Lý do chọn đề tài Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướngdẫn của gi
Trang 1I ĐẶT VẤN ĐỀ:
1 Lý do chọn đề tài
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướngdẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm
vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bàitập và thực tiễn Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, trong trường phổ thông,dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán làhình thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giảI toán đặc biệt là giải toánhình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vậndụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng
cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán
Hiện nay còn một bộ phận giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việcdạy học giải toán nên chưa cho học sinh làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh,chú ý đến số lượng hơn là chất lượng Trong quá trình dạy học giải toán, giáo viên ítquan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận, thôngthường giáo viên thường giải đến đâu, vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó,không những vậy mà giáo viên coi việc giải xong một bài toán là kết thúc hoạt độngdạy học, giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán giúp cho học sinh có đượcphương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ sungnguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được
Với các nội dung nêu trên, trong quá trình công tác, bản thân tôi không ngừnghọc tập, nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi mới phương pháp vào thực tế giảng dạycủa mình Qua quá trình công tác, được sự giúp đở của đồng nghiệp, của tổ chuyênmôn và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường, tôi đã tiến hành nghiên cứu và vậndụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất hiệu quả
Xuất phát từ những lý do trên, nên tôi chọn đề tài: “ Những phương pháp giúp
giáo viên hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đạt hiệu quả” Với mong
Trang 2muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới phươngpháp dạy học.
2 Mục đích nghiên cứu
Đề tài này giáo viên giúp học sinh rèn luyện phương pháp suy luận có căn cứ,các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tựhoá, đảo ngược vấn đề, quy lạ về quen,….có thói quen dự đoán, tìm tòi, nhìn nhậnmột vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vần đề, giải quyếtvấn đề, đặt vấn đề, diễn đạt một vấn đề có sức thuyết phục, sử dụng kí hiệu và thuậtngữ toán học chính xác… Giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản,
có kỹ năng vận dụng các kiến thức vào giải bài tập Cung cấp cho các em phươngpháp tự học, từ đó các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán
Đề tài có thể là một tài kiệu tham khảo bổ ích cho các giáo viên trong quá trìnhdạy học bộ môn toán Đặc biệt đây là kinh nghiệm giúp cho giáo viên tham khảo khithiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong quá trình dạy học của mình.Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện việc đổimới phương pháp học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh
3 Đối tượng nghiên cứu
-Tìm hiểu phương pháp giảng dạy của giáo viên dạy toán
-Kỹ năng giải toán của học sinh lớp 9A(1,2,3) Trường THCS Bàu Năng
4 Phương pháp nghiên cứu
- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ
- Đọc sách, tham khảo tài liệu
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi thực hiện các vấn đềsau :
Trang 3+ Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề màhọc sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
+ Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 3 lớp 9 của khối 9 với tổng
số 109 học sinh để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi họcmôn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán (bằng hệthống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm )
+ Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của giáo viên và HS để phát hiện trình độnhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chấtlượng giáo dục
+ Thực nghiệm giáo dục trong khi giảng bài mới, trong các tiết luyện tập, tiếttrả bài kiểm tra tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảoluận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở
để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập Yêucầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào
đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luậncủa học sinh
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiêncứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinhthường mắc phải khi giải toán Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếptheo
5 Giả thuyết khoa học
Với nội dung của đề tài này, đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ Nếu đề tài đượcnghiên cứu thành công và được vận dụng một cách hợp lí trong giảng dạy, tôi nghĩcác bạn đồng nghiệp sẽ giúp học sinh của mình giải toán tốt hơn, và nếu như đề tài
Trang 4không thành công thì nó cũng là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và họcsinh trong thời gian tới
II NỘI DUNG
1 Cơ sở lý luận
1.1 Các văn bản chỉ đạo:
Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy, sáng tạo của người học,…” Với mục tiêu
giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể
chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” Quyết định số 16/2006/
QĐ-BGD Đt ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu:
“Phải phát huy tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm, đối tượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tâp cho học sinh”.
1.2 Các quan niệm khác nhau về giáo dục
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy quyết định cách học,tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy
Do vậy, giáo viên cần phải biết tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phứctạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh Trong đổi mới phương phápphải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thìmới có kết quả
Để thể hiện tốt và có hiệu quả việc giảng dạy bài toán chứng minh, chúng tacần trang bị cho học sinh những vấn đề cần thiết sau:
Trang 5Một phép chứng minh thường là một dãy hữu hạn các mệnh đề A , A , , An1 2 .Trong đó mỗi một A (k n)k hoặc là một tiên đề, hoặc là một giả thiết, hoặc là mộtđịnh lí đã biết, hoặc là một mệnh đề được suy ra từ một hoặc một số các mệnh đềkhác bằng suy luận hợp lôgic Mệnh đề An được gọi là mệnh đề cần chứng minh.
Có rất nhiều soạn giả đã khái niệm chứng minh như sau: “Chứng minh là quá
trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đoán nào đó là đúng, bằng cách dựa vào những phán đoán khác đã được thừa nhận là đúng” – Hoàng Chúng (Mấy vấn đề
logic trong giảng dạy Toán học NXB Giáo dục, 1962); hoặc “Chứng minh là thao
tác logic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy” – Vương Tất Đạt (Logic
học Sách bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997 – 2000)
Ta cần lưu ý rằng: Trong toán học, vấn đề kiểm tra, thực nghiệm và vấn đềchứng minh tuy rằng có một sự liên hệ nào đó nhưng lại là hai vấn đề khác nhau hoàntoàn Bởi vậy, khi chứng minh định lí hay chứng minh một bài toán thì phải dùng suyluận, không dùng thực nghiệm vì thực nghiệm chỉ giúp phát hiện cách chứng minh
2 Cơ sở thực tiễn
2.1 Thực tiễn vấn đề nghiên cứu
Hiện nay năng lực học toán của học sinh còn yếu, khi giải toán học sinh cònbộc lộ rất nhiều thiếu sót, đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào giảibài tập Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao, các em luôn có cảm giác học hình học khóhơn học đại số Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiêncứu kĩ nội dung bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán.Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện…
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các bạn đồngnghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán chứng minh thìhọc sinh thường rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lí, các tính chất, cáccông thức toán học vào giải các bài tập, bản thân đã đúc rút được nhiều kinh nghiệm
từ đồng nghiệp, từ thực tế trên lớp về việc dạy học các bài toán chứng minh, ghi chép
Trang 6lại những điều cần thiết để làm sao tiết dạy sau thực hiện tốt hơn, hiệu quả hơn tiếtdạy trước.
Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt trong những năm học qua, tôi đã tích cựctham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm,nghiên cứu các bài toán chứng minh có trong chương trình Toán THCS nói chung vàchương trình Toán 9 nói riêng; thu thập những nội dung, những kinh nghiệm quantrọng về việc giải toán chứng minh, lập kế hoạch trình bày Sáng kiến kinh nghiệmmột cách hợp lí và có trình tự
2.2 Sự cần thiết của đề tài
Hiện nay sự vận dụng lí thuyết vào giải các bài tập cụ thể của học sinh chưalinh hoạt, khi gặp bài toán đòi hỏi có sự tư duy thì học sinh không xác định đượcphương pháp giải dẫn đến lời giải sai hoặc không giải được Kỹ năng giải toán chứngminh của một số học sinh còn rất yếu
Thực tế việc giải toán của HS hiện nay cho thấy các em còn yếu, thườngkhông nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức cònchậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chínhxác, chứng minh một bài toán còn hạn chế về suy luận
Để giúp học sinh giải tốt các bài tập về toán chứng minh trong chương trìnhtoán 9 nên tôi đã quyết định tìm hiểu “ Những vấn đề cần thiết giúp học sinh lớp 9giải toán chứng minh đạt hiệu quả”, nhằm giúp cho học sinh nắm được các phươngpháp cơ bản khi giải toán
Trang 73 Nội dung vấn đề
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng phổ biến của học sinh khilàm toán hiện nay là không chịu nghiên cứu kĩ nội dung bài toán, không chịu khaithác và huy động kiến thức để làm toán, khi trình bày lời giải thì suy luận thiếu căn
cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện… chưa đảm bảo cấu trúc của một chứng minh 3.1.Cấu trúc của một chứng minh:
Bất kì một chứng minh nào cũng gồm có 3 phần:
Luận đề: Mệnh đề cần chứng minh.
Luận cứ: Các mệnh đề đúng đã biết như tiên đề, định nghĩa, định lí,….
Luận chứng: Các quy tắc kết luận logic.
Mỗi một chứng minh phải đạt 3 yêu cầu sau:
Yêu cầu 1: Luận cứ phải chân thực Những tiền đề dùng trong chứng
minh phải đúng đắn
Yêu cầu 2: Luận chứng phải chặt chẽ Các phép suy luận dùng trong
chứng minh phải là các phép suy luận hợp logic
Yêu cầu 3: Không được đánh tráo luận đề Không được thay thế mệnh
đề cần chứng minh bằng những mệnh đề không tương đương với nó
Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những yêu cầu cần thiếtkhi thực hiện một chứng minh
Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 1)
Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng convoi” sau đây:
Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam) Ta có:
m V V mCộng cả hai vế với 2mV, ta có:
Trang 8a
C H
B
A
m V2 V m2.
Do đó: m V V m
Từ đó ta có: 2m = 2V, suy ra m = V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)
Sai lầm trong chứng minh trên đây là do ngộ nhận, đưa vào ứng dụng mộtmệnh đề sai, đó là: 2
A A, dẫn đến sai lầm cho rằng:
m V2 V m2
Nên: m V V m (!)
Ví dụ 2 : (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 2)
Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vuông,nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảocủa bình phương hai cạnh góc vuông”
Một cách chứng minh sai:
Ta có:
Do (2) đúng nên (1) đúng Vậy định lí đã được chứng minh
Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận không hợp
logic, vi phạm quy tắc Modusponens: A B, A
Trang 9ở đây lại dùng quy tắc sai: AAB, B (A kéo theo B, B đúng thì A đúng), đó là mộtsai lầm rất phổ biến đối với học sinh chúng ta hiện nay; bởi vậy giáo viên phải thườngxuyên uốn nắn, sửa sai cho học sinh trong từng tiết dạy (để cách chứng minh trên trởthành đúng, ta có thể thay dấu " " bằng dấu " " hoặc chứng minh như SGK lớp
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là: x 1 1; x 2 3
Sai lầm trong bài làm này là người giải đã đưa vào các bước biến đổi khôngtương đương, do không đặt điều kiện của phương trình Tức là người giải đã tùy tiệnchứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đươngvới nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm Để khắc phục sai sót này, giáoviên tập cho học sinh có thói quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ
đó học sinh sẽ phát hiện ra mình đã quên đặt điều kiện của bài
3.2.Phân tích một chứng minh
Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh
đó
đóng một vai trò khá quan trọng Ta có thể hiểu rằng: phân tích một chứng
minh là chỉ ra được trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng
KL B
Trang 10chứng minh bằng hai phương pháp:
* Phương pháp1
Khai thác triệt để giả thiết bài toán, liệt kê cụ thể các vấn đề cần
thiết cho chứng minh
Có thể nắm bắt cách phân tích này bằng sơ đồ bên:
( có A ắt có A1, có A1 ắt có A2, … , có An-1 ắt có An, có An ắt có B tức là
có được điều cần phải chứng minh )
* Phương pháp 2
Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán (cách phân tích này rất hay
và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ lôgic giữa điều cầnphải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận, ócsáng tạo và chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh Tuy nhiên
không phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được)
Sơ đồ bên là sơ đồ của môt phân tích đi lên
( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B1,
muốn chứng minh được B1 thì cần phải chứng minh được B2, …
muốn chứng minh được Bn-1 thì cần phải chứng minh được Bn,
muốn chứng minh được Bn thì cần có GT A )
Dựa vào hai cách phân tích trên đây, giáo viên cho học sinh trình
bày lại hoàn chỉnh bài toán chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở,
luận cứ và các thuật ngữ thường dùng như: “Ta có”, “Ta lại có”, “Vì”,
“Bởi vì”, “Do đó”, “Nên”, “Cho nên”, “Mà”, “Mặt khác”, “Hay”,
“Suy ra”, “Tức là”, “Vậy”,…
Cùng một chứng minh, nhưng có thể có nhiều cách phân tích khác nhau Cho nên
cứ sau mỗi phân tích giáo viên nhắc học sinh phải tự đặt ra câu hỏi là: có còn cáchphân tích nào khác nữa không? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiều cách chứngminh khác nhau, trên cơ sở đó giáo viên chọn lựa ra cách chứng minh phù hợp nhấtvới thực lực của lớp để giải cho học sinh
Bn
GT A
Trang 11O B
M
C
A
Ví dụ 1 :
Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2:
“Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B) Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C Chứng minh rằng ta luôn có:
MA2 = MB.MC”
Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài toán)
Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA2 = MB.MC; rồi cóthể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phươngpháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp góc-góc), hoặc làdùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải Từ đó giáo viên cho họcsinh vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên
- Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh trên bằng phương pháp chứng minh
hai tam giác đồng dạng:
Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh đã cho bằng phương pháp dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Trang 1212 B
M
A C
O B
M
C
A
Qua một số phân tích trên, rõ ràng cách phân tích dựa vào hệ thức: “Trong một tam giác vuơng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền” là cách làm phù hợp nhất đối với bài tốn đã cho Phân tích theo phương pháp 2: (Phân tích đi lên) Cách 1:
Cách 3:
2 1 2 Cm : MA MB.MC
MA MB Cm: MC MA
Cm : MAB MCA Cm : C A (Do )
Cm: A B (Do )
Cm : AMB CMA (AMB do
CMA do )
2 2 2 2 2 2 2 2 Cm: MA MB.MC
Mà: MA AB MB (Theo )
Cm: AB MB MB.MC
Ta có: AB MB.BC (Theo )
Cm: MB.BC MB MB.MC
2 2 2
Cm: MB.BC MB.MC MB
Cm: MB.(BC MC) MB
Cm: MB.MB MB Điều này luôn đúng 2 2 2 Xét ABC
Ta có: ?
1 1 1 AM là đường cao
AM AB AC
1 Suy ra: ?
AM 2 2 1 1 BM.BC BN.BC
MA MB.MC(đpcm) .?
MA MB.MC(đpcm) 2
Trang 13
Cách 2:
Ví dụ2 : Phân tích đi lên đối với bài toán: “Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C Vẽ tam giác đều DAB và tam giác đều EBC sao cho D và E ở về cùng một phía đối với đường thẳng AC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DC và AE Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác đều” (Trích đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 toàn quốc, năm 1982) 2 0 0 0 0 Cm: MA MB.MC
Cm: AM BC (M BC); ABC vuông
Cm: AMB 90 ; BAC=90
(AMB=90 do ; BAC=90 do )