 1 thấu kính, mà có nhiều, có lẽ 1 vài cái dương, 1 vài cái âm

Để đặc trưng cho các tính chất của hệ thấu kính ta xem nó như 1 hộp đen với các lỗ vào và ra như là các cực Các lỗ đầu vào đại diện cho một khẩu độ hữu hạn (có tác động hoặc thực) cái mà ánh sáng vượt qua để đạtđược các yếu tố hình ảnh và các lỗ ra đại diện cho một khẩu độ hữu hạn mà qua đó ánh sáng phải vượt qua khi

nó rời khỏi các yếu tố hình ảnh trên đường tới mặt phẳng ảnh Nó thường được giả định rằng đoạn của ánh sáng

từ những mặt phẳng vào và ra được mô tả đầy đủ bởi quang hình học Để tìm hai lỗ, đầu tiên người ta phải xác