ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN

Tớnh độ dài AB... - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó.. XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU NGƯỜI RA ĐỀ Vũ Ngọc Quyền.

PHềNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG

TRƯỜNG THCS HÀ THÁI

đề xuất ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2009-2010

Mụn thi : TOÁN

Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề

(Đề này gồm 06 cõu trờn 01 trang)

-Cõu 1 : 3,5điểm

1/ Tớnh : A = 4+ 10+2 5 + 4− 10+2 5

2/ Cho a, b, c thoả món: a b c b c a c a b

+ − = + − = + −

Tớnh giỏ trị biểu thức: P = 1 b 1 c 1 a

 +  +  + 

Cõu 2: 3,5điểm

1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng

2

≥  ữ

2/ Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2

a b c+ + = và a + b + c = abc thỡ ta cú 12 12 12 2

Cõu 3: 4điểm

1/ / Giải phương trỡnh : 362 4 1=28−4 −2− −1

−

+

x

2/ Tỡm giỏ trị cuả m để hệ phương trỡnh 2

mx y

x my

− =



 + =

 cú nghiệm thoả món hệ thức :

2 2

1

3

m

x y

m

+ = −

+

Cõu 4: 5điểm

1/ Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, phõn giỏc AD

a) Chứng minh hệ thức: 2 1 1

b) Hệ thức trờn thay đổi như thế nào nếu đường phõn giỏc trong AD bằng đường phõn giỏc ngoài AE

2/ Cho tam giỏc ABC cõn tại A, gọi I là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc.Biết IA =2 5cm,

và IB = 3cm Tớnh độ dài AB

Cõu 5: 2điểm

Cho a, b, c lần lượt là độ dài cỏc cạnh BC, CA, AB của tam giỏc ABC

Chứng minh rằng: sin 2

2

bc

≤

Cõu 6: 2điểm

Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn x, y thỏa món đẳng thức: ( y + 2 ) x2 + 1 = y2

-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC

HÀ TRUNG

TRƯỜNG THCS HÀ THÁI

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2009-2010

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề

(Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang)

Câu 1

3,5điểm

1 (2điểm)

Vì 4+ 10+2 5 > 0; 4− 10+2 5 > 0 ⇒ A > 0 (1) 0,25đ

A2 = 4+ 10+2 5 +2 (4+ 10+2 5)(4− 10+2 5) +4− 10+2 5 0,25đ

= 8+2 16−10−2 5

= 8+2 5−2 5+1 = 8+2 ( 5−1)2

= 8+2 5−1

= 8 + 2 5−2

= ( 5+1)2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A = 5+1

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

2 (1,5điểm)

Từ gt ta có a b c 2 b c a 2 c a b 2

+ − + = + − + = + − +

0,25đ suy ra a b c b c a c a b

Xét hai trường hợp

* Nếu a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c b + c = - a c + a = -b

P = 1 b 1 c 1 a

 +  +  + 

    =

    =

( )c a

−

.( a)

b

−

.( )b

c

−

= abc

abc

−

= -1

0,25đ 0,25đ

* Nếu a + b + c ≠0 ⇒ a = b = c

⇒ P = 2.2.2 = 8

0,25đ 0,25đ

Câu 2

3,5điểm

1 (1,5điểm)

Áp dụng BĐT Côsi ta có: x2 + y2 ≥ 2xy (1)

y2 + z2 ≥ 2yz (2)

z2 + x2 ≥ 2zx (3)

0,25đ

Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2( xy + yz + zx ) 0,25đ

⇒ 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )

⇒ 3( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x + y + z )2

0,25đ 0,25đ chia hai vế cho 9 ta được

hay

2

=  ÷

0,25đ 0,25đ

2 (2điểm)

Từ 1 1 1 2

a b c

 + +  =

⇒ 12 12 12 2 1 1 1 4

+ + +  + + ÷=

0,25đ 0,50đ

+ +

mà a + b + c = abc

abc

⇒ 12 12 12 2 4

⇒ 12 12 12 2

0,25đ 0,25đ

Câu 3

4,0điểm

1 (2,5điểm)

1

4 2

36

−

−

−

−

=

−

+

> 1

* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có :

1

) 1 ( 4 2

) 2 ( 4

=

−

−

− + +

−

− +

y

y x

x

1

) 1 2

( 2

) 2 2 6

=

−

−

− +

−

−

−

y

y x

x

(2)

+ Với x > 2, y > 1 ⇒















>

−

>

−

≥

−

−

≥

−

−

0 1

0 2

0 ) 1 2

(

0 ) 2 2 6 (

2 2

y x y

x

(3)

Từ (2) và (3) ⇒









=

−

−

=

−

−

0 ) 1 2

(

0 ) 2 2 6 (

2

2

y x

⇔









=

−

−

=

−

−

0 1 2

0 2 2 6

y x

⇔









−

=

−

=

1 2

2 2 6

y x

⇔







=

=

5

11

y x

Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)

0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ

2 (1,5điểm)

Hệ phương trình 3mx y x my− =25

 + =

Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có:

(m2 + 3)x = 2m + 5 Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có

2 2 5

3

m x m

+

= + ,

5 2 6

3

m y m

−

= +

Theo đề bài ta lại có :

2

1

+ + − = − + + + (*)

Giải phương trình này ta được m = 4

7

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ

Câu 4

5,0điểm

1 (3,0điểm)

a (2,0điểm)

a Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = 1

2bc

⇒ bc = 2 SABC= 2 SABD + 2SADC

= AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450

= ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450

Suy ra bc = ( b + c )AD 2

2 = ( b + c ) 2

AD

⇒

2

AD

= bc

b c+

⇒ 2

AD =

1 1

b c

bc+ = +c b

Vậy 2 1 1

AD = AB+ AC (đpcm)

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b (1,0điểm)

Ta có bc = 2 SABC= 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 = ( b – c )AE 2

2 ⇒ bc = ( b – c )AE 2

2 = ( b – c ) AE

2 2 ⇒ 2

AE =

1 1

b c

bc− = −c b Vậy 2 1 1

AE = AC −AB hay

AB AC AD

1 1

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

A

2 (2,0điểm)

Kẻ AM ⊥ AC, M thuộc tia CI

Chứng minh được ∆ AMI cân tại M ⇒ MI = AI = 2 5

Kẻ AH ⊥ MI ⇒ HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )

Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC

⇒ (2 5 )2 = x.(2x + 3)

⇒ 2x2 + 3x – 30 = 0

⇔ ( 2x – 5)(x + 4) = 0

⇒ x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)

Vậy MC = 8cm

Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5 )2 = 64 – 20 = 44

⇒ AC = 44 = 2 11 cm ⇒ AB = 2 11 cm

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 5

2,0điểm

Hình vẽ

Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM ⊥ Ax và CN ⊥ Ax

Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có

sinMAB = sin

2

A

= BM

AB ⇒ BM = c.sin

2

A

sinNAC = sin

2

A

= CN

AC ⇒ CN = b sin

2

A

Do đó BM + CN = sin

2

A

( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN ≤ BD + CD = BC = a

Vì thế sin

2

A

( b + c ) ≤ a ( vì sin

2

A

< 1)

Do b + c ≥ 2 bc nên 1 1

2

+

hay sin

2

A

≤

bc

a

2 (đpcm)

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

I

H M

C B

A

C

D N M

x

C B

A

B

Câu 6

2,0điểm

Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2 ⇔ x2 = 2 1 3

2

y − = − +y

vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3)

suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3

Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5

do x2 0≥ nên (y2 -1)(y+2) 0≥ , y ≠2

⇒ 2− ≤ ≤ −y 1 hoặc y 1≥

do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0

Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) ={( , );( , )0 1 0 1− }

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

CHÚ Ý :

- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó

- Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó

XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU NGƯỜI RA ĐỀ

Vũ Ngọc Quyền