Giáo trình Mạch điện 2

GIAN Trong MACH DIEN I ching ta da xét các phương pháp phân tích mạch tuyến tính, tập trung, dừng T77 ở trạng thái xác lập điều hòa; ở đó cân phải dùng phương pháp biên độ phức ảnh phức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

(Tái bản lân thứ ba)

_ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA _

TP HỒ CHÍ MINH - 2009

MỤC LỤC

Chương 6

PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỄN THỜI GIAN ˆ 5

6.1 Phương pháp tích phân kinh điển 5

6.3 Phương pháp tích chập và tích phân Duhamel 63

6.4 Phương pháp biến trạng thái ˆ› 80

Chương 7 _ |

PHAN TICH MACH TRONG MIEN TAN SỐ 86

7.1 Phương pháp chuỗi Fourier : 86 7.2 Phương pháp biến đổi tích phân Fourier 105

7.3 Điều kiện thực hiện hệ thống 77D 118 Chương 8

- ĐƯỜNG DÂY DAI -121

8.1 Khái niệm về mạch thông số rải 121

8.2 Các thông số đơn vị của đường dây dài 124 8.3 Phương trình đường dây dài và nghiệm 125

8.4 Đường dây không tổn hao 153

8.5 Quá trình quá độ trên đường dây dài 172

MẠCH KHÔNG TUYẾN TÍNH 191

9.1 Các phân tử K77 và các đặc trưng - 191 9.2 Mạch điện trở không tuyến tinh 205

9.3 Mach KTT động” 235

PHAN TiCH MACH TRONG MIEN THO! GIAN

Trong MACH DIEN I ching ta da xét các phương pháp phân tích

mạch tuyến tính, tập trung, dừng (T77) ở trạng thái xác lập điều hòa; ở

đó cân phải dùng phương pháp biên độ phức (ảnh phức) để đại số hóa phương trình mạch điện Trạng thái xác lập điều hòa (xác lập sin) được chấp nhận là khoảng thời gian xét mạch ở cách xa thời điểm đóng nguồn tác động lên mạch Do đó, điện áp và dòng điện trên các phần tử mạch cũng là các quá trình sin cùng tần số với nguồn tác động

Như vậy sẽ nảy sinh các câu hỏi như quá trình dòng điện và điện áp

trorig mạch ngay sau các thời điểm đóng (ngắt) nguồn tác động (không nhất thiết là sin) sẽ như thế nào ? Phương pháp để xác định chúng? Thế

nào là trạng thái xác lập và quá độ của mạch điện? -

Để trả lời những câu hỏi trên, trong chương này ta sẽ đưa ra các

phương pháp cho phép phân tích mạch ở thời điểm bất kỳ với nguồn tác

động bất kỳ được gọi là phân tích mạch trong miền thời gian Phân tích mạch trong miền thời gian còn được gọi là phân tích mạch ở trạng thái

quá độ Bởi vì, trong đó người ta không chỉ quan tâm đến thành phần xác lập (cưỡng bức) mà cả thành phần tự đo (quá độ), vì cả hai đều là nghiệm của phương trình mạch

Sau đây sẽ lần lượt trình bày các phương pháp phân tích mạch trong

miễn thời gian (Phân tích mạch ở trạng thái quá độ)

6.1 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN

6.1.1 Phương trình mạch và nghiệm

1- Thành lập phương trình mô tả mạch

Phương trình mô tả mạch 77D với các phần tử RLCM, cùng các

nguồn tác động độc lập và phụ thuộc, là phương trình vi tích phân, được

thành lập dựa trên các định luật Kirchhoff I, II (KJ, Kĩ?) và định luật

Ohm Có nhiều phương pháp thành lập phương trình mạch như: phương pháp dòng nhánh, phương pháp dòng vòng, phương pháp thế nút đã

6 CHƯƠNG 6

được trình bày kỳ trong MẠCH ĐIỆN I Việc phân tích mạch trong miền thời gian, là đi tìm nghiệm của các phương trình mạch ở thời điểm bất kỳ với nguồn tác động bất kỳ, bằng cách giải trực tiếp phương trình vi phan

mô tả mạch, nên được gọi là phương pháp tích phân kinh điển (Phương pháp kinh điển) Phương trình mạch được thành lập bằng phương pháp dòng nhánh, trong trường hợp tổng quát, được đưa về một phương trình

vi phân cấp m 0m) có dang nhu sau

Nếu yŒ) được coi là đáp ứng trên các phần tử mạch (dòng điện hay điện áp) đối với xŒ) - là nguồn tác động lên mạch (nguồn áp hoặc nguồn dòng), thì việc giải phương trình (6.1) là đi tìm các dòng điện, điện áp khi đã biết các thông số mạch và các nguồn tác động Như vậy với mach

đã cho, tức các giá trị œ,, by và nguồn xứ) đã xác định, ta có thể viết phương trình (6.1) ở dạng ngắn gọn hơn

n n—1

a, oe +a, 2+ +o ta, ST + a,y() = f(t) (6.2) Việc giải phương trình (6.2), sinh viên đã được học kỹ trong chương trình toán học, do đó ở đây ta chỉ nhắc lại ngắn gọn và sẽ quan tâm nhiều hơn đến ý nghĩa vật lý của nghiệm Hãy xét ví dụ sau đây về cách thành lập phương trình mạch dạng (6.2)

Ví dụ 6.1 Hãy thành lập phương trình i(t) R, Rs

dé xác dinh dién 4p u,(t) cua mach trén Wv W tb)

Giải Áp dụng phương pháp dòng điện

nhánh để viết số phương trình theo định Hình 61

luật K L, TL

i(t) =i, (t) + i, (t) (1)

Thay giá trị các thông số ta có phương trình vi phân mô tả mạch

trên (H.6.1) như sau

d”u,(@) di?

du „(Ð

16 +72“ + 65u,(t) = 495

dt

9- Nghiệm của phương trình mạch

Nghiệm y(/) của phương trình (6.2) gồm hai thành phần

Thanh phần thứ nhất: là nghiệm của phương trình thuần nhất có vế phải bằng không (#) = 0), được gọi là thành phần tự do y„„@)

Thành phần thứ hai: là nghiệm riêng của phương trình (6.2), tương ứng với vế phải khác không (f/) z 0), được gọi là thành phần cưỡng bức

„(#) Do đó, nghiệm day đủ của (6.2) là

- Thành phân cưỡng bức chỉ phụ thuộc vào nguồn tác động, nó còn được gọi là thành phân xác lập khi nguồn tác động là một chiều hoặc điều hòa

8 CHƯƠNG 6

_ Như vậy, trong MẠCH ĐIỆN I ta chỉ phân tích mạch ở trạng thái

xác lập với nguồn một chiều và điều hòa, đó là trường hợp riêng, chưa

phải là bài toán phân tích mạch tổng quát Sau đây ta sẽ xét cách tìm

thành phần cưỡng bức với nguồn tác động bất kỳ và thành phần tự do của (6.2) Đây chính là bài toán phân tích mạch 77D tổng quát nhất

A- Thành phần cưỡng bức là nghiệm của phương trình có vế phải

khác không, nó tùy thuộc vào loại nguồn tác động /Ø¿) Ta gọi là thành phần cưỡng bức, vì nó là đáp ứng của mạch với nguồn tác động bên ngoài

Để tìm thành phần cưỡng bức, người ta thường dùng phương pháp hệ số bất định, khi đó cần phải đoán trước nghiệm của (6.2) tương ứng với hàm

f đã cho Cách tìm nghiệm như vậy trong lý thuyết mạch tương đối đơn giản, vì các nguồn tác động thực tế là những tín hiệu có biểu thức giải tích không phức tạp lắm Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ về cách tìm nghiệm riêng

Ví dụ 6.2 Cho mạch điện trên H.6.2, hãy xác định điện áp trên tụ ư„().,

với các nguồn tác động như sau: T(t) ic(

2- j(t) = cos (at) (A) -

8- jt) =e cost (A) Véi C = UF); R = 1/3 (Q)

Hinh 6.2

4, j(t) = e”U (A) Với C = 1Œ); R=1/2()

Giải Phương trình mạch được viết theo định luật K;

du,(t) u(t)

C—*— dt + R = J(t) jit (1) 1) Thanh phan cu@ng btic cla dién ap u,(t) tương ứng với các nguồn tác

động đã cho được xác định như sau:

a j(t)=1(A)

Nghiệm riêng được chọn u,,,(t)=B (2) Thay (2) vào (1) ta được B= RjŒ@)= R1 (V)

b j(t) = cos (ai) (A)

Nghiệm cưỡng bức được chọn là hàm điều hòa cùng tần số:

2É) = Á cos(@É) + Bsin(at) (3) thay (3) vào (1) ta được:

C(—~ Aasinat + Bacosat) += (Acosit + Bsinat) = cosut

= RC(-Awsinat + Bacosat) + (Acosat + Bsinat) = Reosat

(A + waR.C.B) cosat + (B — wRCA) sinat = Reosat

suyra A+o.R.C.B=R; B~ wRCA=0

1+(@RC) 1+(@RCY

hay là Ucn (t) =U, cas( ot — @)

với U,, =VA’+B?.; ox arcte| F |=aretg(aRC)

Kết quả nhận được trong hai trường hợp a, b cũng tương tự như khi

ta áp dụng phương pháp phân tích mạch xác lập trong MẠCH ĐIỆN I Thành phần cưỡng bức trong hai trường hợp này được gọi là thành phần xác lập Với trường hợp a, nguồn tác động là một chiều, ở xác lập tụ điện

hở mạch, điện áp trên nó bằng điện áp nhận được trên điện trở Up(t)=u,(t)=R- s(t) Ở trường hợp b, khi áp dụng phương pháp biên độ phức để phân tích mạch xác lập điều hòa, ta có

Biên độ phức nguồn dòng điện J=1Z0 (A)

Dẫn nạp của hai cực Y=G+jaC (0)

Biên độ phức điện áp trên tụ

quá trình thời gian của thành phần điện áp xác lập trên tụ

U,, (t) = Re[U„e#%-®] = U,, cos(w@t-@) (V)

ce j(t)=e'cost(V); C=1(F); R=1/3(Q)

@ = arctg (WRC)

Trong trường hợp này, nghiệm riêng được chọn có dạng

10 CHƯƠNG 6

thay (4) vào (1) và thực hiện đồng nhất hệ số hai vế phương trình ta được Ans; B=< Do đó sạạ(9=67 [ cosf+ n9]

d J00=e”(A) C=Iff) R=S(@)

Thành phần cưỡng bức được chọn là 1„„„(/) = Ae (5)

Thay (5) vào (1) ta được -2Ae*! + 2Ae* =e!

Ta sẽ không tìm được giá trị của A để thỏa mãn phương trình trên

thay (6) vào (1) (Ae”~2Ate”)+2Ate”=e”

với giá trị A = 1, phương trình trên đúng với mọi giá trị của í

B- Thành phần tự do là nghiệm của phương trình thuần nhất (6.4)

đ"y) đ"1y() dy(t)

có „ nghiệm p,, p; p„ phụ thuộc các giá trị œ, Phương trình thuần nhất cũng sẽ có n nghiệm y,;() tương ứng với n giá trị của p là

- Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng ?;, P;, Pn đều lấy giá trị thực và không trùng nhau (thực, đơn), ta sẽ chọn nghiệm

tự do là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm (6.7)

yiq(t) = K,-e? + Ky -eP + 4K, en (6.8)

- Néu trong cdc giá trị của p có một cặp nghiệm liên hợp phức p,=-at+ jp va po =-a-JjB Voi o, là các số thực bất kỳ và (n - 2) giá trị p khác là thực, đơn, thì nghiệm tự do sẽ có dạng

yiq(t) = Ke cos(Bt+ ®)+ Ky -e?* + 4+K,-e'" (6.9)

trong do K=2|K,|; K,=K3; ®=argK,

- Néu trong cdc nghiém p,, po, p, có nghiệm bội Ví dụ trường hợp nghiệm bội hai (nghiệm kép): p; = p;; và (n - 2) giá trị p; còn lại là thực, đơn, thì nghiệm tự do sẽ có dạng

ạ()=(K, + Ky-ĐeP! + K;‹e?? + 4K,-e?" (6.10) Trường hợp tổng quát: nghiệm p, bội: 2 <r <n, và (n - r) giá trị p còn lại là thực, đơn, thì nghiệm tự do sẽ có dạng sau

Yig(t) =(K,+Ko-t+ 4 K, teh +K,,, et + 4K, -e?"" (6.11)

Từ những phân tích trên đây có thể thấy rằng, để xác định thành

Van dé mau chốt của phân tích mạch trong miền thời gian là cần xác

định các thành phần tự do Do đó, cần phải tìm hiểu kỹ cách tìm phương trình đặc trưng (tìm các giá trị p) và tìm các điều kiện đầu (tìm các giá

tri K)

Vi du 6.3 đưới đây sẽ minh họa cách xác định thành phần tự do như

vừa trình bày ở trên

uy ()+up(Ð + u(t) = elf) AND,

Hinh 6.3

Phương trình đặc trưng p* + 2ap+wz, = 0

Nghiệm của phương trình dac trung p,.=—-a+t Ja? —«%,

tùy theo giá trị của œ và œ„„, tức của các théng sé mach R, L, C, ma sé xảy ra ba trường hợp sau

- Khi o? > o>,

Tuc la R > 2VL/C , sé cé hai nghiém thuc, don

py =-A+ œ ~ Den 5 Pp =—A~ yar — Of),

Thành phần tự do của điện áp trên tụ sẽ có dạng

1,2 (É) = K,exp| ca + Ja? - wi, ) ì + K„exp| (~e —Ja* — 0' ) ì

- Khi a? =0%,

Tuc lA R=2VL/C , phương trình đặc trưng có nghiệm kép

P¡=P;a~~0

Thanh phan tự do có dạng u,4(t)=(K,+Kot)exp(—at)

Điện trở của mạch trong trường hợp này được gọi là điện trở tới hạn

+ Khi a? <0,

Tức là R<2V/L/C, sẽ có cặp nghiệm liên hợp phức

Dị =~Œ+70,; pạ=~Œ~ J0,

2 2 trong đó œ„ = A0, ch 7”~œ

Thành phần tự đo trong trường hợp này có dạng:

Ujg(t) = Ke ™ cos(w,t +6) -

Từ ví dụ về mạch cộng hưởng nối tiếp RLC trén day Ta có nhận xét:

Thanh phân tự do có dạng phụ thuộc thông số mạch, biểu thị qua các tham số a vd ,,

Tham số ơ tỉ lệ với giá trị điện trở của mạch, nó biểu thị sự tổn hao năng lượng nên được gọi là hệ số suy giảm,

Khi R>2VL/C, các thành phân tự do là các hàm suy giảm theo thời gian Khi R<2VL/C, trong mạch sẽ có dao động tắt dần với tần số

Œ@)„ Š Gì

3- Phương trình đặc trưng

Phương trình đặc trưng (6.6) có được từ cách thành lập phương trình mạch theo phương pháp dòng điện nhánh Theo phương pháp này, số phương trình mô tả mạch bằng tổng-số phương trình viết theo định luật

KI và KII, sau khi dùng phương pháp khử biến, sẽ còn chỉ một phương trình đạng (6.1) Trong trường hợp khi mạch phức tạp, có số nút và số

vòng lớn, tổng số phương trình theo các định luật K1, I7 sẽ nhiều, và quá

trình thành lập (6.1) sẽ khó khăn Trong trường hợp như vậy, trong

MẠCH ĐIỆN I người ta đã giới thiệu các phương pháp biến đổi tương

đương mạch, phương pháp dòng điện vòng, phương pháp thế nút, phương pháp nguồn tương đương Thévenin, Norton v.v (xem chương 3) Cùng với việc đại số hóa phương trình vi tích phân bằng phương pháp biên độ phức

ta sẽ có hệ phương trình đại số, rất tiện lợi cho việc ứng dụng các phương pháp và công cụ tính toán hiện đại như máy tính

Với ý tưởng nêu trên, ta sẽ đưa ra phương pháp đại số hóa mạch để tìm phương trình đặc trưng như sau Bởi vì, thành phần tự do được tìm

duéi dang y,,(t)=e” (6.5) Nén:

đu (9 de ai, (yeydt= [eared

14 | CHUONG 6

1

pc Nhu vậy có thể đại số hóa phương trình vi tích phân mô tả mạch khi chấp nhận thay thế các trở kháng toán tứ

—+pC+- U,=0

Ễ P A

Điện áp trên tụ là thành phần tự do phải khác không do đó định

thức của ma trận dẫn nạp nút phải bằng không :

1 Yyi= ———

Kết quả nhận được từ hai phương pháp trên là hoàn toàn giống

nhau, và cũng giống như kết quả có được khi xác định phương trình đặc trưng từ phương pháp dòng điện nhánh, áp dụng cho ví dụ 6.1 trước đây Sau khi tìm nghiệm của phương trình đặc trưng, tùy theo giá trị của p mà

ta có thể biết ngay dạng của thành phần tự do

Như vậy, có thể nhận thấy là việc tìm phương trình đặc trưng theo hai phương pháp vừa trình bày trên giúp ta có thể tìm nghiệm tự do nhanh hơn, vì không phải thành lập phương trình mạch Một cách hình thức, chỉ xác định các ma trận trở kháng vòng hoặc ma trận dẫn nạp nút,

và cho định thức của chúng bằng không, sẽ có ngay phương trình đặc trưng Cũng có thể thấy rằng, phương pháp biến đổi tương đương mạch cũng giúp ta có được phương trình đặc trưng nhanh hơn Bởi vì thành

phần tự do là nghiệm của phương trình thuần nhất, tương ứng với

fÐ =0, điều đó có nghĩa là khi tìm phương trình đặc trưng, ta cho tất cả các nguồn tác động độc lập nghỉ (theo nguyên tắc ngắn mạch nguồn áp,

hở mạch nguồn dòng) Mạch không có nguồn khi đó có thể được thay thế bằng một trở kháng hoặc dẫn nạp tương đương nhìn từ hai cực nào đó Khi cho Z„;¿=0 hoặc Y„„=0 ta cũng sẽ có ngay phương trình đặc trưng Hãy minh họa phương pháp này khi dùng lại ví dụ 6.1 Mạch điện trên H.6.1 có thể được vẽ lại khi thay thế các trở Kháng toán tử (H.6.4 a, b)

Từ các phương trình Z¿g=0 và Ÿap =0 ta có lại được phương trình đặc trưng như đã xét trong các phương pháp trên

Khi trong mạch có chứa nguồn phụ thuộc và phần tử hỗ cảm, việc

tìm Z„ và Yy như đã trình bày trong MẠCH ĐIỆN I Ta cũng thành lập phương trình dòng vòng và phương trình thế nút như đối với mạch có nguồn độc lập, ma trận Z„ và Y„ trong các trường hợp này tất nhiên sẽ

không đối xứng (xem chương 3 MẠCH ĐIỆN DJ)

Đẽ: tạm dừng việc xét cách xác định phương trình đặc trưng ở đây, vì - bạn đọc có thể hình dung được việc tìm phương trình đặc trưng trực tiếp

từ các định thức mạch (Z,,Yy) nhanh hơn, dễ hơn và cho kết quả thành

phần tự do của bất kỳ đại lượng điện áp hay dòng điện nào trên các phần

tử mạch Phương trình đặc trưng của mạch trong ví dụ 6.1

16p? +72p+65 = 0

724727 ~41665 -724+32

Pie = 32 ~~ 32

5 ‘ 5, 3,

Pi=-Zi PT? Yalt)=K,e 4 +Kye 4

y 4Œ) có thể là dòng, có thể là áp Đối với một mạch có cấu trúc đã cho

trước, hình dạng của các thành phần tự do là giống nhau, chúng chỉ khác

nhau độ lớn, biểu thị qua các hằng số K; mà ta sẽ xét đến trong phần tiếp

4- Diéu kién đầu

Như đã biết, nghiệm của phương trình thuần nhất phụ thuộc vào giá

trị của y(⁄) và các đạo hàm của nó tại thời điểm xét Khi giả thiết xét mạch tại ¢ = 0, thì nghiệm tự do của phương trình thuần nhất cấp n phải thỏa mãn ø điều kiện dau tai t = 0 1a

(0); y{0); y (0); ¥" (0) (6.13)

Với các điều kiện đầu (6.13) có thể-xác định các hằng số K

Trong lý thuyết phân tích mạch điện, các điểu kiện đầu được xác

định dựa vào trạng thái năng lượng của mạch tại thời điểm xét ( = 0) và các định luật cơ bản của MĐ là định luật Ohm và KIJI Bởi vì y() là dòng điện hoặc điện áp cần tìm, nên điều kiện đầu cần xác định là giá trị của chúng và các đạo hàm tại / = 0

Năng lượng trong mạch được tích lũy trong tụ điện và cuộn dây, tại - thời điểm xét được xác định theo công thức sau

W,(0) = 5Cu"(0); W.(0)=SLi7(0) (6.14) trong d6 u(0) va i(0) la dién 4p trén tu va dong điện qua cuộn đây tai

¿ = 0 Bởi vì năng lượng điện từ trường là đại lượng liên tục nêm tại

W.(0)=W,(0'); W,(0)=W,(0`) (6.15) với =0” là giới hạn bên trái của thời điểm xét mạch, con t=0* la gidi hạn bên phải Néu tai ¢ = 0, mach thay déi trang thai can bang thi năng lượng trong mạch vẫn thỏa mãn (6.15)

Từ các biểu thức (6.14) và (6.15) ta có thể rút ra một kết luận quan

trọng là: ¿gi thời điểm thay đổi trạng thái cân bằng của mạch, điện áp trên tụ uà dòng điện qua cuộn dây là những đại lượng liên tục

u, (0) =u, (0* ) =u(0)

1 (0ˆ) =1 (0°) =i(0) (6.16)

—~

Cân lưu ý rằng, các đại lượng khác không nhất thiết phải liên tục tại ý = 0

Ví dụ: dòng; áp trên các điện trở; dòng trên tụ và điện áp trên cuộn dây Các giá trị dòng điện và điện áp cùng các đạo hàm của nó tại ¿ = 0 (6.13) phụ thuộc vào năng lượng trong mạch, do đó phụ thuộc vào (0)

Người ta gọi các điều kiện đầu (6.16) là điều kiện đầu sơ cấp, va

18 CHƯƠNG 6

(6.13) là các điều kiện đầu thứ cấp Có nghĩa là để có (6.13) phải tìm

(6.16) Phân tích mạch trong miền thời gian, là phân tích mạch bắt đầu

từ một thời điểm nào đó (gt : ¿ = 0) trở đi, #0, «) Vì vậy các điều kiện đầu (6.13) được xét tại t=0*, phụ thuộc vào z„(0”) và (0 ”), theo (6.16),

dé cé u,(0*), i,(0*) phải xét mạch ở trang thái trước đó tức tại

‡=(-s,0”), khi đó ta sẽ xác định được „(0 ) ¡„(0 ) Các điều kiện dau

sơ cấp và thứ cấp được hiểu là giới hạn bên phải của các giá trị (6.13) và (6.16) Có thể nêu ra đây thứ tự các bước xác định điều kiện đầu (6.13): -Ổ Dựa vào điều kiện làm việc của mạch ở trạng thái năng lượng trước

thời điểm làm thay đổi trạng thái cân bằng của mạch (giả thiết /<0), xác

định giá trị dòng điện qua cuộn dây ¡; (0ˆ) và điện áp trên tụ „(0 )

- Dựa vào điều kiện đóng ngắt (6.16) ta có các điều kiện đầu sơ cấp

u;(0”)=u,(0”); i,(0") =i, (0°)

- 6 trang thai nang lugng mdi (¢ > 0), 4p dung cdc dinh luat KT, II,

có thể tim được (6.13) theo (6.16) Khi đã có các điều kiện đầu (6.13) ta có thể xác định các hằng số K trong thành phần tự do

Từ những phân tích ở trên có thể thấy rằng, để tìm các thành phần

tự do cần phải xác định các điều kiện đầu (6.13), các điều kiện đầu này ,phụ thuộc vào (6.16) Điều kiện (6.16) được gọi là điều kiện đóng n§ắt mạch, nó khẳng định rằng, tại £ = 0 dòng qua cuộn dây là một đại lượng liên tục, có thể coi nó như một nguồn dong cé gid tri i, Néu i, =0, cd

thể coi cuộn dây như hở mạch Tương tự có thể nói rằng, tại thời điểm

đóng, ngắt mạch, điện áp trên tụ là một đại lượng liên tục có giá trị „, nếu „ =0, có thể coi như tụ điện ngắn mạch

Sau đây sẽ xét một ví dụ và áp dụng phương pháp kinh điển để phân

E 11 E

——=x-—=3(A); R/2+R, 2,2 (A052 Ry ee 0)=——“ —R,=9

3

i, (0°) =

- Theo điều kiện đóng ngắt

u,(0*)=u,(0°)=9(V); i,(0*)=i, (0°) =3(A) -O £>0, mở khóa K, mạch điện có thêm điện trở #,/2 ; mạch sẽ thay đổi trạng thái năng lượng so với trước (đây chính là mạch trong ví dụ 6.1)

Dòng điện 7) là nghiệm của phương trình mạch, sẽ gồm hai thành phần

i(£) = ing (t) + ing (E)

do đó i(t) = K;e 4 4Kye 4 =

Để tìm các hằng số K,,K; ta cần phải xác định hai điểu kiện đầu i(0*) ,i'(0*) Ap dụng định luật KI, II ta có

Để tìm u,(¢) ta cé phuong trinh

i, () <i(t) -i,(t)=i(t) Ce, i, dt 0") =i(0")-Cu'(0")

Trong thực tế phân tích mạch, ta có thể gặp những bài toán mã điều

kiện (6.16) không thỏa mãn, ta gọi đó là bài toán không chỉnh Có thể giải thích sơ bộ nguyên nhân dẫn đến bài toán không chỉnh như sau: khi nói đến phan tty z.ach như tụ điện hoặc cuộn dây, phải hiểu đó là những

phần tử vật lý Mỗi một trong chúng đều có cả điện trở, điện cảm và điện dung Do đó, chúng thường được mô tả bằng sơ đồ tương đương có chứa

các thông số lý tưởng Ö, L, C Để có mô tả toán học đơn giản, người ta thường sử dụng sơ đồ tương đương lý tưởng, bổ qua các phần tử ký sinh,

điều đó sẽ dẫn đến điều kiện (6.16) không thỏa mãn Bài toán không

_ chỉnh thường gặp khi phân tích các mạch lọc LC, mạch trễ LC hoặc các

mạch ghép hỗ cảm Trong trường hợp này, các điều kiện đầu (6.16) được

xác định dựa vào định luật bảo toàn điện tích và nguyên lý liên tục từ

thông Hãy xét ví dụ về bài toán không chỉnh sau đây

dién C,, C, trong mach H.6.6, néu tai t = 0 ; +: aK

đóng khóa K va nguồn tác động 41 +

e(t)= Ee I(t) v6i E> 0, a> 0 Oc<ew ® me C2

Giai O t < 0 trong mach khéng có nguồn

nên w;( )=w,z(0")=0 Hình 6.6

Áp dụng điều kiện (6.16)

u,¡(0ˆ)= w„¡(0”)=0; „s(Ú )=u¿s(0°)=0 (1)

Mat khác ở ¿,> 0, trong mạch có nguồn e(), theo dinh luat Kirchhoff

II tại t=0"7: u¿;(0°)+u¿s(0°)=e(0°)=Ez0 cóc (2)

Từ (1), (2) có thể thấy rằng điện áp trên tụ không liên tục tại ¿ = 0

Điều kiện đầu đúng đắn sẽ tìm được khi áp dụng định luật bảo toàn

điện tích tại nút (1) Tại nút 1 ta có qạ—g;=0

i, (O°) =i,,(0°)=0; izg(0")=iz(0*)=0 (1)

Hãy kiểm tra kết quả trên có đúng không? Ở ¿ > 0 ta có phương

W(t) = 5 Lait (0) + 5 Lota (t)+ Mi, (ig(t) (6)

_ bởi vì năng lượng là đại lượng liên tục, tai ¢ = 0 ta hãy xét hai trường hợp sau day

Như vậy trong trường hợp này ¡;(0°) và ¡,(0°) khác không, còn nếu

i,(0*)=i,(0*)=0 thi diéu kién năng lượng sẽ tự động thỏa mãn

Bay giờ hãy tìm giá trị ding cua i,(0°), i,(0°) khi thay gia tn ont M M \ a one

1(0 )==Ti(0 ) vào (5): (-7, jee )-1,(0°)=2 = —4i,(0° )—i,(0" )=2

Ta sẽ trở lại các bài toán không chỉnh trong phần phân tích mạch bằng phương pháp toán tử, ở đó bài toán sẽ được giải mà không gặp khó khăn gì

Bây giờ sẽ áp dụng phương pháp được trình bày trên đây để phân tích quá trình quá độ trong các mạch RLC đơn giản, nhằm hiểu kỹ hơn ý nghĩa vật lý của các thành phần nghiệm của phương trình mạch

6.1.2 Quá trình quá độ trong mạch TT

Như đã nói ở trên, phân tích mạch trong miền thời gian là xét mạch

ở tại một thời điểm bất kỳ, thời điểm đó thường được chọn khi mạch thay đổi trạng thái năng lượng Trạng thái năng lượng của mạch sẽ thay đổi khi cấu trúc của nó thay đổi, hoặc khi đóng (ngắt) nguồn tác động Việc thay đổi trạng thái mạch thường được biểu diễn qua một khóa K, đóng

SN

(ngắt) tại thời điểm xét, thường qui ước là tại £ = 0 `

Mạch T7D được xét gồm các phần tử RLCM với các 'iguôn tác động độc lập và phụ thuộc Ta sẽ xét một số mạch đơn giản sau đây

1- Mach cap 1 (RC - RL)

Mach don giản nhất chỉ gồm một —*>

phần tử tích lũy năng lượng E hoặc C, t=0

_nối nối tiếp hoặc song song với điện trở, QO elt) c + ut được gọi là mạch cấp một, vì nó được mô T -

phương trình đặc trưng: PO =0 =p= “BE

Thành phần tự do của dòng điện hoặc điện áp trên các phần tử mạch

có dạng:

Giả thiết với mạch này, cần xác định điện áp trên tụ điện, thì điện

áp sẽ gồm hai thành phần:

U, (t) = Ugg (£) + Uccp (E)

Như đã biết, với mạch cấp 1, thành phần tự do luôn có dạng (6.17),

24 : CHUONG 6

thanh phan cưỡng bức sẽ tùy thuộc vào nguồn tác động e(t)

‹„ Giả thiết tại ý = 0, cung cấp cho mạch nguồn một chiều e() = E(V),

và „(0 ”)=0 Với mạch #C trên H.6.8

Uecp (E) = E; u, (@® = Ke tke +E

Ap dung diéu kién (6.16) tim K u,(0*)=K+E=u,(0°)=0

Suyra K=-E Dođó -u,(t) =E-e"'#©)

Có thể thấy rằng, thành phần tự do suy giảm với hệ số 1 /JRC

r - được gọi là hằng số thời gian của mach

Về mặt lý thuyết, thành phần tự do sẽ mất khi t =, trong thực tế

qui ước sau khoảng thời gian / =ởt, khi đó trong mạch chỉ còn thành

phần cưỡng bức (xác lập)

Như vậy có thể nói rằng, mạch #C sẽ đạt đến trạng thái lập sau

khoảng thời gian ởr Khoảng thời gian trước đó, khi trong mạch tồn tại

cả thành phần tự do và cưỡng bức được gọi là thời gian quá độ của mạch Dòng điện trong mạch

du,(t) E @,-tirc _ FE o-ure

Dong điện qua tụ không chứa thành

phần xác lập, vì rằng, ở xác lập một chiều

tụ điện hở mạch Quá trình biến thiên của

điện áp và dòng điện trên tụ được minh

họa trên H.6.9

Từ hình vẽ thấy rằng, điện áp trên tụ

biến thiên liên tục từ giá trị 0 và tiệm cận

đến giá trị # Trong khi đó dòng điện đột biến từ giá trị 0 đến giá trị E/R

tại £ = 0, rồi sau đó giảm dân đến không Mạch điện đạt đến trạng thái xác

lập tai ¢, =3t, giá trị điện áp trên tụ gần đạt giá trị E

¡.() =C

Hình 6.9

u(3t)=E(I-e”)~0,95E (V)

Quá trình vừa xét trên đây là quá trình nạp điện cho tụ

„ Xét mạch RC với nguồn tác động điều hòa

gt: e(t)=Ecos(wt) va w,(07)=0

u,(t) = Led (t) Tp (t)= cac +, (

Thành phần cưỡng bức được xác định bằng phương pháp biên độ phức

U cb = E ‘ Ze

Z trong đó - biên độ phức nguồn áp E=EZ0 (V)

- trở kháng phức của mạch và của tụ điện

Uno, (t) =U,,,, cos(at — _g) ;véi o=arctg(1/wRC)

tua (Œ) = R, Uebel} = cos(wt —@— 1/2)

Dine -————

wCyR? +(1/@C)?

ta có u,(t) = Ke © +U,,, cos(wt — @- 1/2)

Ap dung diéu kién (6.16) dé tim K

u,(0°)=3K+U,,,cosp+n/2)=0; K= -U,,,, cos(@+ 1/2)

Quá trình điện áp trên tụ

u, (t) = —U,,-Cos(@ + x/9)e fRC + „„ cos(at — 9-1/2)

Từ biểu thức ø„(#) có thể thấy rằng u,4(0) = -u,4 (0)

Như vậy nếu đóng nguồn vào lúc „„(0)=0 thì „(0)=0, trong mạch sẽ không xảy ra qúa trình quá độ Nếu đóng mạch vào lúc

1„;(0)=„„ thì „(0)=—„„, và nếu quá trình tự do tắt chậm, thì sau

nửa chu kỳ, điện áp trên tụ điện C sẽ có giá trị gần gấp đôi biên độ điện

26 CHƯƠNG 6

ta được i(t)= Ane cos + pe —I,,, sin(@t — @— >

oRC tai t = 0; u,(0)=0, tu dién ngắn mạch, điện áp nguồn đặt hoàn toàn vào

điện trở, nên ¡(0” UO )_# lỆ (0) RR

Như vậy, nếu đóng nguồn vào mạch tại thời điểm điện áp nguồn có

giá trị cực đại và nếu giá trị điện trở trong mạch quá nhỏ, thì dòng điện

ở thời điểm đóng nguồn sẽ rất lớn, gây nên những xung dòng điện

Quá trình biến thiên của

điện áp trên tụ điện ngay sau

khi tác động nguồn điều hòa

tác động tuần hoàn Giả thiết 4

tai t = 0, dat vào mạch nguồn

trên H.6.11 Dãy xung có biên 0 10 2.10 3.10

độ bằng 1V), độ rộng 10 2(s)

và chu kỳ 2.10”(s) Hãy xác ;

dinh dién ap trén tu u,(t) véi diéu kiện đầu: ¿(0 )=0 va R = 200(9),

C = 0,5(uF) Mach RC véi nguén tác động là dãy xung vuông góc, có thể

xem như mạch #C có nguồn tác động một chiều với khóa K đóng, ngắt

theo chu kỳ của dãy xung Hãy xét điện áp trên tụ trong khoảng thời gian có xung e(f)= 1 (VY) và không có xung e() = 0 (Vì)

u,(t') = K crrR€ + Up

-101(¿~10°2)

Usp =0; u,(0*)=K+0=1=9>K=1;, u)=©€ 1(t - 10 )

- Ở chu kỳ tiếp theo 2.10% <#< 3.10%

e(t) = 1; tim: u,(#), tai t=2.107; u, (2.10-3)=e 210110” = ¿'?9 ~ 0

Ta có lại điều kiện đầu khi mới đóng nguồn vào mạch, quá trình

‘cing được mô tả bằng phương trình vi phân

cấp 1 như mạch #C Việc phân tich mach RL

cing tuong tu nhu déi véi mach RC khi thay

adi ngdu i, =u, va L=1/C Phuong trinh

Thanh phan tu do cua mach 1,4 (¢) =KÑeL

Dòng tự do suy giảm theo ¿ với hệ số R/L, nghịch đảo của nó được gọi là hằng số thời gian t=L/ R Tương tự, người ta cũng qui ước quá

trình quá độ sẽ kéo dài trong khoảng thời gian bằng ởz Có lẽ không cần

lặp lại quá trình phân tích như đã làm đối với mạch FC, bởi vì như đã nhận xét ở trên, các kết quả có được đối với u„(), ta có thể suy ra cho

lượng LỤC Mạch RLC nối tiếp có dạng trên H.6.3 là mạch cấp hai, vì

phương trình vi phân mô tả mạch là phương trình cấp hai Ta đã khảo

sát thành phần tự do của nó trong ví dụ 6.3 Sau đây sẽ phân tích mạch

RLC khi tác động lên nó các nguồn tác động khác nhau như đã làm đối mạch cấp 1 Như đã biết trong ví dụ (6.3), phương trình đặc trưng của

Thành phan tu do cia mach RLC cé hinh dang tidy thudc vào các

tham số œ và œ„, theo ba trường hợp khi: R >2VLIC (0 2 Wer )

và <2VLIC (%<,,), còn các thành phần cưỡng bức thì phụ thuộc vào

các nguồn tác động e() sẽ xét sau đây

- Tai ¢ = 0, cung cấp cho mạch nguồn một chiều e(¿) = E(V) Ta sẽ

quan tâm đến điện áp trên tụ điện và đòng điện chảy trong mạch:

U,(E) = Ugg (LE) + Ugg l(b); ) =ùa +)

Trong trudng hop e(t) = E(V)

Khi a>0,,: (R>2VL/C)

Uyg(t)= Ke?" + Kye"; jạứ) =CK,p¡eP! +CK,p¿e??

u,(t)=K,e? + Kye? +E; i(t)=C| p,K je?" + pK," |

u,(t)= Ke" cos(w,t+ ®) +E; i(t) =CKe ““[~œcos(@,# + ®) — @, sin(@,t+ ®)]

- Tai t = 0 tác động lên mạch nguồn điều hòa eŒ) = Écos(œ/) (V)

Thành phần cưỡng bức của điện áp và dờng điện được xác định bằng

phương pháp biên độ phức U ecb =2

trong đó E=E ⁄0 - biên độ phức nguồn áp

Z=R+joL+1/joC - tré khang phức của mạch RLC

in (t) =—-CU,,,osin(wt — 9-1/2) = I,,, cos(@t — @)

Khi a>, u,(t)= Ke?" + Kye?” +U,,, cos(wt — 9-1/2)

i(t) = C| pK e?" + PoK ye?" | + Tne Cos(@t — @)

Khi & =, u,(t)=(K,+ Kote” +U,,,, cos(@t — @— 1/2)

i(t)=C[-aK, - 0K yt + Ks |e” “47 cos(wt ~ @)

Khi œ< @¿ u, (Đ) = Ke cos(w,t + ®) +U,,,cos(wt = @— T2)

i(t) = CKe™™ [-a.cos(@,t + @) — @, sin(0), #+@) +1 „„ cos(0 — 0)

- Tại £ = 0, tác động lên mạch dãy xung vuông góc như trên H.6.11,

có độ cao # = 7(V), độ rộng xung là 5(s) và chu kỳ 10) Hãy khảo sát quá trình quá độ xảy ra trong mạch, với giá trị các thông số R = 2(©);

L = 1(H); C = 0,1(F); va gia thiết rằng: u,(0°)=90; „(0 )=0

R 1 ISR : 6i mach da cho: a=——=1; @, = = 10 Phuong trinh dac trun Với mạch đã cho: œ 2T : —z: E 8

p?+ 20p +, =0; p”+2p+10 =0

pịa =~1*Ý1~10 ==œ+j@, =~13 j3

Như đã nói trong phần khảo sát mạch RC, khi nguồn tác động là dãy xung vuông góc, ta có thể coi như mạch có nguồn tác động một chiều với

30 CHƯƠNG 6

khóa K đóng, ngắt theo chu kỳ của dãy xung Mạch RLC trong trường

hợp đã cho là mạch có œ<œ„ do đó trong mạch sẽ có dao động tat dan

của thành phần tự do Ta hãy xét mạch trong các khoảng thời gian e() = 1 (đóng khóa ); e(£) = 0 (ngắt khóa ®#)

‹ Xét 0<t<5 (s)

et) =1V); u,(0")=0; i„(0)=0

U,(£) = Ugg (E) + Leos

it) = ig(t)+t,@

= 1; i, =0

Ucob

Phương trình đặc trưng có nghiệm phic a=1; @, = 3

M„ay( — = Ke™ cos(3t+®)

ba (Ê) = 0,1Ke” [—cos(3/ +@®)~ đsin(3 + ®)]

i(t) = 0,1Ke™[—cos(3t+®) —3sin(3t + ®)]

Tir (1) (2) suy ra: ® =—-18,43°; K = -1,05

Kết quả: u,(t)=1-1,05e™ cos(3t - 18,43°)

i(t) =O, le cos(3t - 18, 43°) —0,3e" sin(3t — 18, 43°)

- Xét 5<t<10 (8)

Do e(t) = 0; nén u,,, =O; i =0

Tim u,(t) va i(t) tai t = 5(s)

u(5)=1; i,(5)=0

Đặt ? ` = £ - ð; ở tọa độ mới

u¿(0 )=1; 1„(0 )=0

Trong mạch chỉ có thành phần tự do:

u,(t')= Ke™ cos(3t'+ ®)

i(t')=0,1Ke™ [-cos(3t'+ ©) - 3sin(3t'+ ®)] |

Ap dung diéu kién (6.16): ,

u,(0*)=Kcos®=1 (3) i(0*y =-0,1K cos —0,3K sin® =0 (4)

tix (3) (4) suy ra K = 1,05; 9 = -18,43°

Kết quả u,(t)=1,05e* cos(3t'~ 18, 43°)

i(t)= ~0,1e cos(3t'— 18, 43°) - 0,3e" sin(3t'— 18, 43°)

- Xét 10<t<15 (s)

Do e(t) = 1(V); u¿y =1); t„ =0

Tim u,(t) tait’= 5: u,(5)=0; 1,(0) ~0

Do điều kiện đầu lặp tại khi £ = 0, quá trình phân tích mạch sẽ lặp lại Quá trình phân tích sẽ dừng lại ở đây - dạng song u,(¢) và ¡(£) có thể

và điện áp trên các phân tử) đối với nguồn tác động gầm hai thành phần

Thành phân thứ nhất: có hình dạng giống nguồn tác động, có độ lớn phụ thuộc vào thông số mạch và độ lớn của nguồn tác động bất kỳ, được gọi là thành phần cưỡng bức

Thành phân thú hai có hình dạng phụ thuộc vào các thông số mạch

và độ lớn phụ thuộc vào năng lượng trong mạch tại thời điểm xét được

39 CHƯƠNG 6

gọi là thành phần tự do

> Quá trình quá độ trong mạch, là quá trình dòng áp trên các phần

tử, bao gồm cả hai thành phần cưỡng bức và tự do, hoặc chỉ có thành

phần tự do Như vậy, thời gian quá độ là khoảng thời gian tồn tại thành phần tự do, về mặt lý thuyết thành phần tự do sẽ mất di khi too Trong thực tế, với mạch cấp I, người ta qui ước thời gian quá độ kéo dài

‘bang ba lần hằng số thời gian của mạch Với mạch cấp II, người ta qui

ước thời gian quá độ là khoảng thời gian mà thành phần tự do suy giảm

còn 1⁄10 giá trị cực đại của nó Khi thành phần tự do trong mạch mất đi chỉ còn lại thành phần cưỡng bức, ta nói mach 6 trang thai xác lập Vì

vay trong MACH DIEN I, khi phan tich mach chi quan tam dén thanh

phan một chiều (khi nguồn tác động là một chiều) và thành phần- điều hòa (khi nguồn tác động là điều hòa), điều đó có nghĩa là chỉ phân tích

mạch ở trạng thái xác lập

+ Phương pháp để phân tích quá trình quá độ trong mạch, là các

phương pháp giải các phương trình mô tả mạch có chú ý đến nghiệm tự

do của nó Việc giải phương trình mạch như trên đây được gọi là phương

pháp tích phân kinh điển, tất nhiên đó không phải là phương pháp duy -_ nhất; ưu việt nhất

6.2 PHƯƠNG PHÁP T0ÁN TỬ

Phương pháp toán tử được dùng để phân tích quá trình quá độ trong mạch TT, dựa trên việc sử dụng biến đổi Laplace một phía để đại số hóa phương trình mạch Uu điểm của nó là ở chỗ các điều kiện đầu sơ cấp được tự động đưa vào phương trình, do đó kết quả sẽ cho ta cùng một lúc

ca thành phần tự do và thành phần cưỡng bức Một ưu điểm khác, là

_ không phải đi tìm các điều kiện đầu (6.13); đó là việc làm không phải dễ

Việc thành lập phương trình toán tử nhanh hay chậm, tùy thuộc kỹ năng vận dụng biến đổi Laplace và các tính chất của nó Tuy nhiên có thể nhận thấy việc tiến hành theo đường © sé tiện hơn Như vậy vấn để

mấu chốt trong phương pháp này là phải nắm vững biến đổi Laplace và

các tính chất của nó

6.2.1 Biến đổi Laplace và các tính chất

Việc nghiên cứu ky biến đổi Laplace và các tính chất của nó đã được

để cập trong giáo trình hàm phức và toán tử Ở đây chúng ta sẽ chỉ nhắc lại để áp dụng vào phân tích mạch

Biến đổi Laplace một phía của ham f(t) duoc xdc định theo biểu thức:

SẼ |ƒ@]= [f(e “đt = F@s) (6.19)

trong d6 F(s) - được gọi là ảnh của #Ø; còn ƒf¿) - là hàm gốc

biến phức s=ơ+ 7œ - đóng vai trò tham số tích phân

Biểu thức (6.19) xác định ảnh của một hàm ƒ/), sẽ tồn tại khi và chỉ khi có một giá trị nào đó của tham số s để tích phân hội tụ Biểu thức (6.19) được gọi là biến đổi thuận

Người ta dùng biến đổi Laplace một phía (0, =), vì nó tiện cho việc xét mạch tại một thời điểm nào đó ( = 0) trở đi

Việc tìm lại ham f(t) từ hàm #(s) được gọi là biến đổi ngược, nó được xác định theo công thức Rieman-Mellin

c+ ja

J Fi(sje“ds t>0O

10 t<0

Trong bài toán phân tích mạch, người ta thường không sử dụng trực

tiếp công thức Rieman-Mellin để tìm hàm ƒ/), vì nói chung không dễ dàng

Phân tích mạch bằng phương pháp toán tử, là sử dụng biến đổi

Laplace để chuyển phương trình vi tích phân thành phương trình đại số biến s Do vậy chúng ta cần nắm vững các tính chất của biến đổi Laplace,

khi nó tác động lên các phép tính trong phương trình mô tả mạch

Bởi vì ta sử dụng biến đổi Laplace một phía, nên với những hàm ƒf/) tồn tại (-ssss), có thể dùng hàm 1) để biểu diễn sự tổn tại của nó trong khoảng thời gian £ e (0, œ) theo biểu t thức sau

34

f(t) t>0

ƒŒ)10)= l t<0

lL t>0 Ham 1(t) dugc dinh nghia như sau 1(¢) “lo t<0

Bảng 6.1 Những tính chất cơ bản của biến đổi Laplace

(6.21) (6.22)

Sau đây là một số ví dụ về tìm ảnh của các nguồn tín hiệu thường gặp

Theo tinh chat 8 _#(s)= [0]=-} s2

3- f(t) = cosmotl (t)

Biến đối hàm cos@,t = s[e™ + ei]

Ap dung tinh chat (1) (7)

L [cos w,tl(t) | = Sen 160) + e2” 120] "2| 1, 1

|

2‡s-Jœ, 0 s+70,

8 S“[co œ„# (£) ]= Fie

4- f(t) = sin,tl (t)

Ảnh của ham sinœ £7) có thể tìm như đối với hàm cosœ,£1), hoặc

có thể áp dụng tính chất (2) đối với ảnh của hàm cosœ,„£7Œ) Bởi vì

“Bién déi ham f,(t) va Ap dụng các tính chất (1), (B), (7)

f(t) = (@-T)e Ut -T) + Te Ut ~ T) = (— T)e 90-T)1( — n)aT%T + mẹ~%~?)1(_ Pe oF

-sT -sT7

Ll A()] =eT Ê pe oP & Lg ol ys? Js + T |

(s+ œ? sta (s+a)? st+a

đ) f,()=(t+9)?1(-1)

Biến đổi hàm ƒ¿Œ) có dạng thích hợp:

f,(t)= [ứ =1? +6 ~—1) +9] 1 -1)

F,(s) = Ll ste* cos 2Œ — 1)|

F,(s) = (s+4)? —4 |cos2+ 4(s + 4)sin 2

Những ví dụ trên đây ta có thể nhớ, để áp dụng tìm gốc của các ham

ảnh đơn giản, mà không cần sử dụng công thức Rieman- Mellin

6.2.2 Dạng toán tử của các định luật mạch cơ bản

Để có thể thành lập phương trình toán tử trực tiếp từ mạch điện mà không cần qua bước thành lập phương trình vi phân, cần biểu diễn các

định K1, 1ï và định luật Ôm dưới dạng toán tử (Như đã làm trong MẠCH

ĐIỆN I, khi 4p dụng phương pháp biên độ phức)

1- Định luật Ôm

Định luật Ôm xét quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên các phần

tử trong miền thời gian Ta sẽ xét các quan hệ đó với từng phần tử mạch

tai t = 0 với giả thiết các điều kiện đầu „(0)=u, và i„(0)=ử,

1 Điện trở R Quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên điện trở: i(t) I(s) u(t): = Ri(t) (6.23a)

u(t) = L _ ; š(#)= zJuoaes i, (6.25a)

trong dé i, =1(0") - 1a dòng điện chảy qua cuộn dây tại ¿=0”

trong dé u, =u(0*) la điện áp trên tu tai t=0*

Biến đổi Laplace của (6.27)

Từ những phân tích trên đây có thể đi đến kết luận

+ Các phương trình (6.24) (6.26) (6.28) là biểu thức của định luật Ôm

dưới dạng toán tử Đó là những phương trình đại số, có chứa các điều kiện

đầu dưới dạng các nguồn áp hoặc nguồn dòng (Từ bây giờ về sau, khi nói

đến điều kiện đầu, phải hiểu đó là giá trị của áp trên tụ và đòng qua cuộn

đó có chứa các nguồn ban đầu dưới dạng nguồn áp hoặc nguồn dòng

- Trong trường hợp điều kiện đầu bằng không, định luật Ôm dạng

toán tử đối với các phần tử được biểu diễn cùng một biểu thức:

U(s) = Z(s)1() (6.29a) I(s) li Y(s)U(s) (6.29b) trong d6 Z(s) - 1a tré khang todn ti; Y/s) 14 dan nap todn tw

Đối với từng phần tử, trở kháng toán tử, dẫn nạp toán tử là:

R - đối uới điện trở

2(s)=41/3C - đốiuới điện dụng

sÌ — - đối uới điện cảm

Có thể thấy rằng, khi thay s=/œ ta lại có trở kháng và dan nap phức của các phần tử trong mạch xác lập điểu hòa 1a: Z(w); Y(w)

Từ các biểu thức (6.29), có thể xác định các trở kháng và dẫn nap toán tử của các óc phận tử mắc nối tiếp hoặc song song

Theo định nghĩa điện áp trên hệ thống nối tiếp n phần tử bằng tổng

điện áp trên từng phần tử; dòng qua chúng là như nhau:

40 CHƯƠNG 6

u(t) =u, (t)+Ug(t) + +U, (£) _ (6.80)

với điều kiện đầu bằng không:

UQ) = 3 Z¿(s)I(s) = 1(s) 3` Z,(s) (6.31)

k=1 | kel

trong d6 Z,(s) - 1a tré khang toán tử của phần tử thứ &; trở kháng của cả

hệ thống như có thể thấy, bằng tổng các trở kháng toán tử thành phần

song song, dòng điện của cả hệ thống bằng tổng các dòng điện thành phần; áp trên chúng là như nhau:

u(t) = 1,(t)+ig(t)+ +7, (6) (6.33)

bởi vi I,(s)=Y,(s)U(s) Ta cé:

I(s)= ` 1,(s)= 3 Y,(s)Ữ(s) = U(s)> ¥,(s) (6.34)

k=I k=l Suy ra, dẫn nạp toán tử của hệ thống:

kel 2- Dinh luét Kirchhoff I,

Định luật Kirchhoff I nói về sự cân bằng của dòng điện ở một nút, tức là tổng dòng điện đi tới một nút (có chú ý đến chiểu) của mạch là bằng không

k=l

Dạng toán tử của (6.36) XÃ =0 (6.37)

kel

Như vậy (6.37) là dạng toán tử của định luật K7 Bằng cách tương tự ta

cũng nhận được dạng toán tử của định luật KĩT phát biểu nhu sau: téng các ảnh Lapiace của các điện áp nhaénh U,(s) doc theo mét vong kin bang không

k=l

Cần chú ý rằng, các biểu thức (6.37) và (6.38) thỏa mãn cả khi các điều kiện đầu khác không

Sau khi có được dạng toán tử của các định luật mạch điện cơ bản, có

thể thành lập phương trình toán tứ theo các bước sau:

- Dựa vào trạng thái năng lượng của mạch trước thời điểm xét (/ < 0), xác định điện áp trên tụ điện và dòng điện trên cuộn dây Áp dụng định luật

Ví dụ 6.8 Thành lập phương trình toán tử của mạch trên H.6.ã

Giải - Với mạch trên H.6.5 trong ví dụ 6.4 ta đã có các điều kiện đầu sơ cấp

u.(O )=u,.(0")=9(V)

i, (O07) =i, (O° ) = 3(A) Ở¿>0 Hãy vẽ sơ đồ tương đương toán tử của mạch Tùy theo phương pháp sử dụng, có thể vẽ và viết phương trình dựa vào các phương pháp đã phân tích trong chương 3 (MẠCH ĐIỆN 1) Ở đây sẽ viết phương trình theo phương pháp dòng vòng và phương pháp thế nút

Sơ đồ tương đương theo nguồn áp (H.6.22a) hoặc theo nguồn dòng