Trong quá trình dạy học toán nóichung, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khiđã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục s
Trang 1Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức toán học nói riêng là vô tận Đểchiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực và tự nhiên thìchúng ta cần phải có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp Mộttrong những phương pháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ những kết quả quenthuộc hoặc đơn giản của các bài toán đã có Trong quá trình dạy học toán nóichung, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi
đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lậtlại vấn đề để tìm kết quả mới hơn Tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cáimới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, cứ như thế chúng ta sẽtìm ra được những kết quả thú vị
Việc khai thác, phát triển một bài toán là không xa lạ với người dạy và họctoán Tuy nhiên, khai thác một bài toán quỹ tích hình học thì chúng ta còn ít được
tham khảo Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác kết quả một bài toán hình học” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
Trang 2II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1 Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8 THCS
2 Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8 THCS
III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Tham khảo tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí liên quan, khai thácthông tin trên mạng
- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ dạy
Trang 3PHẦN THỨ HAI.
NỘI DUNG
I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tựmình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnhhoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cầnphải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, côgiáo Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quátrình lâu dài
*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rậpkhuôn, máy móc
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ởnhiều khía cạnh
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khácnữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết
*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó
- Tìm thêm các cách giải khác
- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới
- Rút ra các kinh nghiệm giải toán
- Tìm mối liên quan giữa bài toán đã có với bài toán khác
Trang 4II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng vàdừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sángtạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tíchcực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- HS yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán quỹ tíchhình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ,lười tư duy trong quá trình học tập
- Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao
- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiếnthức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó nănglực cá nhân không được phát huy hết
- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toántrong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triểnmột bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức Quan trọng hơn là nâng caođược tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp
III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy,tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng các hình thức
Trang 5- Kiểm tra kết quả Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để
đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào kháckhông?
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quảmột bài toán quen thuộc - bài toán quỹ tích hình học lớp 8 Quỹ tích (tập hợp) hìnhhọc là một trong những dạng toán khó đối với HS, việc đi nghiên cứu, tìm phươngpháp giải chung đã có nhiều sách tham thảo đề cập đến Đề tài này chỉ tập trungvào khai thác, phát triển kết quả của bài toán đã có Qua đó giúp HS thấy được cáihay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng Từ
đó, giúp HS tự tin, thêm yêu thích, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán, bổ sungmột kinh nghiệm nhỏ trong dạy và học toán
IV NỘI DUNG CỤ THỂ
Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xéttiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bàitoán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác Sau đây là ví dụ minh hoạ:
1 Bài toán gốc:
♦Bài toán 1 (Bài toán quỹ tích lớp 8).
Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi I là trung điểm của AM,
điểm I di chuyển trên đường nào? (Bài 126 - SBT Toán 8 - Trang 73)
AI = = P I Q d
KL I di chuyển trên đường nào? B M C
Hình 1
Trang 6Trước hết, chú ý rằng: bài toán chỉ hỏi “điểm I di chuyển trên đường nào?”,chứ chưa yêu cầu tìm quỹ tích điểm I (tức là chỉ yêu cầu làm phần thuận của bàitoán quỹ tích) Tiếp theo, ta dễ nhận thấy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC cốđịnh thì điểm I di chuyển theo và luôn là trung điểm của AM Để xác định đượcquỹ tích điểm I, ta xét 2 vị trí đặc biệt của M:
+Khi M ≡ B thì I ≡ P (P là trung điểm của AB, P cố định),
+Khi M ≡ C thì I ≡ Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định)
Từ đó suy ra được I ∈ PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC)
1.2 Lời giải: (tóm tắt theo SBT)
Qua I kẻ đường thẳng d // BC, d cắt AB, AC lần lượt tại P và Q (Hình 1).
∆AMB có AI = IM, IP // BM => P là trung điểm của AB
Tương tự , ta có: Q là trung điểm của AC Các điểm P, Q cố định
Vậy I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC)
2 Khai thác bài toán:
2.1 Khai thác theo hướng tìm cách giải khác:
*Từ phân tích ở trên, thông qua dự đoán quỹ tích, ta dễ dàng tìm ra hướng chứng
minh điểm I cách BC một khoảng không đổi Từ đó có cách giải thứ 2:
Cách giải 2 : Kẻ AH, IK vuông góc với BC (Hình 2) A
IK= không đổi (vì AH không đổi). B H K M C
Mà K ∈ BC cố định nên I nằm trên đường thẳng // BC, Hình 2
cách BC một khoảng bằng
2
AH
-Khi M ≡ B thì I ≡ trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M ≡ C thì I ≡ trung điểm Q của AC (Q cố định)
Trang 7Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Từ việc xét 2 vị trí đặc biệt của M, cùng với nhận xét rằng đường trung
bình PQ cố định và I lại là trung điểm của AM giúp ta nghĩ đến đi chứng minh
I, P, Q thẳng hàng và ta có cách giải khác:
Cách giải 3:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC Ta có P, Q cố định
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta suy ra: PQ//BC và PI//BC => I, P, Q thẳng hàng
-Khi M ≡ B thì I ≡ trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M ≡ C thì I ≡ trung điểm Q của AC (Q cố định)
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)
*Tiểu kết:
Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớntrong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và ócsáng tạo cho HS Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khácnhau của bài toán HS sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bàitoán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm Đồng thời,việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp HS có dịp so sánh các cách giải đó,chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán Ngoài
ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu HS được biết rằng dù khó như vậynhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giảihơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong HS
Chẳng hạn, ở bài toán gốc, nếu mỗi chúng ta hiểu, nắm được 3 cách giải bàitoán này thì ít nhất từ HS (vốn sợ bài toán quỹ tích hình học) cũng sẽ thấy sự thú vịcủa một bài toán Từ đó, bản thân sẽ bớt “sợ quỹ tích” hơn, khơi dậy tính tò mòmuốn được tự khám phá, ham tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức hơn
Trang 82.2 Khai thác theo hướng tìm bài toán mới:
Có thể nói, Bài toán 1 là một bài tập hết sức cơ bản về quỹ tích Khai thác
bài toán gốc này không phải theo hướng tìm lời giải khác, mà theo hướng thử sángtạo: thay đổi dữ kiện - tìm bài toán mới, chúng ta có thêm một chuỗi các bài toánmới với lời giải dễ dàng tìm được
*Khai thác 2.2.1:
• Trước hết, nếu ta lấy điểm I bất kì trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)
và gọi M là giao điểm của AI với BC thì ta cũng dễ dàng chứng minh được: I làtrung điểm của AM Tức là ta đã giải quyết được phần đảo của bài toán quỹ tích và
ta có thể giải trọn vẹn BÀI TOÁN QUỸ TÍCH:
♦Bài toán 2 Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Tìm quỹ tích trung
điểm I của đoạn AM
(+Kết luận: Quỹ tích điểm I là đường trung bình PQ (PQ//BC) của ∆ABC)
• Nếu cho M di chuyển trên cả đường thẳng BC, ta có BÀI TOÁN MỚI:
♦Bài toán 3 Cho ∆ABC, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng BC Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn AM
(+Kết luận: Quỹ tích điểm I là đường thẳng PQ (P,Q lần lượt là trung điểmcủa AB và AC))
• Dựa vào tính chất hai đường chéo của hình bình hành (hoặc hình chữ nhật) cắtnhau tại trung điểm của mỗi đường, ta có thể “ẩn” giả thiết “I là trung điểm củaAM” dưới dạng khác và ta sẽ có tiếp HAI BÀI TOÁN MỚI:
♦Bài toán 4 Cho ∆ABC, từ điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ MD//AB, ME//AC
(D∈AC, E ∈ AB) Tìm quỹ tích trung điểm I của DE
Trang 9♦Bài toán 5 Cho ∆ABC vuông tại A, lấy điểm M nằm giữa B và C Gọi E và D
lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC Gọi I là trung điểm của DE Tìm quỹtích điểm I khi M di chuyển trên cạnh BC
Gợi ý giải: Hình 3, Hình 4:
Dễ dàng chứng minh được AEMD là hình bình hành (hoặc là hình chữ nhật - với
bài toán 5) Từ đó suy ra được I cũng là trung điểm của AM Đến đây làm tiếp dựavào bài toán gốc
♦Bài toán 6 Cho đoạn thẳng BC cố định, lấy điểm M tuỳ ý nằm giữa B và C Vẽ
về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD Tìm quỹ tích trung điểm I của
DE khi M di chuyển trên đoạn BC
Gợi ý giải: Hình 5 A
+Gọi A là giao điểm của BE và CD => ∆ABC đều và cố định E
+Chứng minh được AEMD là hình bình hành I D
Kết quả: Quỹ tích các điểm I chính là B M C
♦Bài toán 7
Trang 10Cho đoạn thẳng BC = a, lấy điểm M bất kì nằm giữa B và C Vẽ về một phíacủa BC các tam giác BME và CMD vuông cân lần lượt tại E và D Khi M dichuyển trên đoạn BC thì I di chuyển trên đường nào?
Gợi ý giải:
+ Gọi A là giao điểm của BE và CD => ∆ABC vuông cân tại A và cố định
+ Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật
-> làm tiếp dễ dàng
Kết quả: I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)
*Khai thác 2.2.3:
• Ở các bài toán trên, tiếp tục suy nghĩ, ta thấy từ điều kiện ME//CD và MD//BE
=> B = CMD và BME = C, mà BE cắt CD tại A nên muốn A cố định ta chỉ cầnthêm giả thiết B = CMD = α và BME = C = β và ta có bài toán tổng quát HAY VÀKHÓ:
♦Bài toán 8 Cho đoạn thẳng BC = a và điểm M bất kì nằm giữa B và C Vẽ về
một phía của BC các tam giác BME và MCD sao cho B = CMD = α và BME = C
= β (α, β cho trước) Gọi I là trung điểm của DE Khi M di chuyển trên đườngthẳng BC thì I di chuyển trên đường nào? A
Trang 11• Đến đây, chúng ta thấy rằng đã có nhiều thú vị từ bài toán gốc và không ít chúng
ta đến đây có lẽ đã chấp nhận dừng lại và thoả mãn với sự khai thác! Nhưngchưa hết thú vị đâu, nếu tiếp tục suy xét, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, chúng ta vẫn cóthể khai thác tiếp và còn được những bài toán mới thú vị và hay hơn
♦Bài toán 9 Cho ∆ABC cân tại A Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các
cạnh AB, AC sao cho AE = CD Tìm tập hợp trung điểm I của DE
ta có kết quả : điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)
♦Bài toán 10 (bài toán 9 là trường hợp riêng của bài toán này):
Cho ∆ABC Hai điểm E và D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC
sao cho
BE
AE AD
CD = Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED.
CD = (GT) A
Trang 12=> trung điểm I của DE cũng là trung điểm của AM B M C
*Khai thác 2.2.5:
• Đến đây, ta thấy giả thiết “Cho ∆ABC” của bài toán gốc có thể thay bởi “Cho gócxAy” và B, C cố định có thể được cho bởi cách khác Chẳng hạn, từ các bài toán 9
và 10, khéo léo thay đổi giả thiết, ta có được hai bài toán RẤT HAY và chắc chắn
sẽ RẤT KHÓ nếu ta chưa biết đến các bài toán ở trên:
♦Bài toán 11 Cho góc xAy cố định (khác góc bẹt) Hai điểm E, D lần lượt di
chuyển trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AE + AD = a không đổi Tìm quỹ tích trung điểm I của ED
Gợi ý giải: Hình 9 x+Lấy B, C lần lượt trên tia Ex, Dy E B
sao cho BE = AD, CD = AE P
=> AB = AE + EB = AE + AD = a I
tương tự AC = a A D
Vậy ∆ABC cân tại A và cố định Q C y
-> Đến đây, ta thấy chính là bài toán 9 ->biết cách làm Hình 9
♦Bài toán 12 Cho ∆ABC cố định Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên các cạnh
AB, AC sao cho BE + CD = a không đổi Tìm quỹ tích trung điểm I của DE
Trang 13+Gọi M, K, O, N lần lượt là trung điểm của
CG, BH, BC và CE => M, K, O cố định E
và O,N,M thẳng hàng (vì ON//BE,OM//BG) N
+Áp dụng tính chất đường trung bình B O Hình 10 Ccủa tam giác, ta có: 2OK = CH = a, 2OM = BG = a => OK = OM
2NI = CD = EG = 2NM => NM = NI +Các tam giác cân KOM và INM có góc ở đỉnh bằng nhau (do OK // NI // AC) nên các góc ở đáy tương ứng bằng nhau => OMK = NMI mà O, N, M thẳng hàng
=> M, I, K thẳng hàng => I di chuyển trên đường thẳng MK
+Khi D ≡ C thì E ≡ G, khi đó I ≡ M; khi E ≡ B thì D ≡ H, khi đó I ≡ K
> Kết quả: Quỹ tích điểm I là đoạn thẳng MK
Lưu ý: Cơ sở để đề xuất bài toán 12 này là xuất phát từ bài toán 9: Từ AE + AD
không đổi => BE + CD = (AB + AC) – (AE + AD) cũng không đổi nếu B, C cố định Nhưng nếu áp dụng cách giải của bài toán 11 để giải bài toán này thì rất phức tạp Các bạn cứ thử xem, biết đâu lại có thú vị khác!.
*Khai thác 2.2.6:
• Tiếp tục thay đổi dữ kiện góc xAy của bài toán 11 bằng cách tách rời hai tia Ax,
Ay thành hai tia cố định, ta sẽ có bài toán mở rộng RẤT HAY và RẤT KHÓ:
♦Bài toán 13 Cho hai tia không cắt nhau Hm và Kn cùng nằm trên một nửa mặt
phẳng có bờ là đường thẳng HK Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên Hm, Knsao cho HM + KN = a không đổi Tìm quỹ tích trung điểm I của MN
Gợi ý giải: Hình 11 m
song song và cùng phía với Hm, Kn H P E
AHME, AKND, DNEM là các hình bình hành A D Q
